郭進(jìn) 王君杰 韓鵬 王文彪

（同濟(jì)大學(xué)橋梁工程系，上海200092）

Park-Ang三維損傷模型的參數(shù)確定和性能等級(jí)劃分

郭進(jìn) 王君杰 韓鵬 王文彪

（同濟(jì)大學(xué)橋梁工程系，上海200092）

針對(duì)Park-Ang三維損傷模型的參數(shù)取值和性能等級(jí)劃分研究不足，基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過2輪遍歷搜索，確定了參數(shù)取值；并參照已有的性能等級(jí)劃分，確定了適用于Park-Ang三維損傷模型的性能等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)。用一組一維試驗(yàn)驗(yàn)證了參數(shù)取值和性能等級(jí)劃分對(duì)于不同加載路徑的適用性；用另一組試驗(yàn)驗(yàn)證了它們對(duì)于空間受力構(gòu)件的適用性。結(jié)果表明：所確定的參數(shù)和性能等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)與已有的Park-Ang三維損傷模型表達(dá)式共同組成了一個(gè)完整的損傷指標(biāo)，這一指標(biāo)能夠較好地評(píng)價(jià)不同一維加載模式或空間受力構(gòu)件的損傷。

Park-Ang三維損傷模型；參數(shù)確定；性能等級(jí)；遍歷搜索；加載路徑

準(zhǔn)確地評(píng)估構(gòu)件在地震作用下的損傷，并對(duì)其損傷等級(jí)進(jìn)行劃分，這是基于性能的抗震設(shè)計(jì)方法的基本要求。地震作用下，鋼筋混凝土墩柱一般是空間受力，因此建立完整的能夠評(píng)價(jià)其三維損傷的模型具有重要意義?，F(xiàn)有損傷模型都有一個(gè)共同的缺陷，即無法評(píng)價(jià)動(dòng)軸力和雙向彎曲作用下構(gòu)件的損傷。針對(duì)這個(gè)問題，文獻(xiàn)［1］對(duì)廣泛應(yīng)用的Park-Ang模型在彎矩－轉(zhuǎn)角層面進(jìn)行了三維拓展，使其能夠考慮動(dòng)軸力和雙向彎曲。但是文獻(xiàn)［1］只給出了三維拓展損傷模型的計(jì)算式，并沒有指出拓展損傷模型中參數(shù)的取值和性能等級(jí)的劃分。本文基于文獻(xiàn)［1］的研究工作，在試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上確定其參數(shù)取值和性能等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn)。

1 Park-Ang損傷模型的三維拓展

Miner［2］于1945年提出了主要針對(duì)金屬結(jié)構(gòu)的損傷模型，此后的半個(gè)多世紀(jì)以來各國(guó)學(xué)者在該領(lǐng)域進(jìn)行了大量的研究工作［3-6］。其中不乏適用于鋼筋混凝土墩柱的廣為應(yīng)用的模型，例如Park等于1985年提出的變形與能量混合的損傷模型［7-8?［9］提出了改進(jìn)的Park-Ang模型，該模型在Park-Ang模型基礎(chǔ)上做了2個(gè)改進(jìn)：1）滿足上下界收斂；2）考慮了不同變形幅值下相同耗能所造成的損傷不同的試驗(yàn)現(xiàn)象。

本文作者在文獻(xiàn)［1］中對(duì)廣泛應(yīng)用的Park-Ang模型在彎矩－轉(zhuǎn)角層面進(jìn)行了三維拓展，使其能夠考慮動(dòng)軸力和雙向彎曲。其形式如下：

文獻(xiàn)［1］中指出損傷模型在理論上有2個(gè)要求：

1）單調(diào)不減。鋼筋混凝土構(gòu)件損傷的不可逆性要求損傷值單調(diào)不減。

2）良好的預(yù)測(cè)性。損傷模型包含2部分內(nèi)容：①損傷的計(jì)算式和式中參數(shù)的取值，參數(shù)的取值應(yīng)有普遍的適用性；②性能狀態(tài)界限值的劃定。對(duì)于不同特性的構(gòu)件，根據(jù)損傷表達(dá)式計(jì)算的損傷值，按照界限值判斷的性能狀態(tài)應(yīng)該與實(shí)際結(jié)果有較好的吻合度。只有滿足這一要求，才具有良好的預(yù)測(cè)性。

