姚澄

邀請到江蘇省小學數(shù)學特級教師、蘇州市吳中區(qū)東山實驗小學吳金根校長來校聽課實在是對于筆者乃至整個學校的巨大榮幸。在聽完“統(tǒng)計——平均數(shù)”一課后，吳校長面向?qū)W校全體聽課教師，提出了許多真知綽見，分享了他的教育智慧。吳校長在評課中指出“三維課程目標中‘知識與技能目標就是要求學生‘學會，‘過程與方法目標就是要求學生‘會學，‘情感態(tài)度價值觀目標就是要求學生‘愛學。”筆者針對吳校長提出的這三個方面，重新設計了課堂教學，取得了良好的教學效果。

【教學內(nèi)容】

蘇教版數(shù)學三年級第一學期92、93、94頁“統(tǒng)計”

【教學目標】

1.在豐富的具體環(huán)境中，感受求平均數(shù)是解決一些實際問題的需要，并通過進一步的操作和思考體會平均數(shù)的意義，學會計算簡單數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結果是總數(shù)）。

2.在運用平均數(shù)的知識解釋簡單的生活現(xiàn)象，解決簡單實際問題的過程中，進一步積累分析和處理數(shù)據(jù)的方法，發(fā)展統(tǒng)計觀念。

3.進一步增強與他人交流的意識與能力，體驗運用已學的統(tǒng)計知識解決問題的樂趣，建立學習數(shù)學的信心。

【課前預設】

創(chuàng)設情境：如圖1，在期末考試中，小張、小王、小李都取得了100分的好成績，姚老師有6顆糖果，決定獎勵給這三位同學……

[小張 小王 小李]

圖1

預設目的：讓學生發(fā)現(xiàn)出這種分發(fā)不公平，并追問“如果你是小張，你會怎么做？”通過活動將小張的一顆糖移給小王，讓學生初步體會用“移多補少”的方法將每個人的糖分得一樣多，為接下來的課堂教學做下鋪墊。

【教學過程】

“學會”階段

師：在一節(jié)體育課上，男生和女生正在進行套圈比賽，每人套10次，看誰套得多，這是他們的比賽成績的統(tǒng)計圖，從圖2上，我們可以看出首先出場的是誰？

生：男生出場的是李曉剛，女生出場的是吳燕。

師：他們分別套中了幾個？

生：李曉剛套中了6個，吳燕套中了10個。

師：這一輪比賽中，這男生套得準一些還是女生套得準一些？

生：女生。

師：男同學不用著急，比賽還在繼續(xù)，看，他們又請來了幾名幫手，男生這次請來了兩名幫手，他們分別是張明和王宇，他們分別套中幾個呢？

生：張明套中了9個，王宇套中了7個。

師：再來看看女生組，她們請來了劉曉娟和史敏敏，這兩位女生分別套中幾個呢？

生：4個和7個。

師：觀察統(tǒng)計圖，比賽進行到現(xiàn)在，男生和女生，誰套得比較準一些？

生1：男生準。

生2：男生準。

生3：男生準。

師：怎么都覺得是男生準一些呢？你們比較的是什么？

生：總數(shù)。

小結：恩，跟我想到一塊兒去了，現(xiàn)在男生組和女生組各有3個人參加比賽，比較個人的成績就不太合適了，我們要像剛才那位同學一樣，通過比較他們套中的總個數(shù)，來判斷誰套得更準一些。誰來列式算一算，男生套中多少個，女生呢？

生：男生6+9+7+6=28（個），女生10+4+7+5+4=30（個）

【設計意圖：分層次地呈現(xiàn)出教材所給的男女生套圈成績統(tǒng)計圖，使課堂教學條理更加清晰合理，先設計一男一女套圈成績的比較，讓學生容易上手，在過渡到3V3的比較中，學生稍動腦筋，就會知道比較“總數(shù)”的方法，通過解決這兩道“簡單”的問題，帶領學生復習統(tǒng)計知識的同時為其建立學好下面知識的信心?！?/p>

師：現(xiàn)在男生組扳回一局，但是比賽還沒有結束，瞧！所有的運動員都到齊了，觀察統(tǒng)計圖，現(xiàn)在你覺得是男生套得準一些，還是女生套得準一些？先把你的想法說給同桌聽一聽。

生1：我覺得女生套得準，因為男生總共套中了28個，女生總共套中了30個，所以女生套得準。

師：嗯，你比較的是總數(shù)。你們同意她的觀點嗎？

生2：我不同意，現(xiàn)在女生比男生多一個人，這樣比不公平。

師：哦，你注意到了現(xiàn)在男女生的人數(shù)不同，男生有（齊聲：4人），女生有（齊聲：5人），人數(shù)不同，比總數(shù)不公平，嗯，有道理！那你覺得應該怎么比呢？

