黃 碩，段文洋，游亞戈，姜金輝，王文勝

（1.中國科學院可再生能源重點實驗室，廣東廣州510000；2.中國科學院廣州能源研究所，廣東廣州510000；3.哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001；4.上海船舶運輸科學研究所，上海200135）

液艙晃蕩與船體非線性時域耦合運動計算

黃 碩1，2，3，段文洋3，游亞戈1，2，姜金輝4，王文勝1，2

（1.中國科學院可再生能源重點實驗室，廣東廣州510000；2.中國科學院廣州能源研究所，廣東廣州510000；3.哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001；4.上海船舶運輸科學研究所，上海200135）

LNG船等液貨船的研制和應用中，為了研究非線性水動力對液艙晃蕩及船體運動的影響，改進了規(guī)則波及不規(guī)則波中液艙晃蕩與船體非線性耦合運動的時域預報技術。通過改變液艙物面邊界條件模擬能量耗散，對液艙內部流動采用全非線性模型，船體外流場采用非線性瞬時物面條件的時域格林函數(shù)邊界元模型，并應用基于組合B樣條的高階面元法求解邊值問題和迭代半隱式時域步進法對內外流場和船體運動同時求解。通過對比，驗證了這種考慮能量耗散的方法的有效性，研究了非線性水動力中各種因素的影響，得出能量耗散系數(shù)μ的選取規(guī)律。

液艙晃蕩；能量耗散；全非線性模型；時域耦合運動；LNG船；B樣條；迭代半隱式時域步進法

液艙部分裝載時艙內液體大幅晃蕩可能會給船體帶來巨大的危害。因此在時域內直接求解液艙晃蕩與船體非線性耦合運動問題具有很大的吸引力。目前國內外學者就該問題分別應用線性頻域及非線性理論對液艙晃蕩進行模擬［1-2］，對船體運動大多采用線性方法進行分析［3-4］。但試驗發(fā)現(xiàn)即使入射波是微幅線性的，某些頻率下巨大的晃蕩沖擊壓力會導致船體運動平衡位置及濕表面的大幅變化，作用在船體上的流體動力載荷具有明顯的非線性特點。

為求解這種耦合問題，首先要對液艙晃蕩問題進行精確高效的計算。部分學者應用Navier-Stokes方程進行求解［5］。但其計算時間較長，所以應用加入人工能量耗散［6］的勢流理論。文獻［7-8］建立了一種改進的物面邊界條件模擬能量耗散，但只對線性液藏晃蕩問題進行了研究。

鑒于上述問題，首先將文獻［8］建立的能量耗散條件擴展到全非線性液艙晃蕩數(shù)值模擬中。注意到即使入射波是線性的，船體搖蕩引起艙液晃蕩的非線性也非常顯著。因此，抓住該耦合問題的主要矛盾，對船體外部流動采用線性自由面和非線性瞬時物面條件的時域分析方法，對液艙內部流動采用改進的全非線性模型，利用B樣條高階面元法對邊界積分方程進行離散［9］。擴展文獻［10］提出的迭代半隱式時域步進法（ISITIMFB）對內外流場和船體運動同時求解。在規(guī)則波及不規(guī)則波作用下對液艙晃蕩與船體非線性耦合運動進行計算，通過與文獻［11-12］中頻域及試驗結果的對比，研究能量耗散條件的作用效果，得到能量耗散系數(shù)μ的選取規(guī)律。

1 數(shù)學模型

1.1 全非線性液艙晃蕩

1.1.1 速度勢定解條件

為方便求解，對全非線性液艙晃蕩的模擬在動坐標系oTyTzT下進行，如圖1。其與大地坐標系OYZ關系為

式中：α為歐拉角，T為轉化矩陣。

圖1 液艙坐標系Fig.1 Coordinate system of the tank

假定流體為不可壓縮無粘無旋，在計算域SΩ內速度勢φ滿足的定解條件［13］為

式中：ζb是oTyTzT下的自由表面波高，V和W是速度U在oTyT和oTzT方向的分量，單位法向量n指向流體域外部，g是重力加速度，Tij是T中的系數(shù)，SB（t）是液艙瞬時濕表面。