根據(jù)要求2），推導(dǎo)出如下關(guān)系式［1］：

從式（2）可以看出：β1、β2不相互獨(dú)立，具有相關(guān)性，β2可由β1確定。至此，可以看出，式（1）所示的損傷模型有3個(gè)模型參數(shù)β、β1、β2，但是相互獨(dú)立的參數(shù)只有2個(gè)β、β1。下面用Mo等［10］的一組試驗(yàn)對(duì)β、β1進(jìn)行擬合。

2 參數(shù)擬合

Mo等［10］在2000年發(fā)表了鋼筋混凝土懸臂柱擬靜力試驗(yàn)的成果，共進(jìn)行了9根柱的試驗(yàn)，均呈現(xiàn)彎曲破壞模式。柱凈高1 650 mm，其中，水平力加載位置距離柱底1 400 mm，距離柱頂250 mm，文獻(xiàn)［10］給出塑性鉸區(qū)長(zhǎng)度為450 mm，截面尺寸400 mm×400 mm，保護(hù)層厚度34 mm，混凝土柱回歸分析所用特征參數(shù)如表1。

表1 混凝土柱回歸分析所用特征參數(shù)Table 1 Characteristic parameters of the regression analysis for reinforced concrete columns

構(gòu)件C1-1的彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系如圖1所示，其中截?cái)帱c(diǎn)是破壞點(diǎn)，破壞之后的加載數(shù)據(jù)不參與擬合。發(fā)生縱筋屈曲，或箍筋破壞，或縱筋破壞，或失去軸向承載能力等現(xiàn)象中的一個(gè)即定義為破壞。

圖1 構(gòu)件C1-1的彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.1 Moment-rotation relationship for specimen C1-1

在一定取值區(qū)間內(nèi)對(duì)β和β1的組合進(jìn)行遍歷搜索，為了減少搜索量，進(jìn)行2輪搜索。第1輪搜索確定耗能項(xiàng)損傷系數(shù)β，第2輪搜索確定耗能修正項(xiàng)的指數(shù)β1。搜索間距見表2。

表2 遍歷搜索所用參數(shù)取值Table 2 Parameter value for traversal search

為了評(píng)價(jià)β、β1的組合優(yōu)劣性，本文采用如下述損傷值評(píng)價(jià)函數(shù)：

式中：δ為損傷偏差；Di為某β和β1取值下，第i個(gè)試件的損傷值；n為試驗(yàn)數(shù)目。

第1輪搜索，得到每組β、β1的損傷偏差δ。β不同取值下，各試驗(yàn)損傷偏差與β1之間的關(guān)系如圖2。從圖2可以看出，β＝0.1時(shí)，與各β1取值對(duì)應(yīng)的損傷偏差均較小，因而，本文累積損傷指標(biāo)中，耗能項(xiàng)組合系數(shù)β的取值確定為0.1，這與文獻(xiàn)［9］研究成果中的耗能項(xiàng)組合系數(shù)建議值相同。

圖2 第1輪搜索的損傷偏差δ與參數(shù)β1的關(guān)系Fig.2 Relationship between β1and damage deviation δ in the first round of search

在β＝0.1條件下，進(jìn)行第2輪搜索，β1的搜索范圍為［0.1，5.0］，步長(zhǎng)為0.1，得到損傷偏差與參數(shù)β1之間的關(guān)系，如圖3所示。從圖3可以看出，β1＝1.5時(shí)，損傷偏差δ最小。因此本文取β＝0.1，β1＝1.5。

圖3 第2輪搜索的損傷偏差δ與參數(shù)β1的關(guān)系Fig.3 Relationship between β1and damage deviation δ in the second round of search

由式（2）可以確定β2的取值

至此本文損傷模型的參數(shù)便已完全確定。

基于上述參數(shù)，運(yùn)用三維Park-Ang損傷指標(biāo)計(jì)算的Mo等［10］的9個(gè)試件的損傷如圖4所示，破壞時(shí)各構(gòu)件的損傷值如表3。

圖4 三維Park-Ang損傷指標(biāo)計(jì)算的Mo等［10］試驗(yàn)構(gòu)件的損傷圖Fig.4 Damage of specimens tested by Mo et al［10］using 3D Park-Ang damage model

表3 三維Park-Ang損傷指標(biāo)計(jì)算的Mo等［10］試驗(yàn)構(gòu)件的損傷值Table 3 Damage value of specimens tested by Mo et al［10］using 3D Park-Ang damage model

3 損傷等級(jí)的劃分

鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)基于性能的抗震設(shè)計(jì)允許結(jié)構(gòu)在地震作用下產(chǎn)生一定程度的損傷，并視結(jié)構(gòu)物的重要性等要求將損傷控制在可接受的范圍內(nèi)。因此需要較為準(zhǔn)確地劃定構(gòu)件的損傷等級(jí)，這也是劃定結(jié)構(gòu)損傷等級(jí)的基礎(chǔ)。同時(shí)，第1節(jié)已指出，性能等級(jí)的劃分是一個(gè)完整的損傷模型必不可少的組成部分。

