邱為鋼

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 3130 00 ）

經(jīng)典的懸鏈線(xiàn)是指質(zhì)量均勻分布的繩子，在重力場(chǎng)中兩端固定時(shí)候的位形［1，2］．除重力之外，如果給予繩子某種外力，那么，繩子就會(huì)呈現(xiàn)類(lèi)似懸鏈線(xiàn)形狀．垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)的通電導(dǎo)線(xiàn)所受的安培力就是一個(gè)很好的例子．在重力和安培力共同作用下，通電導(dǎo)線(xiàn)（懸鏈線(xiàn)）的形狀，相比通常的懸鏈線(xiàn)，有什么變化？

1 通電懸鏈線(xiàn)的形狀方程

首先，我們利用微元分析法推導(dǎo)通電懸鏈線(xiàn)的形狀方程，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，通電懸鏈線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)放置的．設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于通電懸鏈線(xiàn)所在平面，電流為I．懸鏈線(xiàn)長(zhǎng)度為2l，線(xiàn)密度為ρ．忽略電流元之間的相互作用，弧長(zhǎng)坐標(biāo)在（s，s＋ds）的懸鏈線(xiàn)微元在重力G，兩端張力T（s），T（s＋ds）和安培力F作用下平衡，如圖1所示．通電懸鏈線(xiàn)微元在x，y軸方向受力平衡

通電懸鏈線(xiàn)上弧長(zhǎng)微元滿(mǎn)足

把式（1）～（3）無(wú)量綱化，張力以ρg l為單位，長(zhǎng)度以l為單位，比例參數(shù)

那么，式（1）、（2）轉(zhuǎn)化為

或者

圖1 勻強(qiáng)磁場(chǎng)中通電導(dǎo)線(xiàn)微元受力分析示意圖

現(xiàn)在先給出一般邊界情況下懸鏈線(xiàn)形狀方程式（3）～（7）的解．以通電懸鏈線(xiàn)的最低點(diǎn)為原點(diǎn)，在原點(diǎn)處切角是θ0，張力為T(mén)0．式（4）和式（5）積分，并利用原點(diǎn)的邊界條件，得到

式（6）直接積分得到

聯(lián)立式（8）和式（10 ），得到

把式（11 ）代入式（6），積分得到

其中

x的參數(shù)表示由式（9）、（13 ）和（14 ）給出．懸鏈線(xiàn)端點(diǎn)切角值θ1由a＝確定，其中a是懸鏈線(xiàn)的半寬度．當(dāng)＞1時(shí)，式（14 ）出現(xiàn)的反正切函數(shù)具有多值性，θ1可能取多個(gè)值．

2 通電懸鏈線(xiàn)的形狀

通電懸鏈線(xiàn)的形狀由比例參數(shù)λ和懸鏈線(xiàn)寬度a確定，分為多類(lèi)情況．取a＝為例來(lái)討論．

第一類(lèi)情形是λ＞－a，θ0＝0．

當(dāng)λ＝1時(shí)，懸鏈線(xiàn)形狀的參數(shù)方程是

懸鏈線(xiàn)形狀如圖2所示，其中虛線(xiàn)是未通電時(shí)懸鏈線(xiàn)的形狀．

第二類(lèi)情形是λ＝－a，θ＝arc cos（a）．

此時(shí)懸鏈線(xiàn)的形狀就是“V”字形．

第三類(lèi)情形是λ＜－a，θ0＝π．

此時(shí)懸鏈線(xiàn)形狀類(lèi)似扭結(jié)形．當(dāng)λ＝－1時(shí)，懸鏈線(xiàn)形狀的參數(shù)方程是

圖2 比例參數(shù)λ＝1時(shí)通電懸鏈線(xiàn)形狀

懸鏈線(xiàn)形狀如圖3所示，其中虛線(xiàn)是未通電時(shí)懸鏈線(xiàn)的形狀．

圖3 比例參數(shù)λ＝－1時(shí)通電懸鏈線(xiàn)形狀

第四類(lèi)情形是λ＜－a，θ0＝．

此時(shí)懸鏈線(xiàn)底下部分重合，設(shè)重合部分長(zhǎng)度為s0，分叉點(diǎn)處張力與底下部分重力平衡，即

T0＝s0

切角為θ0＝．仿照以上推導(dǎo)，計(jì)算得到分叉部分的參數(shù)方程為

當(dāng)λ＝－1時(shí)，懸鏈線(xiàn)分叉部分形狀的參數(shù)方程是

懸鏈線(xiàn)形狀如圖4所示，其中虛線(xiàn)是未通電時(shí)懸鏈線(xiàn)的形狀．

圖4 比例參數(shù)λ＝－1時(shí)通電懸鏈線(xiàn)形狀

由于懸鏈線(xiàn)端點(diǎn)切角值θ1方程a＝是超越方程，沒(méi)有解析解，所以，其余比例參數(shù)時(shí)的懸鏈線(xiàn)形狀直接數(shù)值求解式（3～5）來(lái)畫(huà)出．?dāng)?shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)λ＝－3時(shí)，存在多種形狀，因篇幅所致，只給出6種形狀，如圖5所示．

圖5 比例參數(shù)λ＝－3時(shí)通電懸鏈線(xiàn)形狀

3 結(jié)束語(yǔ)

我們的模型忽略了通電導(dǎo)線(xiàn)本身電流元的相互作用，解析和數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于經(jīng)典懸鏈線(xiàn)，通電懸鏈線(xiàn)形狀豐富多彩．當(dāng)比例參數(shù)λ和懸鏈線(xiàn)寬度2a取不同組合時(shí)，由于最底端的幾何條件不一樣（切線(xiàn)水平或垂直），最底端的張力不一樣，以及體系重力勢(shì)能和安培力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能之和不一樣，懸鏈線(xiàn)形狀存在多種可能性．

1 于鳳軍，崔金玲，李立新．利用平衡原理導(dǎo)出懸鏈線(xiàn)方程．工科物理，1998 ，8（4）：14 ～16

2 李玉良 黃湘茹．勻質(zhì)懸鏈幾何形狀的力學(xué)研究．物理與工程，2013 ，23 （1）：8～10