采用簡單格林函數(shù)法，將問題轉化為

式中：C為P點處流場邊界的兩條半切線之間的夾角在域內的部分，S為除去P點的整個流域邊界。

值得注意的是，速度勢定解問題是在動坐標系下求解，因此流體對艙壁壓力可寫為

1.1.2 能量耗散的近似

為了在勢流理論模型式（2）中引入粘性效應，文獻［7］在頻域分析中認為能量耗散主要發(fā)生在壁面邊界層處，因此對液艙物面邊界條件進行改進。文獻［8］首先將該方法應用到時域計算中，得到直接的時域表達形式為

式中：μ是阻尼系數(shù)，SB是液艙平均濕表面。Un反映能量耗散，是與式（2）中相同的物面法向速度。

數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)式（5）中的系數(shù)μ依賴于液艙形狀及充液比例。這需要針對不同的工況選擇不同的系數(shù)μ，在實際應用中是相對困難的。為了避免式（5）帶來的問題，文獻［8］將式（5）改進為

在全非線性液艙晃蕩數(shù)值模擬中，注意到物面條件在瞬時濕表面SB（t）上滿足，并將式（1）代入式（6）得到改進物面條件在動作標系oTyTzT下的表達式：

1.1.3 動坐標系下?φ／?t的定解條件

為解決?φ／?t的計算難題，仿照速度勢φ的求解過程，把?φ／?t看成一個調和函數(shù)，建立了?φ／?t的在大地坐標系OYZ下的定解條件［15］：

由于求解是建立在液艙動坐標系oTyTzT下，因此需建立動坐標系下?φ／?t的定解條件，得

動坐標系下?φ／?t的自由面條件已由式（2）給出，至此建立了動坐標系下?φ／?t的定解條件。

1.2 液艙晃蕩與船體非線性耦合運動

考慮任意形狀帶有液艙的船體在自由水表面作大幅搖蕩的運動問題，定義3個坐標系如圖2。

1）大地坐標系OYZ，表述入射波及船體周圍的擾動流場，建立船體的運動方程。

2）船體動坐標系oyz。表述船體表面，其隨船體一起平移和旋轉。t＝0時刻，o與O重合。搖蕩時，船體重心G′的位置矢量為S＝（η1，η2，η3）。

3）液艙局部動坐標系oTyTzT。t＝0時刻，oTyT軸與液艙靜水面重合，oTzT軸通過船體的重心G，且oT在液艙內部水線面中心處。

圖2 坐標系的建立Fig.2 Coordinate definition

未擾動時，以上3個坐標系互相平行，流場邊界上的單位法向量均指向流體域外部。

理想流體假設下，存在 φ ＝φ0＋φp。 其中，φ0為入射勢，φp為擾動勢。入射波的一階速度勢為

式中：ζa是入射波波幅，ω是入射波頻率，k0是波數(shù)。

擾動勢φp的物面非線性定解條件寫為

滿足線性自由面條件的時域Green函數(shù)為

式中：δ（t）為 delta函數(shù)，H t()為單位階躍函數(shù)，τ≤t。

求解擾動勢φp的物面非線性分布源模型［16］為

式中：B（t）和A（t）為浮體與自由面Z＝0左右兩交點的橫坐標，和為點B和A的橫坐標對時間導數(shù)，｜A－B表示兩交點對應的值相減。

液艙劇烈晃蕩與船體非線性耦合運動需在船體重心處建立運動方程：

式中：除了有外流場水動力（矩）F（N），橫向彈簧回復力Kη2，阻尼力，船體重力及橫搖阻尼力矩Nc外，還有液艙晃蕩水動力（矩）Fsloshing（Nsloshing）的作用；K為彈簧剛度系數(shù)；C為阻尼系數(shù)；m為裸船質量。本文應用文獻［11］的一種半解析的方法估算非線性橫搖阻尼力矩：