由于地震動(dòng)本身的隨機(jī)性和結(jié)構(gòu)性質(zhì)（如材料、幾何參數(shù)）的不確定性，損傷模型各性能界限值的劃分一直是各國(guó)學(xué)者的研究對(duì)象之一。關(guān)于構(gòu)件累積損傷的性能等級(jí)劃分，目前有多種標(biāo)準(zhǔn)。Park等［8］建議D＝0.4作為可修和不可修的損傷界限，并在1987年提出更細(xì)致的損傷劃分標(biāo)準(zhǔn)［11］。

表4 Park等［11］提出的損傷等級(jí)限值與狀態(tài)描述Table 4 Damage levels and state description by Park et al［11］

Stone等［12］將文獻(xiàn)［13］的Park-Ang修正模型應(yīng)用于82個(gè)圓形截面橋柱試驗(yàn)中，并在此基礎(chǔ)上提出損傷劃分標(biāo)準(zhǔn)，如表5。

上述Park等人在1985和1987年提出的指標(biāo)，以構(gòu)件具體的物理狀態(tài)為標(biāo)準(zhǔn)，該等級(jí)劃分方式，可在物理層面較為直觀地表述構(gòu)件損傷程度。但在實(shí)際操作中，該等級(jí)劃分的界限表述不夠嚴(yán)格，且不易與具體的性能指標(biāo)相對(duì)應(yīng)。

本文參照上述Stone和Taylor的劃分方式，該方式?jīng)]有將損傷等級(jí)與材料特性等指標(biāo)直接對(duì)應(yīng)，而是從災(zāi)后修復(fù)的角度予以劃分。與上述指標(biāo)相比，該指標(biāo)的物理表述不夠明確，但是用于直接衡量構(gòu)件的抗災(zāi)變能力，具備一定的優(yōu)勢(shì)。

表5 Stone等［12］提出的損傷等級(jí)限值與狀態(tài)描述Table 5 Damage levels and state description by Stone et al［12］

本節(jié)針對(duì)所選試驗(yàn)，同時(shí)計(jì)算Kunnath等［13］修正的Park-Ang損傷指標(biāo)和本文指標(biāo)。將與該指標(biāo)界限值對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，作為本文損傷指標(biāo)的界限狀態(tài)，取對(duì)應(yīng)的損傷值作算術(shù)平均作為性能等級(jí)界限值，如表6所示。需要指出的是，由于Kunnath等［13］修正的Park-Ang指標(biāo)耗能項(xiàng)組合系數(shù)βe的離散性較大，因此并沒有根據(jù)計(jì)算公式確定βe，而是根據(jù)破壞時(shí)構(gòu)件的損傷值為1來反推β的取值，即根據(jù)下式確定βe：

表6 本文的損傷界限值Table 6 Damage level limits proposed in this paper

參照Stone等［14］的修正Park-Ang指標(biāo)所述損傷狀態(tài)，本文損傷指標(biāo)及其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)表述，如表7所示。從表7可以看出，上限值接近1.00，這是9根柱子破壞時(shí)的損傷平均值，與文獻(xiàn)［1］中確定Park-Ang三維損傷模型表達(dá)形式時(shí)設(shè)定破壞時(shí)損傷值等于1的出發(fā)點(diǎn)相吻合。

表7 損傷界限值與狀態(tài)描述Table 7 Damage levels and state description proposed in this paper

4 一維加載的試驗(yàn)驗(yàn)證

本文選擇Takemura等［14］進(jìn)行的一組一維加載試驗(yàn)（試件編號(hào)為TP001～TP006）來建立強(qiáng)度退化與累積損傷的關(guān)系。該組試驗(yàn)6個(gè)試件的尺寸與配筋構(gòu)造均完全相同，僅加載模式不同。試件為鋼筋混凝土懸臂柱。截面尺寸為400 mm×400 mm，截面有效高度h0＝360 mm，加載點(diǎn)至地梁頂面距離L＝1 245 mm，剪跨比為3.46?；炷翉?qiáng)度約為35.3 MPa，縱筋采用D13鋼筋，屈服強(qiáng)度363 MPa，全部縱筋配筋率為1.58%。箍筋采用D6鋼筋屈服強(qiáng)度為368 MPa，箍筋間距為70 mm，體積配箍率為0.57%。試驗(yàn)時(shí)柱頂施加157 kN的軸壓力，軸壓比約為2.89%。

