金巨明+徐燕云

本文對(duì)文[1]與文[2]進(jìn)行比較，通過(guò)聯(lián)想、類比、知識(shí)的遷移，得出一種作正方形的內(nèi)接正三角形的新方法.

1 經(jīng)典回顧一

文[1]中提到我們把頂點(diǎn)都在正方形邊上的正三角形叫做正方形的內(nèi)接正三角形.

如圖1，已知正方形ABCD.求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 假設(shè)△EFG為正方形的一內(nèi)接正三角形，不妨設(shè)其中的兩點(diǎn)G、E在正方形一組對(duì)邊AB、CD上（圖1）.

作△EFG邊EG上的高PF，則G、B、F、P四點(diǎn)共圓.連接BP，則∠FBP=∠FGP=60°.同理，∠FCP=∠FEP=60°.所以△PBC是正三角形，因正△PBC是一定的，所以點(diǎn)P是一個(gè)定點(diǎn).而且定點(diǎn)P是GE的中點(diǎn).經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（或點(diǎn)D）、點(diǎn)P的邊最長(zhǎng)，得最大正三角形，于是得：

作法：如圖1，（1）在正方形ABCD內(nèi)作正△PBC；

（2）過(guò)點(diǎn)P作EG，交AB邊于點(diǎn)G，交對(duì)邊CD于點(diǎn)E；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥GE交BC于點(diǎn)F，連接GF、EF，則△EFG即為所求.

文[2]中的問(wèn)題一：如何利用尺規(guī)作圖的方法作出長(zhǎng)寬符合一定比例的三角形的內(nèi)接矩形？

如圖2，已知△ABC，求作△ABC的內(nèi)接矩形，使DE在BC邊上，點(diǎn)G、F分別在AB、AC邊上，且DE∶DG=2∶1.

分析 求作的矩形要滿足四個(gè)條件：①DE在BC邊上；②G在AB邊上；③F在AC邊上；④DE∶DG=2∶1.要同時(shí)滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個(gè)條件，比如放棄“F在AC邊上”這個(gè)條件，那樣的矩形就比較好作，然后再選擇適當(dāng)?shù)奈凰浦行倪M(jìn)行位似變換，從而把點(diǎn)F定在AC上，再作圖就簡(jiǎn)單多了.

作法 （1）作矩形D′E′F′G′，使D′E′在BC邊上，G′在AB邊上，且D′E′∶D′G′=2∶1；

（2）連接BF′并延長(zhǎng)BF′交AC于點(diǎn)F；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC交AB于點(diǎn)G；

（4）分別過(guò)點(diǎn)F、G作BC的垂線，垂足分別為E、D；

則四邊形DEFG就是所求的矩形.

證明 由作法知：∠FED=∠GDE=90°，

FG∥ED，則∠FGD=90°，

所以四邊形DEFG是矩形.

因?yàn)镋′F′EF=BF′BF=F′G′FG，即FGEF=F′G′E′F′.

由作法知F′G′E′F′=D′E′D′G′=21，

所以FGEF=21，即DE∶DG=2∶1.

3 對(duì)新作法的啟示

在正方形內(nèi)求作等邊三角形是否也可以用位似變換的方法來(lái)解決呢？

題目：已知正方形ABCD，求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 求作的正三角形要滿足D、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上，要同時(shí)滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個(gè)條件，比如放棄“E在CD邊上”這個(gè)條件，那樣的正三角形就比較好作，然后再選擇適當(dāng)?shù)奈凰浦行倪M(jìn)行位似變換，從而把點(diǎn)E定在CD上，再作圖就簡(jiǎn)單多了（圖3）.

作法 （1）在AB、BC上分別取兩點(diǎn)G′、F′，且滿足：15°≤∠BG′F′≤45°；

（2）作正△G′F′E′，使B、E′在直線G′F′的異側(cè)；

（3）連接BE′并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)E；

（4）過(guò)點(diǎn)E分別作G′E′、F′E′的平行線交AB、BC于點(diǎn)G、F；連接GF；

則△EFG就是所求的正三角形.

證明 由作法可知：

△BG′E′∽△BGE，△BF′E′∽△BFE，

所以BE′BE=G′E′GE，BE′BE=F′E′FE，

所以G′E′GE=F′E′FE，又因?yàn)椤螱′E′F′=∠GEF，

所以△G′E′F′∽△GEF，

所以△EFG是正三角形.