式中：CD為無量綱的阻尼系數(shù)，B為船寬，L為船長。

為避免每一時間步逐點對時間微分，再對?φ／?t積分導致的時域模擬失效。采用文獻［16］提出的先積分后微分的船體大幅運動水動力計算公式：

由于在耦合運動計算中船體運動需時時傳遞至液艙，同時液艙的晃蕩力（矩）亦需時時作用于船體，故還需對這2組物理量在不同坐標系下轉換。

2 數(shù)值模擬方法

2.1 基于組合B樣條的高階面元法

對于如式（2）描述的定解問題的求解，本文發(fā)展了一種基于B樣條的高階面元法。未知的速度勢φ和物體幾何形狀可由3次B樣條曲線定義：式中：di（t）和dj（t）分別是自由面和瞬時物面上的控制點，n1和 n2是相應的控制點數(shù)目，φni（t）和φj（t）是相應控制點上的速度勢法向導數(shù)和速度勢。

在自由面和物面交點 P處采用重節(jié)點技術。應用B樣條端點條件，交點處邊界及連續(xù)性條件為

將式（22）代入式（3）可得到以自由面及物面上諸控制點di（t）和dj（t）對應的φj（t）和φnj（t）為未知數(shù)的線性方程，求解過程參見文獻［17］。

2.2 運動方程解耦

本文對ISITIMFB方法［18］進行擴展，在每一時間步，船體運動時時傳遞給液艙，求解該時刻液艙內部流場，再對艙壁上的壓力積分計算出液艙的晃蕩力添加至船體運動方程，進而對耦合運動解耦。

首先假定在t＝tn－1時刻，所有計算都已完成。tn時刻的船體及流體速度可按如下得到：

1）基于最小二乘法，由前面諸時刻已知的加速度預估tn時刻的船體加速度和液艙晃蕩能量耗散條件中的 (?φT／?t )n（0），應用Adams-Moulton方法［19］預估船體速度Un（0）：

2）將當前預估的Un（0）及 （?φT／?t）n（0）代入液艙和船體水動力定解條件中求解φp和φT。

3）計算液艙內部流體自由面表面速度勢及流體速度，速度由當前的Un（0）轉換得到。

4）求解船體的受力及加速度：

①應用U·n（k－1）和 Un（k－1）求解艙內物面及自由面上的 ，n（k－1）表示t時刻的第k次n迭代；

②計算船體受力Fn（k），船體加速度及速度為

Mb是裸船慣性矩陣，

③應用Un（k）求解船體及液艙物面速度勢；

④判斷船體加速度的相對誤差e，如誤差足夠小，繼續(xù)第5）步計算，否則重復第4）步。

5）應用上步最后迭代得到的 Un（u）和 U·n（u）步進船體位移，tn＋1時刻船體位移以三階泰勒展開：

應用最后計算的液艙內部流體自由表面速度勢計算液艙內部流體自由表面速度。步進下一時刻tn＋1液艙內部自由表面上?φ／?t、自由表面、瞬時濕表面及船體瞬時濕表面位置。

3 時域數(shù)值計算及試驗驗證

3.1 新阻尼模型的效率

能量耗散條件提出的主要目的是在液艙晃蕩與船體耦合運動的求解中應用勢流理論對晃蕩產生的水動力進行符合實際的模擬。關鍵部分就是能量耗散系數(shù)μ的選取。為研究其在長時間數(shù)值模擬中的作用，對文獻［1］試驗中帶液艙駁船橫蕩運動（如圖3）進行模擬。為充分反映晃蕩特性，數(shù)值計算時長都選入射波周期的60倍，對μ取0.0、0.3、0.5、0.7、0.9、1.1。典型激勵頻率下液艙晃蕩與駁船橫蕩耦合運動時歷如圖4所示。對時歷曲線穩(wěn)態(tài)段做快速傅里葉變換得到運動RAO，通過與試驗值的比較（如圖5），得出μ的選取規(guī)律。