生2：讓男生再加入一個選手。

師：好辦法！男生再加入一個選手，男生雙方就都是5位選手了，這樣就可以比總數(shù)了，這個方法可以，但是，現(xiàn)在，姚老師就是想讓4位男生和5位女生比，不是比哪一方套得多，而是比哪一方套得準，該比什么呢？

生3：我比較他們平均每個人套中的個數(shù)。

師：說得太好了！他剛才那句話中有一個詞說得非常好，你們知道是哪個詞嗎？

生（齊聲）：平均。

小結：對！就是“平均”。（板書：平均）現(xiàn)在兩邊的人數(shù)不一樣，比較總數(shù)就變得不公平了，這位同學給我們提供了一種新的思路，比較平均每個人套中的個數(shù)，這樣既考慮到了總數(shù)，又考慮到了人數(shù)，真是一個兩全齊美的好辦法，對于想出這樣好辦法的同學，我覺得應該用掌聲來鼓勵一下。

【設計意圖：在有了比較“總數(shù)”的鋪墊之后，將整個男女生套圈成績統(tǒng)計圖和盤托出，給學生制造出一種迫切需要解決的難題，在人數(shù)4V5的時候，再比較總數(shù)，不公平了，該怎么比呢？如果說之前的比較個人成績屬于“學生從哪里來”，比較3個人的總成績屬于“學生現(xiàn)在在哪里”，那么現(xiàn)在所需要用到的知識便是“學生要到哪里去”了，一些有生活經(jīng)驗的學生就會知道，可以比較平均每個人套中的個數(shù)，在這里，教師并不將“新知”直接傳授給學生，而是通過一步一步的引導，讓他們將自己所知道的發(fā)掘出來?！?/p>

師：下面老師就要來瞧瞧誰的眼力好，你能從這幅圖中，看出平均每人套中多少個嗎？

生：7個。

師：你怎么這么快就看出來了，能給大家介紹一下你的方法嗎？

生：我將張明的兩個分給李曉剛和陳曉杰，這樣看上去每個人都套中了7個。

師：為什么要去移張明的呢？（因為他最多），為什么要移給李小剛和陳小杰呢？（因為他們最少），像剛才這樣，把多的移給少的，這樣方法就叫做“移多補少”（板書），通過“移多補少”的方法，男生每人看上去都套中了多少個？

生：7個。

師：這里的7，我們就把他稱為男生套圈的平均數(shù)（板書），平均數(shù)是7，是不是說明每人男生都正好套中了7個呢？

生（齊聲）：不是。

師：這里有沒有套中個數(shù)比7個多的男生？（有，是張明）有沒有套中個數(shù)比7個少的男生？（有，是李曉鋼和陳曉杰），還有一個？（王宇套中的個數(shù)正好是7個）

師：同學們，平均數(shù)是7，并不是具體指某一個人套中了7個，而是代表了平均每個男生套中了7個，它可以很好地反映出男生的整體水平。

師：哦，原來啊男生的整體水平是平均每個人可以套中7個，用剛才的方法，你能看出女生平均每人套中多少個嗎？先請幾個同學來估一估。

生1：6個。

生2：5個。

生3：6個。

生4：7個。

師：同學估計的都在一個很小的范圍里面，有人估計是5人，有人估計是6人，有人估計是7人，那有沒有估計是10個的？

生：不可能！

師：你能用“移多補少”的思路來解釋一下為什么不可能嗎？

生（在老師的幫助下）：因為10是套中的最多的個數(shù)，等會兒它肯定要移走一部分去補給少的。

師：那有沒有可能是4個？

生（齊聲）：不可能！

師：為什么也不可能是4呢？

生：因為4是這里面最小的數(shù)，等會兒肯定有多的數(shù)會補給它，到時候就一定會比4多了。

師：真了不起，在這里，4是這組數(shù)據(jù)中最小的，10是這組數(shù)據(jù)中最大的數(shù)，也就是說，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，一定會在哪兩個數(shù)之間？

生：最小數(shù)與最大數(shù)之間！

師：嗯！看來剛才同學的估計都是有道理的，現(xiàn)在誰看出來應該怎么移了嗎？

生：將吳燕的兩個移給劉曉娟，兩個移給沈明芳，再將史敏敏的一個移給孫蕓，如圖3所示。

師：其實，移的方法還有很多種，但我們抓住一個原則，就是把多的移給少的，從而使得他們每個人套中的個數(shù)看上去都一樣多，現(xiàn)在可以很容易地看出，女生套圈的平均數(shù)是多少？