正三角形的面積的大小由邊長(zhǎng)決定，邊長(zhǎng)越小，〖LL〗面積越大，反之，也成立.利用幾何畫(huà)板，點(diǎn)G′、F′在變化的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A或點(diǎn)D與點(diǎn)E重合（圖4、5），即∠BG′F′=15°或45°，則正三角形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)，面積最大；（2）當(dāng)GE∥AD（圖6），即∠BG′F′=30°時(shí)，正三角形的邊長(zhǎng)最短，面積最小.

（3）點(diǎn)G′、點(diǎn)F′在變化的過(guò)程中，運(yùn)用幾何畫(huà)板，得到線段GE的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖7中的陰影部分），巧妙地解決了點(diǎn)P是一個(gè)定點(diǎn)的問(wèn)題，再用文[1]的方法進(jìn)行證明，自然貼切，相得益彰.

數(shù)學(xué)是一門(mén)探究的學(xué)科，在平時(shí)的教學(xué)積累中，教師應(yīng)善于總結(jié)，精煉培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)秀素材，開(kāi)發(fā)學(xué)生潛在的思維能力，用位似變換來(lái)探究正方形的內(nèi)接正三角形，不失為一堂優(yōu)秀的探究課.

參考文獻(xiàn)

[1] 李發(fā)勇.正方形的內(nèi)接正三角形的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（8）：32-33.

[2] 王寧.三角形內(nèi)接多邊形的作法探討[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013（8）：37-38.

[3] 周余孝.用相似法再探正方形的一個(gè)分割問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（6）：64-65.endprint

本文對(duì)文[1]與文[2]進(jìn)行比較，通過(guò)聯(lián)想、類比、知識(shí)的遷移，得出一種作正方形的內(nèi)接正三角形的新方法.

1 經(jīng)典回顧一

文[1]中提到我們把頂點(diǎn)都在正方形邊上的正三角形叫做正方形的內(nèi)接正三角形.

如圖1，已知正方形ABCD.求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 假設(shè)△EFG為正方形的一內(nèi)接正三角形，不妨設(shè)其中的兩點(diǎn)G、E在正方形一組對(duì)邊AB、CD上（圖1）.

作△EFG邊EG上的高PF，則G、B、F、P四點(diǎn)共圓.連接BP，則∠FBP=∠FGP=60°.同理，∠FCP=∠FEP=60°.所以△PBC是正三角形，因正△PBC是一定的，所以點(diǎn)P是一個(gè)定點(diǎn).而且定點(diǎn)P是GE的中點(diǎn).經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（或點(diǎn)D）、點(diǎn)P的邊最長(zhǎng)，得最大正三角形，于是得：

作法：如圖1，（1）在正方形ABCD內(nèi)作正△PBC；

（2）過(guò)點(diǎn)P作EG，交AB邊于點(diǎn)G，交對(duì)邊CD于點(diǎn)E；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥GE交BC于點(diǎn)F，連接GF、EF，則△EFG即為所求.

文[2]中的問(wèn)題一：如何利用尺規(guī)作圖的方法作出長(zhǎng)寬符合一定比例的三角形的內(nèi)接矩形？

如圖2，已知△ABC，求作△ABC的內(nèi)接矩形，使DE在BC邊上，點(diǎn)G、F分別在AB、AC邊上，且DE∶DG=2∶1.

分析 求作的矩形要滿足四個(gè)條件：①DE在BC邊上；②G在AB邊上；③F在AC邊上；④DE∶DG=2∶1.要同時(shí)滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個(gè)條件，比如放棄“F在AC邊上”這個(gè)條件，那樣的矩形就比較好作，然后再選擇適當(dāng)?shù)奈凰浦行倪M(jìn)行位似變換，從而把點(diǎn)F定在AC上，再作圖就簡(jiǎn)單多了.

作法 （1）作矩形D′E′F′G′，使D′E′在BC邊上，G′在AB邊上，且D′E′∶D′G′=2∶1；

（2）連接BF′并延長(zhǎng)BF′交AC于點(diǎn)F；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC交AB于點(diǎn)G；

（4）分別過(guò)點(diǎn)F、G作BC的垂線，垂足分別為E、D；

則四邊形DEFG就是所求的矩形.

證明 由作法知：∠FED=∠GDE=90°，

FG∥ED，則∠FGD=90°，

所以四邊形DEFG是矩形.

因?yàn)镋′F′EF=BF′BF=F′G′FG，即FGEF=F′G′E′F′.

