錢德春

數(shù)學(xué)符號是人們進(jìn)行表示、計(jì)算、推理、交流和解決問題的有效載體.符號化是數(shù)學(xué)的顯著特征，它使數(shù)學(xué)關(guān)系的表述、幾何圖形和邏輯關(guān)系的表示更準(zhǔn)確、規(guī)范、簡明，也使數(shù)學(xué)更充滿魅力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）的十大核心詞中排在第二位的就是“符號意識”，要求學(xué)生“能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理.建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式.”要讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維.初中學(xué)生在數(shù)學(xué)符號化過程中，因數(shù)學(xué)符號的概括性與抽象性而感到枯燥、乏味，難以適應(yīng)數(shù)學(xué)符號化表述方式，難以理解數(shù)學(xué)符號內(nèi)涵，不能熟練地進(jìn)行文字語言、圖形語言和符號語言的互譯……凡此種種，直接影響了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).筆者就如何發(fā)展學(xué)生的符號意識，克服數(shù)學(xué)符號化學(xué)習(xí)中的障礙談?wù)劷虒W(xué)策略.

1 在了解數(shù)學(xué)符號形成過程中激發(fā)興趣

數(shù)學(xué)符號是人們?yōu)榱朔奖銛?shù)學(xué)表示和表述數(shù)學(xué)關(guān)系而創(chuàng)造的，它隨著數(shù)學(xué)發(fā)展的需要而產(chǎn)生，也隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而完善和完美.數(shù)學(xué)符號及其產(chǎn)生的過程是非常有趣的.如十六世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家維葉特用“=”表示兩個(gè)量的差別，可是英國牛津大學(xué)數(shù)學(xué)、修辭學(xué)教授列考爾德覺得：用兩條平等而又相等的直線來表示兩數(shù)相等是最合適不過的了，于是等號“=”就從1540年開始使用起來.數(shù)學(xué)符號的形成也很有意義，有的來源于象形，如三角形符號“△”、平行四邊形符號“”、圓的符號“⊙”、平行符號“∥”等；有的則來源于會意，如“>”表示“左”大“右”小；有的則是單詞或字母的縮寫和變形，如“tan”則是單詞tangent的縮寫，而平方根號“〖KF（〗 〖KF）〗”則是由拉丁單詞Radix（根值）的第一個(gè)字母r演變而來.

不少學(xué)生對新數(shù)學(xué)符號不適應(yīng)以至對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生障礙.教學(xué)時(shí)，教師不妨通過播放視頻、講故事、引導(dǎo)學(xué)生上網(wǎng)搜索、組織做相關(guān)游戲等多種形式讓學(xué)生了解相關(guān)符號的形成和演變過程；在學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)符號時(shí)，不妨先讓學(xué)生設(shè)計(jì)自己認(rèn)為合適的符號，再與通用的數(shù)學(xué)符號進(jìn)行比較，讓學(xué)生在自然、快樂中感受數(shù)學(xué)符號的無窮魅力和數(shù)學(xué)家的智慧，在活動中形成對數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的濃厚興趣，消除對數(shù)學(xué)符號學(xué)習(xí)心理障礙.如在學(xué)習(xí)相似符號時(shí)學(xué)生經(jīng)常把“〖XCqdc-2.tif〗”寫成“〖XCqdc-1.tif〗”，原因是學(xué)生對符號的意義和由來不了解.“〖XCqdc-2.tif〗”是由英文詞組“Similar figures”的第一個(gè)字母“S”旋轉(zhuǎn)90°而成，如果教師講清緣由，學(xué)生出錯(cuò)的機(jī)率會大大減少.