圖3 帶液艙駁船橫蕩運動模型Fig.3 Box-shaped hull section

圖4 液艙晃蕩與駁船橫蕩耦合運動時歷曲線Fig.4 Time history of sloshing and sway coupling motion

從圖4中可看出，在不考慮液艙晃蕩能量耗散時（μ＝0），即使在模擬60個周期后，時歷曲線仍然難以達到穩(wěn)態(tài)并且呈現(xiàn)明顯的包絡特性。一方面是由于液艙晃蕩共振效應導致的。另一方面是由于數(shù)值計算中未考慮液艙晃蕩能量耗散的影響［8］。實際上，在晃蕩過程中由于流體粘性及波浪破碎等因素，能量耗散是伴隨著整個流體晃蕩過程的，在經歷多個周期之后，液艙內部流體運動趨于穩(wěn)態(tài)。增大μ的取值不但改變橫蕩運動幅值且可更快速的使多頻非簡諧時歷曲線衰減成單頻的穩(wěn)態(tài)簡諧曲線，這說明本文能量耗散條件的作用效率較高。

圖5 μ對帶有液艙的浮體橫蕩運動RAO的影響Fig.5 Sway coupling motion RAO with different μ

從圖5中可看出，當入射波頻率ω向晃蕩一階固有頻率ω1＝8.65 rad／s靠近時，液艙晃蕩減小了駁船的橫蕩運動。在大于ω1附近，液艙晃蕩明顯加劇了浮體的橫蕩運動，可以看出ω＝9.5 rad／s附近，帶有液艙的浮體運動RAO出現(xiàn)峰值，增大μ可以減輕晃蕩對船體橫蕩運動的影響。在不考慮液艙晃蕩能量耗散影響時，數(shù)值結果與試驗結果在峰值附近差異較大，前者要明顯大于后者。因此能量耗散系數(shù)μ的選取對計算精度的影響很大。

帶液艙船體橫蕩運動RAO與不帶液艙船體橫蕩運動RAO曲線在兩曲線交點處發(fā)生明顯分歧（該工況時在ω＝9.0 rad／s處），該頻率定義為交界頻率ωd。當波頻小于ωd時，液艙晃蕩減弱了船體橫蕩運動；當波頻大于ωd時，液艙晃蕩反而加劇了船體橫蕩運動。交界頻率 ωd處對應的橫蕩運動RAO幅值幾乎不受能量耗散系數(shù) μ的影響。當ω ＜ωd時，μ按晃蕩固有頻率處誤差最小選取μ＝0.3與試驗值吻合較好，當ω＞ωd時μ按RAO曲線峰值處誤差最小選取μ＝0.9與試驗值吻合較好?？砂l(fā)現(xiàn)，規(guī)則波中對液艙晃蕩與船體耦合運動進行數(shù)值模擬時，μ的取值是有規(guī)律的，可能對于某些工況來說μ需進一步修正，但暫可認為該規(guī)律是最合適的。

3.2 LNG船的試驗驗證

為了驗證上文所述規(guī)則波中能量耗散系數(shù)μ選取的規(guī)律，選取一個典型的具有試驗數(shù)據(jù)的LNG運輸船如表1，3種液艙裝載工況（R0，R2，R3）進行研究如表2所示。由于只關注橫浪規(guī)則波下LNG船的橫蕩及橫搖運動，船艏及船尾形狀對運動影響較小，因此可用二維數(shù)值模型進行計算。計算中LNG船按排水體積及形寬不變等效為吃水相同的駁船，液艙形狀按實際LNG船液艙給定。

