李天勻，李威，朱翔

摘要：主振型是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課程中的重要概念之一，一般在講授二自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)特性時(shí)引入。教科書中假設(shè)的振動(dòng)位移幅值為正，但推導(dǎo)出的主振型中存在幅值比為負(fù)的問題。針對(duì)這一矛盾，作者從矩陣特征值與特征向量的關(guān)系入手，提出了解決這一矛盾的思路，使教學(xué)內(nèi)容更加嚴(yán)謹(jǐn)，且有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：自由度；無阻尼振動(dòng)；圓頻率；振型；特征值；特征向量

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）29-0090-02

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是力學(xué)、機(jī)械、土木、航空航天、船舶等專業(yè)的一門重要專業(yè)課程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在講授二自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)特性時(shí)引入，但學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常遇到困惑。為此，作者從矩陣特征值與特征向量的關(guān)系入手，提出了解決這一矛盾的思路，有利于教學(xué)內(nèi)容的順利進(jìn)行，也說明力學(xué)類課程對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有很大的依賴性，應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，以深入理解豐富的力學(xué)內(nèi)涵。

一、振型概念的一般分析過程

為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，以二自由度振動(dòng)系統(tǒng)為例。其他多自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)機(jī)理類似于二自由度系統(tǒng)。在圖1所示的二自由度系統(tǒng)中，考慮無阻尼自由振動(dòng)，則剛體動(dòng)力學(xué)方程為：m1 00 m2■1■2k1+k2 -k2-k2 k2x1x2=00（1）

為下文推導(dǎo)方便，引入變量：a=■，b=■，c=■（2），從上式可知，三個(gè)變量都為實(shí)數(shù)。將式（2）代入式（1）中，有：■1+ax1-bx2=0■2-cx1+cx2=0（3），一般將常微分方程（2）的齊次解設(shè)為簡(jiǎn)諧形式[1-3]：x1=A1sin（ωt+θ）x2=A2sin（ωt+θ）（4）.將式（4）代入到式（3）中，由于sin（ωt+θ）不恒為零，則有方程：a-ω2 -b-c c-ω2A1A2=00（5）.這是關(guān)于A1，A2的齊次線性方程組。A1=A2=0顯然是方程（5）的一組解，它表示系統(tǒng)無振動(dòng)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，這不是振動(dòng)系統(tǒng)需要的解。希望得到非零解，而存在非零解的充要條件是方程的系數(shù)行列式為零，即：a-ω2 -b-c c-ω2=0（6）.將上式展開得多項(xiàng)式代數(shù)方程：ω4-（a+c）ω2+c（a-b）=0（7）.該方程稱為頻率特征方程。它是關(guān)于ω2的一元二次代數(shù)方程，兩個(gè)根為：ω■■=■±■（8）.按照多項(xiàng)式代數(shù)理論[4]，方程（7）的根要么為實(shí)數(shù)，要么為成對(duì)出現(xiàn)的復(fù)數(shù)根?？梢宰C明，式（8）必為正實(shí)根。從式（8）可知，兩個(gè)根是由系統(tǒng)的本身參數(shù)決定的值，與其他條件無關(guān)，稱為二自由度無阻尼系統(tǒng)的固有圓頻率。較小的根記為ω1，稱首階固有圓頻率。較大的根ω2稱二階固有圓頻率。將式（8）代入式（5），可以得到A1、A2的比值。例如，代入ω1的表達(dá)式時(shí)，有：■=■=■=α（9），代入ω2的表達(dá)式時(shí)，有：■=■=■=β（10）可以證明：α=■■+■>0β=■■-■<0（11）.比值α、β不變且只與系統(tǒng)本身參數(shù)有關(guān)，分別稱之為第一主振型（模態(tài)）、第二主振型（模態(tài)）?？梢孕蜗蟮匕褍蓚€(gè)主振型表示成圖2的形狀。α、β只決定A1、A2的比值，而不能決定它們的實(shí)際大小。把圖2的實(shí)線所表示的振型放大或縮小若干倍成為虛線的形狀，其比值并未改變，它仍是系統(tǒng)的主振型[1-3]。