另外，教師還可以根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，適時(shí)適度介紹和歸納數(shù)學(xué)符號的種類，如數(shù)量符號（35、圓周率π等），運(yùn)算符號如（+、-、×、÷、〖KF（〗 〖KF）〗、∶等），關(guān)系符號（=、≌、>、∥、⊥等），結(jié)合符號（“（）”、“[]”、“{}”等），性質(zhì)符號（如正號“+”、負(fù)號“-”、絕對值符號“||”等），標(biāo)志符號（如三角形“△”，圓“⊙”等），這樣，學(xué)生在體驗(yàn)學(xué)習(xí)樂趣的同時(shí)，又能形成系統(tǒng)的認(rèn)識.2 在實(shí)例比較中認(rèn)識使用數(shù)學(xué)符號的必要性

數(shù)學(xué)符號具有簡明、概括的特點(diǎn).一個(gè)用文字難以準(zhǔn)確表述數(shù)學(xué)意義的數(shù)學(xué)問題，如果使用符號語言就顯得簡潔、快捷.

如“a、b兩數(shù)的和與這兩數(shù)差的積”用字母表示為“（a+b）（a-b）”；又如x的相反數(shù)的絕對值的倒數(shù)，用符號表示1|-x|；再如“直線AB垂直于直線CD，D為垂足”用符號可寫為：AB⊥CD于點(diǎn)D.多么簡潔啊.可以設(shè)想，計(jì)算題（-12）-2-〖KF（〗（-2）2〖KF）〗+sin30°tan60°如果沒有數(shù)學(xué)符號，要用語言描述這樣的式子，那是多么復(fù)雜的事情啊.顯然，數(shù)學(xué)符號化克服了文字表達(dá)的冗長、累贅的缺陷.

在教學(xué)時(shí)，教者應(yīng)多列舉這樣的例子，通過實(shí)例比較，讓學(xué)生充分體驗(yàn)符號語言在數(shù)學(xué)表示中準(zhǔn)確、簡潔的優(yōu)越性，感受到數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無可替代的作用，認(rèn)識到數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的必然性和必要性，從而強(qiáng)化學(xué)生的符號化意識.

3 在經(jīng)歷符號化過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號意識

數(shù)學(xué)符號化教學(xué)應(yīng)該遵循循序漸進(jìn)的原則，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，逐步滲透.有時(shí)不妨先嘗試用語言表述，當(dāng)學(xué)生解決了知識障礙時(shí)，再引入新的符號.

如“∵、∴”符號的學(xué)習(xí).學(xué)生在七年級學(xué)習(xí)“幾何說理”時(shí)都會自然用到“因?yàn)椤⑺浴钡奈淖终Z言，教師不宜過早地使用“∵、∴”的符號語言.因?yàn)槠鹗寄昙墝W(xué)生的認(rèn)知能力有限，什么表示“因?yàn)椤?，什么表示“所以”很容易混淆，加之學(xué)生剛接觸的“幾何說理”又是學(xué)習(xí)難點(diǎn)，這樣會使難點(diǎn)集中，不利于有效學(xué)習(xí).因此，在學(xué)生初始學(xué)習(xí)“幾何說理”階段不要急于用符號表示，當(dāng)學(xué)生對演繹推理的基本方法有了初步了解后，再引入“∵、∴”等符號，會起到事半功倍的效果.

再如“字母表示數(shù)”是從學(xué)生長期習(xí)慣的以數(shù)字運(yùn)算為主的算術(shù)過渡到以字母、符號為主的代數(shù)，是認(rèn)識上的飛躍.代數(shù)是學(xué)習(xí)其它內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是符號化數(shù)學(xué)思想的開始，更是進(jìn)一步精化數(shù)學(xué)語言、探求數(shù)學(xué)科學(xué)豐富內(nèi)涵的重要手段和強(qiáng)有力的工具.但學(xué)生由于對數(shù)學(xué)符號不適應(yīng)，在列代數(shù)式中往往是錯(cuò)誤千奇百怪.如“a與b的商的123倍”，學(xué)生易寫成（a÷b）×123、123（a÷b）或“123ab”等；“a、b兩數(shù)和的平方”和“a、b兩數(shù)的平方和”經(jīng)?；煜?出現(xiàn)這些現(xiàn)象很正常，教者不必操之過急，應(yīng)給學(xué)生犯錯(cuò)、糾錯(cuò)的機(jī)會，幫助學(xué)生理解代數(shù)與算術(shù)的區(qū)別與聯(lián)系、用字母表示數(shù)的意義和作用，讓學(xué)生經(jīng)歷嘗試、體驗(yàn)的過程，逐步強(qiáng)化符號意識，實(shí)現(xiàn)知識的積累和能力的提升.4 在語言互譯中加深對數(shù)學(xué)符號的理解

