李韶偉

【摘要】恒成立問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)問(wèn)題，也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。它綜合考查函數(shù)、方程和不等式的主要內(nèi)容，并且與函數(shù)的最值、方程的解和參數(shù)的取值范圍緊密相連。筆者結(jié)合解題教學(xué)實(shí)踐，對(duì)不等式恒成立問(wèn)題的類(lèi)型和求解策略作一總結(jié)，以期對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助。

【關(guān)鍵詞】恒成立問(wèn)題函數(shù) 求解策略

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）4-0216-02

一、二次函數(shù)型恒成立問(wèn)題求解策略

給定一元二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象以及性質(zhì)有：

（1）f(x)>0在x∈R上恒成立；<=> a>0且△<0；

（2）f(x)<0在x∈R上恒成立上恒成立；<=> a<0且△<0；

例2：若不等式（m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R，求m的范圍。

分析：若要應(yīng)用上面的結(jié)論，必須保證二次項(xiàng)系數(shù)不為0，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-a是否是0。

解： 當(dāng)m-1=0時(shí)，即m=1時(shí)，原不等式化為2>0對(duì)任意的x恒成立，滿足題意；

當(dāng)m-1≠0時(shí)，即m≠1時(shí)，

只需

，解的m∈（1，9）

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[1,9)。

注:在二次函數(shù)型恒成立問(wèn)題中分類(lèi)討論思想用的比較多，凡是涉及二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)的，一般都需要討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0的情況，解題時(shí)要注意這一點(diǎn)。

若給定的一元二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)中的x取值范圍有限制，則可利用零點(diǎn)的分布解決問(wèn)題。

例3：設(shè)f(x)=x2-mx+2，當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，f(x)≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：設(shè)F(x)=x2-mx+2-m， 當(dāng)△=4(m-1)-（m+2)<0即-21成立；當(dāng)△≥0時(shí)，F(xiàn)(x)≥0恒成立的充要條件為：

解得-3≤m≤-2。 綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-3,1)。

二、分離參數(shù)法求解恒成立問(wèn)題策略

在給出的不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，并且已知一個(gè)變量的范圍，求解另一個(gè)變量的范圍時(shí)，如果通過(guò)恒等變形直接解出參數(shù)，則可將兩變量分別置于不等式的兩邊，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，其一般類(lèi)型為：

（1）f(x) >a 恒成立<=> af(a)≤g(x)min；（2）f(x) a>f(x)max；f(a)≥g(x)恒成立 <=>f(a)≥g(x)max

例4：已知函數(shù)f(x）=lg

x+-2，若對(duì)任意x∈[2,+∞)恒有

f(x）>0，試確定a的取值范圍。

解：根據(jù)題意得：x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立， 即a> -x2+3x：在x∈[2,+∞)上恒成立，設(shè)f(x)=-x2+3x，則f(x)=(x-)2+，當(dāng)x=2時(shí)，f(x)max=2 ，所以a>2。

三、消元轉(zhuǎn)化策略求解恒成立問(wèn)題策略

消元轉(zhuǎn)化策略：對(duì)于含有兩個(gè)以上變量的不等式恒成立問(wèn)題,可以根據(jù)題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問(wèn)題,使問(wèn)題得到解決。

例5：已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1，當(dāng)m，n∈[-1,1]，m+n≠0時(shí)，>0若f(x）≤t2-2at+1對(duì)于所有的a∈[-1,1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

分析:本題不等式中有三個(gè)變量，因此可以通過(guò)消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個(gè)變量。

解：因?yàn)閒(x)是定義在[-1,1]上的增函數(shù)，故f(x)在[-1,1]上的最大值為f(1)=1，則f(x）≤t2-2at+1對(duì)于所有的x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立<=>1≤t2-2at+1對(duì)于所有的a∈[-1,1]恒成立，即2ta-t2≤0對(duì)于所有的a∈[-1,1]恒成立，令g(a)=2ta-t2，只要

∴t≤-2或t≥2或t=0。

四、確定主元法求解恒成立問(wèn)題策略

在給出的含有兩個(gè)變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量看成是主元（未知數(shù)），而把另一個(gè)變量看成參數(shù)，在有些問(wèn)題中這樣的解題過(guò)程繁瑣。如果能把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，常?？墒箚?wèn)題降次，簡(jiǎn)化。

例6：若不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足m≤2的所有m都成立，求x的取值范圍。

分析:若把m看作參數(shù)，則題設(shè)不等式是關(guān)于x的一元二次（或一元一次不等式），處理比較困難，若x把看作參數(shù)，m看作主變量，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知m的不等式成立的條件，確定參數(shù)的取值范圍，求解就比較容易些。

解： 設(shè)f(m)=m(x2-1）-（2x-1)，這是一個(gè)關(guān)于m的一次函數(shù)（或者常函數(shù)），對(duì)滿足m≤2的m，f(m)<0恒成立，

∴

∴

解得：

五、利用集合與集合間的關(guān)系求解恒成立問(wèn)題策略

在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來(lái)求解，即則f(a)≤m且g(n)≥n，不等式的解即為實(shí)數(shù)a的取值范圍。

例7：當(dāng)x∈

,3時(shí)，logax<1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：∵-1

當(dāng)a>1時(shí)，

,3

,a

∴

∴a≥3當(dāng)0

,3a,

∴

∴0

綜上所得：0

以上介紹的幾種常見(jiàn)不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，只是分別從某個(gè)側(cè)面入手去探討不等式中參數(shù)的取值范圍。事實(shí)上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實(shí)踐中，往往需要綜合考慮，靈活運(yùn)用，才能使問(wèn)題得以順利解決。

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