生：6個。

師：這里的6表示什么意思？

生：表示女生平均每人套中6個。

過渡：同學們，剛才我們通過“移多補少”的方法，得到了男女生各自套圈的平均數(shù)，男生的整體水平是平均每個人能套中7個，女生的整體水平是平均每個人能套中6個，哪一方套得更準一些？（男生）我們是通過比較平均數(shù)判斷出來的，除了用“移多補少”的方法以外，你還有其他方法來得到平均數(shù)嗎？先來說說男生的套圈平均數(shù)。

生：我是用算的方法。6+9+7+6=28（cm），28÷4=7（cm）。

師：老師看到，你在第一步里，把所有的數(shù)據(jù)都加了起來，表示什么意思呢？

生：求出男生套圈的總個數(shù)。

師：哦，那為什么又要拿總個數(shù)除以4個呢？

生：因為有4個男生，就是平均分成4份。

師：說得真好，先求出套圈的總個數(shù)，再除以總?cè)藬?shù)，我們就可以求出平均每個男生套中的個數(shù)，從而找到平均數(shù)。在這里，我們先求和，再平均分，這種方法叫做“求和均分”。（板書：求和均分）

師：我們用“求和均分”的方法得出的答案也是7，和我們用“移多補少”方法得到的男生套圈平均數(shù)（齊聲：相同），說明這種方法也是真實可行的，這里的7是哪幾個數(shù)據(jù)的平均數(shù)呢？

生：6，9，7，6。

師：對，是6，9，7，6這4個數(shù)的平均數(shù)，誰能用“求和均分”的方法來算一算女生套圈的平均數(shù)？

生：10+4+7+5+4=30（cm），30÷5=6（cm）。

師：也請你來說說看第一步的意思？

生：先算出女生套圈個數(shù)的總和。

師：這里為什么要除以5了呢？

生：因為有5個女生，所以要除以5。

師：先算出女生套圈的總和，再平均分給5個女生，每個女生就平均套中了6個，是這個意思嗎？

生：是的。

師：這里的6又是哪幾個數(shù)的平均數(shù)？

生：10，4，7，5，4。

師：我們來看這兩組算式，無論是在求男生平均數(shù)，還是在求女生平均數(shù)的時候，我們都是先求的什么？

生：他們套圈的總數(shù)？

師：我們可以將它概括為三個字，就是“求總數(shù)”，那求了總數(shù)之后，我們又做了什么呢？

生：有多少個人，就把總數(shù)分成多少份。

師：也可以用三個字來概括，就是“平均分”，現(xiàn)在誰能看著老師的提示，完整地來說一說，在用“求和均分”方法計算平均數(shù)的時候，我們要先做什么，再做什么？

生：在用“求和均分”方法計算平均數(shù)的時候，我們要先求總數(shù)，再平均分？

【設計意圖：本節(jié)課學習兩種方法來得到平均數(shù)，按照兒童認知是從形象到抽象的發(fā)展規(guī)律，教師先引導學生掌握“移多補少”的方法，通過數(shù)形結合的教學，讓學生對平均數(shù)的概念有了較為深刻的認識。在學習“求和均分”的方法時，著重讓學生知道我們應該先做什么（先求和），再做什么（平均數(shù)），要體現(xiàn)出數(shù)學的嚴謹和邏輯性。在用“移多補少”的方法得到平均數(shù)的過程中，讓學生先估計的目的是使其明白平均數(shù)是有一定范圍的，教學并不能僅滿足于讓學生知道平均數(shù)和求出平均數(shù)的方法，通過對方法的思想以及平均數(shù)概念的深刻挖掘，讓學生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的一些特點，乃是從”學會“到”會學的過渡?！?/p>

師：回顧一下剛才的套圈比賽，在參賽人數(shù)不同的時候，比總數(shù)的辦法就顯得不合適了，為了公平起見，我們通過什么方法比較？（平均數(shù)）的辦法來判斷出誰套的準？那我們是用哪些方法來找到平均數(shù)的呢？

生（齊聲）：“移多補少”和“先合后分”。

師：有兩種方法，你們比較喜歡哪一種方法呢？

生：“意見不統(tǒng)一?！?/p>

“會學”階段

師：大家都別爭了，請看這道題目（圖4），“3個筆筒里各有一些鉛筆，看看平均每個筆筒里有多少枝?！闭l已經(jīng)知道這道題目的答案是多少了？

[3個筆筒里各有一些鉛筆，看看平均每個筆筒里有多少枝。][6枝 7枝 8枝]