在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)符號語言時(shí)，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多種語言互譯的訓(xùn)練.一是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和數(shù)學(xué)外部問題）的數(shù)學(xué)符號化、數(shù)學(xué)符號語言文字化過程；二是進(jìn)行文字語言的數(shù)量關(guān)系或空間形式與數(shù)學(xué)符號的連結(jié)或互譯與轉(zhuǎn)換，以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的理解.endprint

以蘇科版初中數(shù)學(xué)教材七年級下冊第九章第4節(jié)“乘法公式”中的“完全平方公式”教學(xué)為例：教師引導(dǎo)學(xué)生探究公式（a+b）2=a2+2ab+b2時(shí)，結(jié)合圖形面積和運(yùn)算律、代數(shù)式、公式、法則的學(xué)習(xí)，調(diào)動學(xué)生視聽和操作感官的能動作用，實(shí)現(xiàn)三種數(shù)學(xué)語言的互通互譯.

完全平方公式的三種數(shù)學(xué)語言表達(dá)分別為：

（1）符號語言——（a+b）2=a2+2ab+b2；

（2）文字語言——兩項(xiàng)和的平方，等于兩項(xiàng)的平方和加上這兩項(xiàng)乘積的兩倍；

（3）圖形語言——（見下圖）.

教學(xué)中，要突出符號的語義與限制條件，注意數(shù)學(xué)符號語言的形式與內(nèi)容的統(tǒng)一，即通過面積推出公式，這里的a、b表示線段的長，從而增強(qiáng)學(xué)生感性認(rèn)識；在得出基本公式后，再用代數(shù)計(jì)算方法推導(dǎo)公式，進(jìn)而明確：公式中的字母a、b是任意的，不僅可以代表線段長度，還可以是一個(gè)數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)）、一個(gè)代數(shù)式（整式、分式）.這樣，一方面突出“字母表示數(shù)”的基本換元思想；另一方面，讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的認(rèn)識過程，將零碎的、具體的、局部的知識積累上升為對規(guī)律的整體認(rèn)識，這時(shí)的公式已經(jīng)不再是枯燥的、簡單的字母和數(shù)量關(guān)系，而是現(xiàn)實(shí)的、有意義的有機(jī)整體.只有這樣，學(xué)生才能真正深刻領(lǐng)會和理解數(shù)學(xué)符號語言的真諦.5 在潛移默化中把握數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)符號除了具有簡明、概括、抽象的特點(diǎn)外，還具有數(shù)學(xué)符號表意的多樣性、多種符號表意的一致性和數(shù)學(xué)符號的隱蔽性三種特點(diǎn).

5.1 同一符號表意的多樣性

在數(shù)學(xué)中往往運(yùn)用一個(gè)符號（數(shù)字、字母、運(yùn)算、關(guān)系等）來表達(dá)文字語言中詞語所要表示的多種意義，從而可以縮短表達(dá)式的“長度”.