表1 LNG船和液艙的特征尺度Table 1 Main dimensions of LNG carrier and its tanks

表2 計算參數(shù)Table 2 Numerical parameters used in the computation

將數(shù)值結果與文獻［20］試驗結果進行對比（如圖6）可看出，橫搖運動RAO與試驗值吻合較好，驗證了能量耗散系數(shù)μ選取規(guī)律的適用性。雖然現(xiàn)有的模型不能對自由表面做精確的模擬（未考慮波浪破碎、砰擊等作用），但并不影響對液艙晃蕩與船體耦合運動的計算，而這才是主要目的。

圖6 LNG船橫搖運動RAO的比較Fig.6 Comparison of roll motion RAO of an LNG carrier

3.3 不規(guī)則波中帶液艙船體的耦合運動分析

為考察實際海況中的液貨船耦合運動效應是否顯著，研究時域結果特性及能量耗散條件的作用效果。計算了文獻［11-12］中帶液艙駁船（如圖7）在不規(guī)則波中的運動，并與試驗及頻域結果進行比較。選用第17界ITTC推薦的JONSWAP海浪譜，選取中等海情的短期海況，浪向為橫浪，譜峰周期為1.6 s，有義波高為0.06 m。液艙裝載工況如表3所示，μ分別取0.0、0.3、0.5。

圖7 帶液艙駁船試驗模型Fig.7 Barge model in the basin

表3 計算工況（h為艙內部水深，L是液艙寬度）Table 3 Calculated condition（h is water depth and L is width of tank）

影響耦合運動的能量耗散主要有2個方面：一是晃蕩中由于液體粘性及波浪破碎等引入的能量耗散，二是由駁船外流場波浪力引起的橫搖粘性阻尼。因此橫搖阻尼系數(shù)Cd可按無液艙的駁船進行選取，文獻［11］中發(fā)現(xiàn)Cd＝0.2時較適合當前海況。由于駁船較寬，加載液艙后會明顯影響駁船橫搖運動，對橫蕩運動影響相對較小，因此重點研究該駁船的橫搖運動。圖8、9是對艙晃蕩與駁船橫搖耦合運動時歷曲線做交叉譜分析后得到的運動RAO與試驗及頻域結果的比較。

圖8 Cd和μ對帶液艙駁船橫搖RAO的影響，h／L＝0.237 5Fig.8 Roll RAO of barge with tanks in different Cdand μ，h／L＝0.237 5

圖9 μ對帶液艙駁船橫搖運動RAO的影響Fig.9 Roll RAO of barge with tanks in different μ

從圖8中看出，不規(guī)則波中液艙晃蕩在ω1附近的減搖效果明顯，卻在某些頻率下加劇了駁船運動，這與規(guī)則波問題的分析一致。不考慮μ時，改變Cd對橫搖運動RAO的第1個峰值影響較大，而對第2個峰值幾乎沒有影響。這是由于雖然在耦合運動中增加μ與Cd都可對橫搖運動起到減搖的作用，但作用機理不同，產生的效果也不同。第1個峰值主要是駁船自身慣性引起，而第2個峰值是由液艙晃蕩引起，Cd只能對前者產生作用。第2個峰值的能量耗散效應更為明顯，因此在晃蕩與船體耦合運動中僅僅通過加載橫搖阻尼修正運動是不夠的，晃蕩能量耗散效應必須考慮。

從圖9中可以看出，μ＝0.3，Cd＝0.2時較適合當前海況下駁船的橫搖耦合運動，數(shù)值與試驗結果吻合較好。μ的選擇與充液比例無關，這在時域模擬中是十分方便及重要的。在不規(guī)則波中μ的取值是單一的，不需像在規(guī)則波中那樣根據(jù)入射波波頻與ω1的關系選取。頻域結果與本文數(shù)值及文獻［11-12］中的試驗結果在第2個峰值處有較大差別。這種差別在2種充液狀態(tài)下都有發(fā)生，其原因一是頻域方法對橫搖粘性和液艙晃蕩粘性修正方法的局限性導致，二是艙內液體晃蕩的多頻振蕩，使得在船體運動中疊加非單色入射波頻的激勵力成分，從而導致船體運動并非滿足線性單頻假設，因而對艙液流動采用線性頻域理論處理會產生較大誤差。