構(gòu)件的能力為My＝191.66 kN·m，θu＝0.101 rad，EI＝1.100×1010kN·mm2。根據(jù)實(shí)驗(yàn)加載過程中的圖片估計(jì)塑性鉸區(qū)的長(zhǎng)度lp＝400 mm。將各構(gòu)件的力－位移轉(zhuǎn)化為彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系，如圖5所示。6個(gè)試件的加載路徑均不相同。

圖5 TP001～TP006彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.5 Moment-rotation relationship for specimens TP001～TP006

基于本文提出的損傷模型和其參數(shù)，其損傷值如圖6。加載終止時(shí)各構(gòu)件的損傷狀態(tài)如表8。

圖6 TP001～TP006的損傷圖Fig.6 Damage of specimens TP001～TP006

表8 TP001～TP006加載終止時(shí)的損傷狀態(tài)Table 8 Damage state of specimens TP001～TP006 when loading finished

根據(jù)表7設(shè)定的性能界限值，各構(gòu)件加載終止時(shí)的狀態(tài)均為倒塌，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。這說明本文提出的損傷模型及其參數(shù)具有較好的預(yù)測(cè)性。由于試驗(yàn)TP001～TP006的加載方式各異，這說明本文損傷參數(shù)和界限值能較好地用于評(píng)價(jià)不同加載模式的損傷情況。

5 空間加載的試驗(yàn)驗(yàn)證

日本川島地震工程實(shí)驗(yàn)室（Kawashima Earthquake Engineering Laboratory）做了一組定軸力下柱子的彎曲試驗(yàn)，其加載模式包含了單向單調(diào)加載、對(duì)角加載、矩形加載、橢圓形加載、圓形加載等幾種情況。該組試驗(yàn)測(cè)試了6個(gè)柱子，編號(hào)分別為TP-074～TP-079。其中TP-074和TP-075單向加載，其余試件是空間加載。

這6根柱子的截面是邊長(zhǎng)為400 mm的正方形，柱子從加載點(diǎn)至底部固結(jié)處的距離是1 350 mm?？v筋直徑為13 mm，屈服屈服強(qiáng)度為357 MPa，配筋率為1.27%。箍筋間距直徑為6 mm，屈服強(qiáng)度為321 MPa，體積配箍率為0.79%。混凝土強(qiáng)度約為29 MPa，軸壓比約為3.45%。剪跨比為3.75。各個(gè)墩柱墩頂位移加載模式見圖7。

圖7 試件TP074～TP079位移加載模式Fig.7 Displacement loading mode of specimens TP074～TP079

構(gòu)件的能力為My＝168.075 kN·m，θu＝0.091 8 rad，EI＝1.146 3×1010kN·mm2。塑性鉸區(qū)的長(zhǎng)度lp取為208.9 mm。將試件TP074～TP079的力－位移關(guān)系轉(zhuǎn)化為彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系，并計(jì)算其損傷，如表9所示。

表9 TP074～TP079加載終止時(shí)的損傷狀態(tài)Table 9 Damage state of specimens TP074～TP079 when loading finished

從表9可以看出，各構(gòu)件的損傷值離散性比單向加載大。由于鋼筋混凝土構(gòu)件力學(xué)性能具有較大離散型，并且根據(jù)表7設(shè)定的性能界限值，從最終狀態(tài)判定的結(jié)果來看，最終狀態(tài)都是倒塌。這說明本文損傷參數(shù)和界限值對(duì)于空間加載情況也具有較好的預(yù)測(cè)性。

6 結(jié)論

本文基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)文獻(xiàn)［1］中三維拓展的Park-Ang損傷模型的參數(shù)進(jìn)行了擬合，并對(duì)其損傷等級(jí)進(jìn)行了劃分，成果如下：

1）分別通過一維加載和空間加載的試驗(yàn)對(duì)三維損傷模型進(jìn)行了驗(yàn)證，說明了本文給出的參數(shù)取值和等級(jí)劃分能夠較好地評(píng)價(jià)不同加載路徑的損傷；

2）文獻(xiàn)［1］中Park-Ang損傷模型的三維拓展形式結(jié)合本文的參數(shù)取值和性能等級(jí)劃分，組成了一個(gè)能夠評(píng)價(jià)三維受力構(gòu)件損傷的完整指標(biāo)，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

基于數(shù)量更多的、具有不同特征參數(shù)（如剪跨比、軸壓比、配筋率、配箍率、加載模式等）構(gòu)件的試驗(yàn)結(jié)果，說明本文的參數(shù)和等級(jí)劃分的適用范圍和離散性可以作為進(jìn)一步的研究方向。

［1］郭進(jìn)，王君杰.Park-Ang損傷模型在彎矩－轉(zhuǎn)角層面的三維拓展［J］.世界地震工程，2013（4）：141-146.GUO Jin，WANG Junjie.Three dimensional extension for Park-Ang damage model in moment-rotation level［J］.World Earthquake Engineering，2013（4）：141-146.