例如：符號“-”既可以視作運(yùn)算符號的“減號”，又可以作為性質(zhì)符號的“負(fù)號”，如：“3-a”可以理解為“3與a的差”，也可以看成“3與-a”的和；又如：“3a”可以看成“3乘以a”，或看成“3與a的和”、也可以理解為“a的3倍”，還可以看成就是一個(gè)數(shù)；再如23既可以理解為“2除以3的商”，也可以理解為“整體‘1分為3份的其中2份”，還可以看成一個(gè)具體的數(shù)；y=-2x+3既可以表示方程，即x與y之間的相等關(guān)系，也可以表示x、y之間的一次函數(shù)，還可以表示平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，又可以表示三維直角坐標(biāo)系中的一個(gè)平面……

同一種符號的不同含義容易讓學(xué)生產(chǎn)生混淆.有時(shí)因?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)符號感不強(qiáng)，看到符號時(shí)不能很快地辨別出符號的實(shí)際意義，從而阻礙數(shù)學(xué)思維，甚至產(chǎn)生錯(cuò)誤.我們應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生多種方法解釋數(shù)學(xué)符號意義的能力，使之能根據(jù)不同線索對同一符號的不同意義作分類，從而拓寬思路.

5.2 多種符號表意的一致性

有時(shí)同一種數(shù)學(xué)意義，有多種不同的符號表示方法.

例如：a除以b，可寫為a÷b，也可表示為a∶b，還可以寫為ab；又如數(shù)學(xué)與字母或字母與字母相乘：如3與a的積，可寫為3×a、3·a，也可寫為3a（乘號省略），但數(shù)與數(shù)時(shí)只能用“×”，如3乘以2，只能寫為3×2，一般不寫成3·2，更不能省略乘號寫為32.

5.3 數(shù)學(xué)符號的隱蔽性

有時(shí)數(shù)學(xué)符號具有隱蔽性，有的只是因?yàn)闀鴮懳恢玫牟煌饠?shù)學(xué)含義的完全不同.

如“3a”中乘號是隱蔽（省略）的，而符號“sinα”則是一種特定的符號隱蔽方式，理解為α角的正弦函數(shù)，不能理解為sin與α的積；有的以書寫位置的不同來表意，如式子“an”中乘方?jīng)]有符號，式子“ani”表示數(shù)ai的n次方，這里的下標(biāo)i只表示與其他數(shù)的區(qū)別，Anm中m又表示另一種意思；〖KF（〗a〖KF）〗中則包含這樣的三層意義：①根指數(shù)為2；②a是非負(fù)數(shù)；③〖KF（〗a〖KF）〗是a的算術(shù)平方根，也是非負(fù)數(shù).教者只有揭示這些隱性含義，學(xué)生才能理解其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)價(jià)值.6 在類比與對比教學(xué)中減少符號化學(xué)習(xí)的負(fù)遷移

數(shù)學(xué)符號之間有時(shí)是相互演變轉(zhuǎn)化的，如約等于符號“≈”是把“=”的兩條平行且相等的線段變成兩條波浪線；大于號“>”加斜線就變成“≥”（大于或等于），加豎線就變成“≯”（不大于）；將相似符號“∽”下方加上等號就變成“≌”（全等）；又如（）”“[]”與“{}”，它們相互之間的聯(lián)系與區(qū)別一目了然，教者通過類比的方法由已經(jīng)學(xué)習(xí)過的符號演變出新的符號，學(xué)生自然能在類比聯(lián)想中迅速掌握新的符號.