4 結論

本文基于時域勢流理論，建立了一種新的計算液艙晃蕩與船體非線性耦合運動的模型。新模型給出了一種改進的液艙壁面邊界條件以近似晃蕩能量耗散效應。通過與試驗及頻域結果的比較發(fā)現(xiàn)：

1）新模型成功地近似了液艙晃蕩與船體耦合運動中液艙晃蕩導致的能量耗散效應。只需經歷短時間的數(shù)值模擬即可達到穩(wěn)態(tài)。這種方法較之其他的基于粘性流體方程的模型效率更高。

2）分析了能量耗散系數(shù)μ修正耦合運動的作用及限晃效率，得到規(guī)則波及不規(guī)則波中較優(yōu)化的能量耗散系數(shù)選取規(guī)律。其與液艙的濕表面形狀及充液比例無關，且不受模型尺度的影響，這在時域數(shù)值模擬中是非常方便及高效的。

3）不規(guī)則波中非線性理論得到的帶液艙船體橫搖運動RAO由晃蕩引起的第2個峰值要比線性頻域理論計算的大，這與試驗得到了一致的結果。因而對不規(guī)則波中艙液流動采用常規(guī)船體運動分析的線性頻域理論處理會產生較大誤差。

作為基礎理論研究，本文模擬限于二維問題，由于耦合分析中晃蕩總體載荷是關鍵因素，且船舶橫搖受晃蕩影響最顯著，因此反應了最主要的影響因素，結論可指導進一步的三維分析。

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Nonlinear time domain simulation of sloshing and coupled ship motion

HUANG Shuo1，2，3，DUAN Wenyang3，YOU Yage1，2，JIANG Jinhui4，WANG Wensheng1，2
（1.Key Laboratory of Renewable Energy，Chinese Academy of Sciences，Guangzhou 510000，China；2.Guangzhou institute of energy conversion，Chinese Academy of Sciences，Guangzhou 510000，China；3.College of Shipbuilding Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；4.Shanghai Shipping Scientific Research Institute，Shanghai 200135，China）

With the development of LNG carriers，this paper focuses on the study of the influencing characteristics of sloshing in the coupled nonlinear ship motions.The aim is to develop the time domain prediction techniques under both regular and irregular wave conditions.The energy dissipation was modeled by changing the boundary condition on tank solid boundaries.Under the linear free surface condition，to find out the potential，the fully nonlinear model was adopted for the inner tank flow and the boundary element model of Green function satisfying transient nonlinear body surface condition was used for external flow outside the tank.The boundary value problem was solved by the B-spline higher-order panel method.The ISITIMFB（iterative semi implicit time integration method for floating bodies）was applied to solve the body’s velocity and displacements.An extended principle to determine the dissipation coefficient μ is extracted and the effectiveness of this method was demonstrated from the comparison results of the experimental and numerical situation.

sloshing；energy dissipation；fully nonlinear model；time-domain coupled motion；LNG carrier；B-spline；ISITIMFB

10.3969／j.issn.1006-7043.201307076

O352；U661.1

A

1006-7043（2014）09-1045-08

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201307076.html

2013-07-31. 網(wǎng)絡出版時間：2014-08-26.

國家自然科學基金資助項目（70271029，41106031）；國家973計劃基金資助項目（2012CB723804）.

黃碩（1984-），女，助理研究員，博士；段文洋（1967-），男，長江學者，教授，博士生導師.

黃碩，E-mail：huangshuo＠m(xù)s.giec.ac.cn.