由作法知F′G′E′F′=D′E′D′G′=21，

所以FGEF=21，即DE∶DG=2∶1.

3 對(duì)新作法的啟示

在正方形內(nèi)求作等邊三角形是否也可以用位似變換的方法來(lái)解決呢？

題目：已知正方形ABCD，求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 求作的正三角形要滿足D、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上，要同時(shí)滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個(gè)條件，比如放棄“E在CD邊上”這個(gè)條件，那樣的正三角形就比較好作，然后再選擇適當(dāng)?shù)奈凰浦行倪M(jìn)行位似變換，從而把點(diǎn)E定在CD上，再作圖就簡(jiǎn)單多了（圖3）.

作法 （1）在AB、BC上分別取兩點(diǎn)G′、F′，且滿足：15°≤∠BG′F′≤45°；

（2）作正△G′F′E′，使B、E′在直線G′F′的異側(cè)；

（3）連接BE′并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)E；

（4）過(guò)點(diǎn)E分別作G′E′、F′E′的平行線交AB、BC于點(diǎn)G、F；連接GF；

則△EFG就是所求的正三角形.

證明 由作法可知：

△BG′E′∽△BGE，△BF′E′∽△BFE，

所以BE′BE=G′E′GE，BE′BE=F′E′FE，

所以G′E′GE=F′E′FE，又因?yàn)椤螱′E′F′=∠GEF，

所以△G′E′F′∽△GEF，

所以△EFG是正三角形.

正三角形的面積的大小由邊長(zhǎng)決定，邊長(zhǎng)越小，〖LL〗面積越大，反之，也成立.利用幾何畫(huà)板，點(diǎn)G′、F′在變化的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A或點(diǎn)D與點(diǎn)E重合（圖4、5），即∠BG′F′=15°或45°，則正三角形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)，面積最大；（2）當(dāng)GE∥AD（圖6），即∠BG′F′=30°時(shí)，正三角形的邊長(zhǎng)最短，面積最小.

（3）點(diǎn)G′、點(diǎn)F′在變化的過(guò)程中，運(yùn)用幾何畫(huà)板，得到線段GE的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖7中的陰影部分），巧妙地解決了點(diǎn)P是一個(gè)定點(diǎn)的問(wèn)題，再用文[1]的方法進(jìn)行證明，自然貼切，相得益彰.

數(shù)學(xué)是一門(mén)探究的學(xué)科，在平時(shí)的教學(xué)積累中，教師應(yīng)善于總結(jié)，精煉培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)秀素材，開(kāi)發(fā)學(xué)生潛在的思維能力，用位似變換來(lái)探究正方形的內(nèi)接正三角形，不失為一堂優(yōu)秀的探究課.

參考文獻(xiàn)

[1] 李發(fā)勇.正方形的內(nèi)接正三角形的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（8）：32-33.

[2] 王寧.三角形內(nèi)接多邊形的作法探討[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013（8）：37-38.

[3] 周余孝.用相似法再探正方形的一個(gè)分割問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（6）：64-65.endprint

本文對(duì)文[1]與文[2]進(jìn)行比較，通過(guò)聯(lián)想、類比、知識(shí)的遷移，得出一種作正方形的內(nèi)接正三角形的新方法.

1 經(jīng)典回顧一

文[1]中提到我們把頂點(diǎn)都在正方形邊上的正三角形叫做正方形的內(nèi)接正三角形.

如圖1，已知正方形ABCD.求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 假設(shè)△EFG為正方形的一內(nèi)接正三角形，不妨設(shè)其中的兩點(diǎn)G、E在正方形一組對(duì)邊AB、CD上（圖1）.

作△EFG邊EG上的高PF，則G、B、F、P四點(diǎn)共圓.連接BP，則∠FBP=∠FGP=60°.同理，∠FCP=∠FEP=60°.所以△PBC是正三角形，因正△PBC是一定的，所以點(diǎn)P是一個(gè)定點(diǎn).而且定點(diǎn)P是GE的中點(diǎn).經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（或點(diǎn)D）、點(diǎn)P的邊最長(zhǎng)，得最大正三角形，于是得：

作法：如圖1，（1）在正方形ABCD內(nèi)作正△PBC；

（2）過(guò)點(diǎn)P作EG，交AB邊于點(diǎn)G，交對(duì)邊CD于點(diǎn)E；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥GE交BC于點(diǎn)F，連接GF、EF，則△EFG即為所求.