類比教學(xué)法是利用學(xué)習(xí)中正遷移規(guī)律進(jìn)行的，但有時(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)了一種數(shù)學(xué)符號后也有可能對其他符號學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移，教學(xué)中又要通過對比的方法克服這種負(fù)遷移對學(xué)習(xí)的影響.如在學(xué)習(xí)了平行四邊形記號“”后，有學(xué)生臆想正方形用“□”表示、梯形用“”表示；在學(xué)習(xí)了“∠”的符號后有學(xué)生用“└”表示直角；又如3與字母a相乘時(shí)省略乘號，但在遇到數(shù)3與分式ab相乘時(shí)學(xué)生可能會受到3a影響而寫為3ab……教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生明確符號的合理性、規(guī)定性、一致性和公認(rèn)性.再如：有時(shí)為了說明同一問題中用同一字母附加記號表示不同意義時(shí)，往往在字母右上方加一撇，如y′，但這在導(dǎo)數(shù)中是“y的導(dǎo)數(shù)”的表示方法之一，如果依然那樣理解就會引起混淆……教師要對教學(xué)內(nèi)容的地位、前后聯(lián)系要有一定的認(rèn)識高度和整體的把握，教學(xué)時(shí)做必要的鋪添與說明，這樣才能消除學(xué)生的認(rèn)識誤區(qū)，減少負(fù)遷移的影響.endprint

以蘇科版初中數(shù)學(xué)教材七年級下冊第九章第4節(jié)“乘法公式”中的“完全平方公式”教學(xué)為例：教師引導(dǎo)學(xué)生探究公式（a+b）2=a2+2ab+b2時(shí)，結(jié)合圖形面積和運(yùn)算律、代數(shù)式、公式、法則的學(xué)習(xí)，調(diào)動學(xué)生視聽和操作感官的能動作用，實(shí)現(xiàn)三種數(shù)學(xué)語言的互通互譯.

完全平方公式的三種數(shù)學(xué)語言表達(dá)分別為：

（1）符號語言——（a+b）2=a2+2ab+b2；

（2）文字語言——兩項(xiàng)和的平方，等于兩項(xiàng)的平方和加上這兩項(xiàng)乘積的兩倍；

（3）圖形語言——（見下圖）.

教學(xué)中，要突出符號的語義與限制條件，注意數(shù)學(xué)符號語言的形式與內(nèi)容的統(tǒng)一，即通過面積推出公式，這里的a、b表示線段的長，從而增強(qiáng)學(xué)生感性認(rèn)識；在得出基本公式后，再用代數(shù)計(jì)算方法推導(dǎo)公式，進(jìn)而明確：公式中的字母a、b是任意的，不僅可以代表線段長度，還可以是一個(gè)數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)）、一個(gè)代數(shù)式（整式、分式）.這樣，一方面突出“字母表示數(shù)”的基本換元思想；另一方面，讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的認(rèn)識過程，將零碎的、具體的、局部的知識積累上升為對規(guī)律的整體認(rèn)識，這時(shí)的公式已經(jīng)不再是枯燥的、簡單的字母和數(shù)量關(guān)系，而是現(xiàn)實(shí)的、有意義的有機(jī)整體.只有這樣，學(xué)生才能真正深刻領(lǐng)會和理解數(shù)學(xué)符號語言的真諦.5 在潛移默化中把握數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)符號除了具有簡明、概括、抽象的特點(diǎn)外，還具有數(shù)學(xué)符號表意的多樣性、多種符號表意的一致性和數(shù)學(xué)符號的隱蔽性三種特點(diǎn).

5.1 同一符號表意的多樣性

在數(shù)學(xué)中往往運(yùn)用一個(gè)符號（數(shù)字、字母、運(yùn)算、關(guān)系等）來表達(dá)文字語言中詞語所要表示的多種意義，從而可以縮短表達(dá)式的“長度”.

例如：符號“-”既可以視作運(yùn)算符號的“減號”，又可以作為性質(zhì)符號的“負(fù)號”，如：“3-a”可以理解為“3與a的差”，也可以看成“3與-a”的和；又如：“3a”可以看成“3乘以a”，或看成“3與a的和”、也可以理解為“a的3倍”，還可以看成就是一個(gè)數(shù)；再如23既可以理解為“2除以3的商”，也可以理解為“整體‘1分為3份的其中2份”，還可以看成一個(gè)具體的數(shù)；y=-2x+3既可以表示方程，即x與y之間的相等關(guān)系，也可以表示x、y之間的一次函數(shù)，還可以表示平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，又可以表示三維直角坐標(biāo)系中的一個(gè)平面……

