張秋杰　母麗華　杜紅

摘 要：為社會培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實踐能力高素質人才，需要新的教育理論和教育觀念。案例式教學是創(chuàng)新教學方法的有效途徑，它有助于加深學生對理論知識的理解，培養(yǎng)學生的實踐能力。我們在常微分方程課程中加入了案例式教學，實踐表明，教學效果很好。

關鍵詞：案例式教學；常微分方程；教學方法

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）09-0269-03

前言

常微分方程是數學專業(yè)的一門專業(yè)基礎課，一般安排在第三學期。它的前期課程是：數學分析、高等代數、解析幾何、大學物理等。本課程是數學應用于物理、力學等的橋梁，是運用數學工具解決實際問題的重要工具和基礎，也是加深理解數學分析、高等代數等課程的重要課程。常微分方程是綜合性大學數學系各專業(yè)的重要基礎課，也是應用性很強的一門數學課。通過本課程的學習，使學生正確理解常微分方程的基本概念，掌握基本理論和主要方法，具有一定的解題能力，為學習本學科的后續(xù)課程打下基礎。另一方面培養(yǎng)學生理論聯系實際分析問題和解決問題的能力。根據本門課程應用廣泛的特點為了達到上述的教學目標，引入案例式教學。

一、案例式教學特點

案例式教學學生分組進行，學生在案例研究中，運用課程所學的理論和方法，搜索與案例有關的信息，發(fā)揮自己的智慧運用所學的知識解決問題，使學生“參與”研究、討論從而“掌握”課程內容的知識點。教師就學生討論給予引導，就學生的研究內容加以專業(yè)點評，使學生能夠迅速掌握理論聯系實際問題的方法。案例可以把抽象的原理、概念等具體化，學生通過案例，可以明白這些原理在實際問題中的應用之處，案例教學中每組學生聚集本組智慧的同時，也吸收了其他組的想法，達到培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神、實踐能力、團結合作的學習效果。事實證明：案例教學對學生能力現實提升有著極好的促進作用。

二、運用案例式教學法，應做好以下三點

（一）教師注意案例的選取要為教學內容服務

采用案例教學法時，案例的選擇不是隨意地拿來，而是要根據教學內容和教學對象的不同，精心選擇，精心設計。我們要注意：首先，案例能夠恰當的反映教學內容，為教學內容的知識點服務；其次，案例要典型、生動，最好和現實生活能夠接觸到的事物聯系到一起，具有吸引力。這樣的案例貼近于學生的生活，使他們更有興趣參與，更有助于對所學內容的理解。最后，案例難易要適應學生理解知識的進度。一般案例要由易到難，使得學生逐漸接受知識的理解和運用，考慮學生自身能力的差異，盡量選擇和設計出所有學生都可理解接受的案例。

（二）案例式教學適當的應用在教學過程中，準確掌控教學過程

案例教學的過程就是在已學知識的基礎上適度的提問引出案例，組織學生分組思考、討論、研究并自我總結，最后教師講評、總結教學內容，從而完成教學目的的過程。在教學過程中要注意以下幾點：（1）案例提問要適度，要有目的，有層次性。所提的問題要圍繞教學內容精心設計，突出教學內容的知識點。一般采取由易而難，逐漸深入課題，要考慮到學生對問題的認知順序，利用問題誘導學生一點一點的逐層思考，最終得出結果，從而達到全面掌握所學知識的目的。（2）教師要有掌控課堂，處理學生突發(fā)情況的能力。教師是課堂教學的“領航”者，不僅要視大多數學生對問題的理解、掌握情況循循誘導，盡量讓學生自己理解案例，得出正確結果，而且要對有不同想法的學生，給予必要的解釋，掌控課堂上的正確學術氣氛，這就要求教師上課前預想好各種可能的答案，并作好回答，以保證教學的正常進行。

（三）教師對知識點的總結要求精準，對案例的分析要求詳盡、精確

教學的最后環(huán)節(jié)是知識點的歸納，教師要幫助學生整理零星的知識點，并對案例中未出現的知識內容加以補充。這需要教師加深對教學內容的掌握程度，對知識點的理解程度，和加強對案例的剖析能力。

三、常微分方程課程案例教學的實施過程

（一）案例式教學的實施步驟

第一步，首先教師根據常微分方程課程教學大綱所規(guī)定的內容和教學目標，分析內容的重點和難點確定教學的知識點，由知識點的教學內容選擇適合的案例，并對案例進行教學上的制準備。例如制作動畫、仿真、課件、操作實驗等。第二步，教師課堂上講授不同方程的求解方法，引入比較適合的案例，與學生一起對案例開展分析和討論，并對學生留有思考問題和要求學生提交研究方案等。第三步，學生分組討論案例物理背景所提供的條件、建立微分方程求解對解函數做物理解釋并提交研究方案。第四步，教師對學生的案例分析和研究方案進行講評，總結強調案例相關的知識點和理論。第五步，學生根據之前的案例的特點分析知識點的應用適用范圍，并尋找新的案例作為小組的討論和研究內容，提交研究報告，教師對學生所提交的報告批改并給予指導。從而使學生真正的掌握教學的知識點。