文[2]中的問(wèn)題一：如何利用尺規(guī)作圖的方法作出長(zhǎng)寬符合一定比例的三角形的內(nèi)接矩形？

如圖2，已知△ABC，求作△ABC的內(nèi)接矩形，使DE在BC邊上，點(diǎn)G、F分別在AB、AC邊上，且DE∶DG=2∶1.

分析 求作的矩形要滿足四個(gè)條件：①DE在BC邊上；②G在AB邊上；③F在AC邊上；④DE∶DG=2∶1.要同時(shí)滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個(gè)條件，比如放棄“F在AC邊上”這個(gè)條件，那樣的矩形就比較好作，然后再選擇適當(dāng)?shù)奈凰浦行倪M(jìn)行位似變換，從而把點(diǎn)F定在AC上，再作圖就簡(jiǎn)單多了.

作法 （1）作矩形D′E′F′G′，使D′E′在BC邊上，G′在AB邊上，且D′E′∶D′G′=2∶1；

（2）連接BF′并延長(zhǎng)BF′交AC于點(diǎn)F；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC交AB于點(diǎn)G；

（4）分別過(guò)點(diǎn)F、G作BC的垂線，垂足分別為E、D；

則四邊形DEFG就是所求的矩形.

證明 由作法知：∠FED=∠GDE=90°，

FG∥ED，則∠FGD=90°，

所以四邊形DEFG是矩形.

因?yàn)镋′F′EF=BF′BF=F′G′FG，即FGEF=F′G′E′F′.

由作法知F′G′E′F′=D′E′D′G′=21，

所以FGEF=21，即DE∶DG=2∶1.

3 對(duì)新作法的啟示

在正方形內(nèi)求作等邊三角形是否也可以用位似變換的方法來(lái)解決呢？

題目：已知正方形ABCD，求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 求作的正三角形要滿足D、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上，要同時(shí)滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個(gè)條件，比如放棄“E在CD邊上”這個(gè)條件，那樣的正三角形就比較好作，然后再選擇適當(dāng)?shù)奈凰浦行倪M(jìn)行位似變換，從而把點(diǎn)E定在CD上，再作圖就簡(jiǎn)單多了（圖3）.

作法 （1）在AB、BC上分別取兩點(diǎn)G′、F′，且滿足：15°≤∠BG′F′≤45°；

（2）作正△G′F′E′，使B、E′在直線G′F′的異側(cè)；

（3）連接BE′并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)E；

（4）過(guò)點(diǎn)E分別作G′E′、F′E′的平行線交AB、BC于點(diǎn)G、F；連接GF；

則△EFG就是所求的正三角形.

證明 由作法可知：

△BG′E′∽△BGE，△BF′E′∽△BFE，

所以BE′BE=G′E′GE，BE′BE=F′E′FE，

所以G′E′GE=F′E′FE，又因?yàn)椤螱′E′F′=∠GEF，

所以△G′E′F′∽△GEF，

所以△EFG是正三角形.

正三角形的面積的大小由邊長(zhǎng)決定，邊長(zhǎng)越小，〖LL〗面積越大，反之，也成立.利用幾何畫(huà)板，點(diǎn)G′、F′在變化的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A或點(diǎn)D與點(diǎn)E重合（圖4、5），即∠BG′F′=15°或45°，則正三角形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)，面積最大；（2）當(dāng)GE∥AD（圖6），即∠BG′F′=30°時(shí)，正三角形的邊長(zhǎng)最短，面積最小.

（3）點(diǎn)G′、點(diǎn)F′在變化的過(guò)程中，運(yùn)用幾何畫(huà)板，得到線段GE的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖7中的陰影部分），巧妙地解決了點(diǎn)P是一個(gè)定點(diǎn)的問(wèn)題，再用文[1]的方法進(jìn)行證明，自然貼切，相得益彰.

數(shù)學(xué)是一門(mén)探究的學(xué)科，在平時(shí)的教學(xué)積累中，教師應(yīng)善于總結(jié)，精煉培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)秀素材，開(kāi)發(fā)學(xué)生潛在的思維能力，用位似變換來(lái)探究正方形的內(nèi)接正三角形，不失為一堂優(yōu)秀的探究課.

參考文獻(xiàn)

[1] 李發(fā)勇.正方形的內(nèi)接正三角形的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（8）：32-33.

[2] 王寧.三角形內(nèi)接多邊形的作法探討[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013（8）：37-38.

[3] 周余孝.用相似法再探正方形的一個(gè)分割問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（6）：64-65.endprint