同一種符號的不同含義容易讓學(xué)生產(chǎn)生混淆.有時(shí)因?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)符號感不強(qiáng)，看到符號時(shí)不能很快地辨別出符號的實(shí)際意義，從而阻礙數(shù)學(xué)思維，甚至產(chǎn)生錯(cuò)誤.我們應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生多種方法解釋數(shù)學(xué)符號意義的能力，使之能根據(jù)不同線索對同一符號的不同意義作分類，從而拓寬思路.

5.2 多種符號表意的一致性

有時(shí)同一種數(shù)學(xué)意義，有多種不同的符號表示方法.

例如：a除以b，可寫為a÷b，也可表示為a∶b，還可以寫為ab；又如數(shù)學(xué)與字母或字母與字母相乘：如3與a的積，可寫為3×a、3·a，也可寫為3a（乘號省略），但數(shù)與數(shù)時(shí)只能用“×”，如3乘以2，只能寫為3×2，一般不寫成3·2，更不能省略乘號寫為32.

5.3 數(shù)學(xué)符號的隱蔽性

有時(shí)數(shù)學(xué)符號具有隱蔽性，有的只是因?yàn)闀鴮懳恢玫牟煌饠?shù)學(xué)含義的完全不同.

如“3a”中乘號是隱蔽（省略）的，而符號“sinα”則是一種特定的符號隱蔽方式，理解為α角的正弦函數(shù)，不能理解為sin與α的積；有的以書寫位置的不同來表意，如式子“an”中乘方?jīng)]有符號，式子“ani”表示數(shù)ai的n次方，這里的下標(biāo)i只表示與其他數(shù)的區(qū)別，Anm中m又表示另一種意思；〖KF（〗a〖KF）〗中則包含這樣的三層意義：①根指數(shù)為2；②a是非負(fù)數(shù)；③〖KF（〗a〖KF）〗是a的算術(shù)平方根，也是非負(fù)數(shù).教者只有揭示這些隱性含義，學(xué)生才能理解其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)價(jià)值.6 在類比與對比教學(xué)中減少符號化學(xué)習(xí)的負(fù)遷移

數(shù)學(xué)符號之間有時(shí)是相互演變轉(zhuǎn)化的，如約等于符號“≈”是把“=”的兩條平行且相等的線段變成兩條波浪線；大于號“>”加斜線就變成“≥”（大于或等于），加豎線就變成“≯”（不大于）；將相似符號“∽”下方加上等號就變成“≌”（全等）；又如（）”“[]”與“{}”，它們相互之間的聯(lián)系與區(qū)別一目了然，教者通過類比的方法由已經(jīng)學(xué)習(xí)過的符號演變出新的符號，學(xué)生自然能在類比聯(lián)想中迅速掌握新的符號.

類比教學(xué)法是利用學(xué)習(xí)中正遷移規(guī)律進(jìn)行的，但有時(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)了一種數(shù)學(xué)符號后也有可能對其他符號學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移，教學(xué)中又要通過對比的方法克服這種負(fù)遷移對學(xué)習(xí)的影響.如在學(xué)習(xí)了平行四邊形記號“”后，有學(xué)生臆想正方形用“□”表示、梯形用“”表示；在學(xué)習(xí)了“∠”的符號后有學(xué)生用“└”表示直角；又如3與字母a相乘時(shí)省略乘號，但在遇到數(shù)3與分式ab相乘時(shí)學(xué)生可能會受到3a影響而寫為3ab……教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生明確符號的合理性、規(guī)定性、一致性和公認(rèn)性.再如：有時(shí)為了說明同一問題中用同一字母附加記號表示不同意義時(shí)，往往在字母右上方加一撇，如y′，但這在導(dǎo)數(shù)中是“y的導(dǎo)數(shù)”的表示方法之一，如果依然那樣理解就會引起混淆……教師要對教學(xué)內(nèi)容的地位、前后聯(lián)系要有一定的認(rèn)識高度和整體的把握，教學(xué)時(shí)做必要的鋪添與說明，這樣才能消除學(xué)生的認(rèn)識誤區(qū)，減少負(fù)遷移的影響.endprint