實施步驟（見圖1）：

（二）常微分方程教學內容中涉及的案例

（1）變量分離方程涉及的案例：嫌疑犯問題、人口問題、電容器充電問題、飛行員跳傘問題、細菌繁殖問題、傳染病問題；（2）齊次方程涉及的案例：探照燈反射鏡面形狀問題；（3）一階非齊次線性方程涉及的案例：RLC電路問題；（4）可降階二階微分方程涉及的案例：交通事故的勘察、懸鏈線張力分析問題、目標跟蹤問題；（5）二階常系數線性微分方程涉及的案例：彈簧自由振動問題、強迫振動與共振問題。

（三）實施案例式教學舉例

本文利用變量分離方程涉及的案例——嫌疑犯問題為例來說明實施案例式教學的過程。

案例式教學應用在教學中，需要教師授課前做好充足的準備。為了使學生理解案例中問題的物理背景，有時需要教師利用多媒體軟件以及實驗教具輔助教學，因此，教師需要根據案例的不同準備相適應的教學手段。嫌疑犯問題采取的是動畫制作，從聲音和視覺上震撼學生，從而激發(fā)學生的興趣。endprint

首先，教師在課堂上講授變量分離方程概念、特點及求解方法。

其次，教師在課堂上播放動畫視頻提出案例。

嫌疑犯問題：受害者的尸體于晚上7∶30被發(fā)現。法醫(yī)于晚上8∶20趕到兇案現場，測得尸體溫度為32.6℃，1小時后，當尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為31.4℃，室溫在幾小時內始終保持在21.1℃，此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一直在辦公室上班，5∶00時打了一個電話，打完電話后就離開了辦公室”。從張某的辦公室到受害者的家（兇案現場）步行需3分鐘，現在的問題是：張某不在現場的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？

教師用探討的方式和學生溝通“關鍵問題計算出受害者的死亡時間是否在5∶03分前，如是則張某排除在嫌疑犯之外”。教師這時提出“那么如何計算出死亡時間哪？” 大家分成四組討論，最后達成一致的想法是“求解出尸體溫度隨時間變化的函數，從而確定死亡時間”。

接著，教師引導學生討論案例的物理背景并建立微分方程。

解：設T（t）表示尸體的溫度函數，并記晚8∶20為t=0，則T（0）=32.6，T（1）=31.4，假設受害者死亡時體溫是正常的，即T=37℃，要確定受害者死亡的時間，也就是求T（t）=37的時刻t0，如果此時張某在辦公室，則他可被排除在嫌疑犯之外，否則張某不能排除在嫌疑犯之外。

人死后體溫調節(jié)功能消失，尸體的溫度受外界環(huán)境溫度的影響服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫度與室溫的差，則得到方程為：

=-k（T-21.1）

這是變量分離方程。

然后，教師組織學生用變量分離方程的求解方法解出T（t）=

21.1+11.5

-t，當T=37時，得到t≈-2.95小時≈-2小時57分，故死亡時間為8小時20分-2小時57分，即下午5∶23分，所以張某不能被排除嫌疑犯之外。

案例的整個分析、研究、建立方程、求解方程均有4個小組討論而成，教師在課堂上起啟示、引導的作用，當學生得到最后的結果，教師給予講評和總結。

最后，教師歸納總結教學內容，幫助學生梳理所學的知識點，并對無法納入到案例的內容進行補充。教師留兩個實踐作業(yè)：（1）“如果張某的律師找到新證據，證明受害者在死亡當天下午去醫(yī)院看病，當時測得體溫為38.7℃”，回去進一步探討判斷一下張某是否可以排除在嫌疑犯之外？（2）提出新的案例—人口問題，讓學生自己分析問題、建立方程、求解方程，從而解決問題。通過這兩項作業(yè)，不僅讓學生獨立完成一個與教學案例相似的練習案例，而且鞏固了所學的知識。

結語

根據常微分方程課程的教學特點，在教學過程中開展案例式教學是對該門課程傳統教學方法的一種教學改革，通過案例式教學可以促進教師專業(yè)化發(fā)展、完善課堂教學，激發(fā)學生對課堂的學習興趣，加深學生對知識的理解和掌握程度，提高學生創(chuàng)新能力、實踐能力。案例式教學在實踐過程中，需要教師具有課堂討論的控制能力，教學內容的專業(yè)理解能力，才能發(fā)揮案例式教學特有的優(yōu)越性。endprint