［2］MINER M A.Cumulative damage in fatigue［J］.Journal of Applied Mechanics，1945，12（3）：159-164.

［3］KAPPOS A J.Seismic damage indices for RC buildings：evaluation of concepts and procedures［J］.Progress in Structural Engineering and Materials，1997，1（1）：78-87.

［4］WILLIAMS M S，SEXSMITH R G.Seismic damage indices for concrete structures：a state-of-the-art review［J］.Earthquake Spectra，1995，11（2）：319-349.

［5］COSENZA E，MANFREDI G.Damage indices and damage measures［J］.Progress in Structural Engineering and Materials，2000，2（1）：50-59.

［6］COSENZA E，MANFREDI G，RAMASCO R.Use of damage functionals in earthquake engineering：a comparison between different methods［J］.Earthquake Engineering＆Structural Dynamics，1993，22（10）：855-868.

［7］PARK Y J，ANG A H S.Mechanistic seismic damage model for reinforced concrete［J］.Journal of Structural Engineering，1985，111（4）：722-739.

［8］PARK Y J，ANG A H S，WEN Y K.Seismic damage analysis of reinforced concrete buildings［J］.Journal of Structural Engineering，1985，111（4）：740-757.

［9］王東升，馮啟民，王國(guó)新，等.考慮低周疲勞壽命的改進(jìn)Park-Ang地震損傷模型［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2004，37（11）：41-49.WANG Dongsheng，F(xiàn)ENG Qimin，WANG Guoxin，et al.A modified Park-Ang seismic damage model considering lowcycle fatigue life［J］.China Civil Engineering Journal，2004，37（11）：41-49.

［10］MO Y L，WANG S J.Seismic behavior of RC columns with various tie configurations［J］.Journal of Structural Engineering，2000，126（10）：1122-1130.

［11］PARK Y J，ANG A H S，WEN Y K.Damage-limiting aseismic design of buildings［J］.Earthquake Spectra，1987，3（1）：1-26.

［12］STONE W C，TAYLOR A W.Seismic performance of circular bridge columns designed in accordance with AASHTO／CALTRANS standards［M］.Gaithersburg，MD：National Institute of Standards and Technology，1993.

［13］KUNNATH S K，REINHORN A M，ABEL J F.Computational tool for evaluation of seismic performance of reinforced concrete buildings［J］.Computers and Structures，1991，41（1）：157-173.

［14］TAKEMURA H，KAWASHIMA K.Effect of loading hysteresis on ductility capacity of reinforced concrete bridge pier［J］.Journal of Structural Engineering，1997，43A：849-858.

Parameter identification and performance classification for the three-dimensional Park-Ang damage model

GUO Jin，WANG Junjie，HAN Peng，WANG Wenbiao
（Department of Bridge Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China）

The selection of parameter values and definition of damage levels for the three-dimensional Park-Ang damage are not available in the existing literature.The parameters are determined based on the test data through two traversal searches.According to the existing performance levels classification method，the damage limit values for the three-dimensional Park-Ang damage model were determined.The applicability of the parameter values selection and damage levels for specimens in different loading paths is verified based on one set of one-dimensional tests.Their applicability for specimens under special force is verified based on another set of tests.The results showed that the ascertained parameters and damage levels form a complete set of damage indicators together with the expression of the existing three-dimensional Park-Ang damage model.With this damage model，damage can be accurately evaluated for structural members in different one-dimensional loading paths or spatial force.

three-dimensional Park-Ang damage model；parameter determination；performance level；traversal search；loading path

10.3969／j.issn.1006-7043.201311010

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.U.20140922.1645.003.html

U442.5

A

1006-7043（2014）11-1332-07

2013-11-05.網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2014-09-22.

國(guó)家973計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013CB036300）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51278373）；貴州省科技廳黔科合重大專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目（字【2011】6014）.

郭進(jìn)（1985-），男，博士研究生；王君杰（1962-），男，教授，博士生導(dǎo)師.

王君杰，E-mail：jjqxu＠126.com.