以蘇科版初中數(shù)學(xué)教材七年級下冊第九章第4節(jié)“乘法公式”中的“完全平方公式”教學(xué)為例：教師引導(dǎo)學(xué)生探究公式（a+b）2=a2+2ab+b2時(shí)，結(jié)合圖形面積和運(yùn)算律、代數(shù)式、公式、法則的學(xué)習(xí)，調(diào)動學(xué)生視聽和操作感官的能動作用，實(shí)現(xiàn)三種數(shù)學(xué)語言的互通互譯.

完全平方公式的三種數(shù)學(xué)語言表達(dá)分別為：

（1）符號語言——（a+b）2=a2+2ab+b2；

（2）文字語言——兩項(xiàng)和的平方，等于兩項(xiàng)的平方和加上這兩項(xiàng)乘積的兩倍；

（3）圖形語言——（見下圖）.

教學(xué)中，要突出符號的語義與限制條件，注意數(shù)學(xué)符號語言的形式與內(nèi)容的統(tǒng)一，即通過面積推出公式，這里的a、b表示線段的長，從而增強(qiáng)學(xué)生感性認(rèn)識；在得出基本公式后，再用代數(shù)計(jì)算方法推導(dǎo)公式，進(jìn)而明確：公式中的字母a、b是任意的，不僅可以代表線段長度，還可以是一個(gè)數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)）、一個(gè)代數(shù)式（整式、分式）.這樣，一方面突出“字母表示數(shù)”的基本換元思想；另一方面，讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的認(rèn)識過程，將零碎的、具體的、局部的知識積累上升為對規(guī)律的整體認(rèn)識，這時(shí)的公式已經(jīng)不再是枯燥的、簡單的字母和數(shù)量關(guān)系，而是現(xiàn)實(shí)的、有意義的有機(jī)整體.只有這樣，學(xué)生才能真正深刻領(lǐng)會和理解數(shù)學(xué)符號語言的真諦.5 在潛移默化中把握數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)符號除了具有簡明、概括、抽象的特點(diǎn)外，還具有數(shù)學(xué)符號表意的多樣性、多種符號表意的一致性和數(shù)學(xué)符號的隱蔽性三種特點(diǎn).

5.1 同一符號表意的多樣性

在數(shù)學(xué)中往往運(yùn)用一個(gè)符號（數(shù)字、字母、運(yùn)算、關(guān)系等）來表達(dá)文字語言中詞語所要表示的多種意義，從而可以縮短表達(dá)式的“長度”.

例如：符號“-”既可以視作運(yùn)算符號的“減號”，又可以作為性質(zhì)符號的“負(fù)號”，如：“3-a”可以理解為“3與a的差”，也可以看成“3與-a”的和；又如：“3a”可以看成“3乘以a”，或看成“3與a的和”、也可以理解為“a的3倍”，還可以看成就是一個(gè)數(shù)；再如23既可以理解為“2除以3的商”，也可以理解為“整體‘1分為3份的其中2份”，還可以看成一個(gè)具體的數(shù)；y=-2x+3既可以表示方程，即x與y之間的相等關(guān)系，也可以表示x、y之間的一次函數(shù)，還可以表示平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，又可以表示三維直角坐標(biāo)系中的一個(gè)平面……

同一種符號的不同含義容易讓學(xué)生產(chǎn)生混淆.有時(shí)因?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)符號感不強(qiáng)，看到符號時(shí)不能很快地辨別出符號的實(shí)際意義，從而阻礙數(shù)學(xué)思維，甚至產(chǎn)生錯(cuò)誤.我們應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生多種方法解釋數(shù)學(xué)符號意義的能力，使之能根據(jù)不同線索對同一符號的不同意義作分類，從而拓寬思路.