生：6枝。

師：你怎么這么快就看出答案來了，你用得什么方法？

生：移多補少。

師：那你是怎么移的？

生：我把中間筆筒里的一枝筆移給最后一個筆筒，這樣，每個筆筒里就有6枝筆了。

師：大家聽明白了嗎？（課件演示），有人用不同的方法嗎？

生：我用的是先合后分的方法：6+7+5=18（枝），18÷3=6（枝）

師：在這道題目里，用哪種方法比較合適？

生：移多補少。

師：對！用這樣方法可以更快更便捷地找到平均數(shù)。

師：再來看這一題。（筆筒的個數(shù)增加到5個，如圖5）這道題你覺得用什么方法比較合適？

[9枝 7枝 2枝 5枝 12枝]

生：求和均分。

師：為什么？

生：因為筆筒的個數(shù)變多了，用“移多補少”的方法就有點不方便了。

師：恩，筆筒的個數(shù)變多了，而且最大的數(shù)據(jù)與最小的數(shù)據(jù)之間的差距也變大了，再用移多補少的方法就不方便了，請同學們用“求和均分”的方法算出平均每個筆筒里有多少支筆。

生：9+7+2+5+12=35（枝）35÷5=7（枝）

小結：看來，有的時候，并不能說一種方法一定比另一種方法好，關鍵是看在遇到實際問題的時候，我們到底選擇哪一種方法更合適。

【設計意圖：什么叫“學會”？會用兩種方法求解平均數(shù)，什么叫“會學”呢？通過對這兩種方法的理解，在遇到問題的時候，選擇一種最優(yōu)的方法去解決問題。筆者在這里適當改編了教材上的習題資源，引導學生用自己覺得最方便的辦法去處理習題，再通過比較，讓學生明白一個常理，沒有最好的方法，只有最合適的方法?！?/p>

師：為了獎勵同學們優(yōu)異的表現(xiàn)，姚老師要獎勵大家3條漂亮的彩帶，請看這3條彩帶，估一估，它們的平均長度是多少？

A.14 cm B.18 cm C.24 cm

生1：我選B。

生2：選B。

生3：選B。

師：怎么你們都選B呀，我猜是A選項，你們覺得有可能嗎？

生：不可能。

師：那我猜13 cm（不可能），12 cm（不可能），10 cm（不可能）。

師：呀，怎么我都猜錯了，照著我這個趨勢去猜，能猜得對嗎？（不能）那我應該怎么去猜？

生：猜比14大的數(shù)。

師：哦，那我猜C選項，有可能嗎？

生：不可能。

師：那我重新猜是25 cm（不可能），26 cm（不可能），27 cm（不可能），像我這樣猜，能猜得對嗎？（不能），應該怎么猜？

生：猜比24小的數(shù)。

師：也是說，平均長度會在哪個范圍內(nèi)呢？

生：14 cm到24 cm之間。

師：換句話說，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，一定會在哪兩個數(shù)之間呢？

生：最小的數(shù)與最大的數(shù)之間。

師：哦，原來估計的時候要注意一定的范圍，怪不得同學們一估就準，而我老是猜不對。

師：再來看下面的題（如圖6），第三條彩帶增加一厘米，平均長度將發(fā)生怎樣的變化。

A.18 cm B.19 cm C.21 cm

生：我覺得C，21 cm。

師：你覺得平均長度發(fā)生改變，能說說為什么選C嗎？

生：原來的平均長度是18 cm，現(xiàn)在增加3 cm，就是18+3=21 cm。

師：有不同意見嗎？

生：我選B選項，題目上說的是第三條彩帶增加3 cm，而不是平均長度增加3厘米，一條彩帶增加3厘米，平均分給3條彩帶，就是每一條增加1 cm，結果就是19 cm。

師：你們同意誰的說法？（第二位）到底他說得對不對，請你們趕緊動筆來驗證一下。

請兩位學生上臺板書。

生1：14+24+19=57 cm，57÷3=19 cm。

師：這位同學用的是什么方法做的？

生（齊聲）：求和均分。

師：對，先求出了絲帶的總長度，再平均分成3份。我們再來看這位同學。

生2：3÷3=1 cm，18+1=19 cm。

師：他得到的答案也是19 cm，能看懂他的這種做法嗎？

生：一條絲帶增加3 cm，有3條絲帶，相當于每條絲帶增加3÷3=1 cm，也就是平均數(shù)增加1 cm，所以是18+1=19 cm。

師：看來的確是第二位同學說對了，而且說得還非常精彩，能不能用他的這種方法，來解決下面這道題目呢？

生：6÷3=2 cm，18-2=16 cm。

師：請你說不說你為什么這么列算式。

生：第一條彩帶減少6 cm，有3條彩帶，6÷3=2 cm，就是相當于平均每條彩帶減少2 cm，所以再用18-2=16 cm。