5.2 多種符號表意的一致性

有時(shí)同一種數(shù)學(xué)意義，有多種不同的符號表示方法.

例如：a除以b，可寫為a÷b，也可表示為a∶b，還可以寫為ab；又如數(shù)學(xué)與字母或字母與字母相乘：如3與a的積，可寫為3×a、3·a，也可寫為3a（乘號省略），但數(shù)與數(shù)時(shí)只能用“×”，如3乘以2，只能寫為3×2，一般不寫成3·2，更不能省略乘號寫為32.

5.3 數(shù)學(xué)符號的隱蔽性

有時(shí)數(shù)學(xué)符號具有隱蔽性，有的只是因?yàn)闀鴮懳恢玫牟煌饠?shù)學(xué)含義的完全不同.

如“3a”中乘號是隱蔽（省略）的，而符號“sinα”則是一種特定的符號隱蔽方式，理解為α角的正弦函數(shù)，不能理解為sin與α的積；有的以書寫位置的不同來表意，如式子“an”中乘方?jīng)]有符號，式子“ani”表示數(shù)ai的n次方，這里的下標(biāo)i只表示與其他數(shù)的區(qū)別，Anm中m又表示另一種意思；〖KF（〗a〖KF）〗中則包含這樣的三層意義：①根指數(shù)為2；②a是非負(fù)數(shù)；③〖KF（〗a〖KF）〗是a的算術(shù)平方根，也是非負(fù)數(shù).教者只有揭示這些隱性含義，學(xué)生才能理解其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)價(jià)值.6 在類比與對比教學(xué)中減少符號化學(xué)習(xí)的負(fù)遷移

數(shù)學(xué)符號之間有時(shí)是相互演變轉(zhuǎn)化的，如約等于符號“≈”是把“=”的兩條平行且相等的線段變成兩條波浪線；大于號“>”加斜線就變成“≥”（大于或等于），加豎線就變成“≯”（不大于）；將相似符號“∽”下方加上等號就變成“≌”（全等）；又如（）”“[]”與“{}”，它們相互之間的聯(lián)系與區(qū)別一目了然，教者通過類比的方法由已經(jīng)學(xué)習(xí)過的符號演變出新的符號，學(xué)生自然能在類比聯(lián)想中迅速掌握新的符號.

類比教學(xué)法是利用學(xué)習(xí)中正遷移規(guī)律進(jìn)行的，但有時(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)了一種數(shù)學(xué)符號后也有可能對其他符號學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移，教學(xué)中又要通過對比的方法克服這種負(fù)遷移對學(xué)習(xí)的影響.如在學(xué)習(xí)了平行四邊形記號“”后，有學(xué)生臆想正方形用“□”表示、梯形用“”表示；在學(xué)習(xí)了“∠”的符號后有學(xué)生用“└”表示直角；又如3與字母a相乘時(shí)省略乘號，但在遇到數(shù)3與分式ab相乘時(shí)學(xué)生可能會受到3a影響而寫為3ab……教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生明確符號的合理性、規(guī)定性、一致性和公認(rèn)性.再如：有時(shí)為了說明同一問題中用同一字母附加記號表示不同意義時(shí)，往往在字母右上方加一撇，如y′，但這在導(dǎo)數(shù)中是“y的導(dǎo)數(shù)”的表示方法之一，如果依然那樣理解就會引起混淆……教師要對教學(xué)內(nèi)容的地位、前后聯(lián)系要有一定的認(rèn)識高度和整體的把握，教學(xué)時(shí)做必要的鋪添與說明，這樣才能消除學(xué)生的認(rèn)識誤區(qū)，減少負(fù)遷移的影響.endprint