二、存在的問題

兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移一般假設(shè)為式（4）所示的簡(jiǎn)諧形式，在該式中，系數(shù)A1、A2為振幅，是大于零的代數(shù)值，其比值必須為正數(shù)。而在主振型的推導(dǎo)中，則出現(xiàn)了如式（10）所示的負(fù)數(shù)。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)教學(xué)中，這是一個(gè)令學(xué)生困惑的問題，而相關(guān)的教材中也未有解釋。問題出在哪？如何解決這個(gè)問題？只有給出令人信服的答案，才能在教學(xué)中更好地培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維。

三、主振型概念辨析思路

筆者經(jīng)過分析，認(rèn)為問題出在對(duì)代數(shù)方程（5）的求解、分析過程中，其本質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)問題。二個(gè)振幅形成特征向量{A1，A2}T，它們的比值大小與式（5）中系數(shù)矩陣的特征值即固有頻率相關(guān)，主振型實(shí)質(zhì)上是特征向量的基礎(chǔ)解系（基向量）。按照矩陣?yán)碚揫5]，一個(gè)矩陣可當(dāng)作一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣，求特征值的目的就是看看一個(gè)線性變換對(duì)一些非零向量的作用是否能夠相當(dāng)于一個(gè)數(shù)乘變換，特征向量是在線性變換下同相或者反相的向量。因此，式（4）所示的簡(jiǎn)諧形式實(shí)際上只表示了同相振動(dòng)，與首階固有圓頻率對(duì)應(yīng)的第一主振型是與同相振動(dòng)對(duì)應(yīng)的特征向量。如假設(shè)為反相振動(dòng)形式：x1=A1sin（ωt+θ）x2=（-A2）sin（ωt+θ）（12）.將式（12）代入式（3）中，得到矩陣方程為：a-ω2 -b-c c-ω2A1-A2=00（13）.上式中的系數(shù)矩陣與式（5）中完全一致，求解得到的兩個(gè)固有圓頻率不變，如式（8）所示。此時(shí)得到的與二階固有圓頻率對(duì)應(yīng)的主振型為：■=■=■=β<0（14）.它表示反相的振動(dòng)。這樣就合理解釋了負(fù)值的客觀存在。

通過上面的分析可知，在教學(xué)中一方面要通過具有物理意義的驗(yàn)根過程檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，另一方面也要通過矩陣特征值與特征向量的數(shù)學(xué)意義闡述結(jié)果的完整性。這樣才能準(zhǔn)確地解釋振型的同相振動(dòng)（正值）與反相振動(dòng)（負(fù)值）的客觀存在及其邏輯上的一致性，避免在教學(xué)中存在不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬?nèi)容，以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維。

本文的分析針對(duì)目前教材中關(guān)于主振型存在同相與反相振動(dòng)的事實(shí)與假設(shè)振動(dòng)位移同相振動(dòng)相矛盾的問題而展開，從矩陣特征值和特征向量的關(guān)系上辨析了存在問題的根源，提出了合理的解釋思路。在教學(xué)中應(yīng)有機(jī)結(jié)合學(xué)生前期學(xué)習(xí)過的工程數(shù)學(xué)課程展開分析。特征值和特征向量不僅在數(shù)學(xué)理論上，而且在物理、材料、力學(xué)等方面都有重要的應(yīng)用。特別是在結(jié)構(gòu)振動(dòng)領(lǐng)域，固有頻率與主振型就反映了二者的內(nèi)在聯(lián)系，或者說“有振動(dòng)的地方就有特征值和特征向量”。這一思想即反映了知識(shí)的傳承性，又進(jìn)一步強(qiáng)化了數(shù)學(xué)工具的重要性。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄒經(jīng)湘.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1996.

[2][美]R.克拉夫，J.彭津.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M].第二版.王光遠(yuǎn)，等，譯.北京：高等教育出版社，2006.

[3]金咸定，夏利娟.船體振動(dòng)學(xué)[M].上海交通大學(xué)出版社，2011.

[4]謝彥麟.代數(shù)方程的根式解及伽羅瓦理論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

[5]史榮昌，魏豐.矩陣分析[M].北京理工大學(xué)出版社，2010.

基金項(xiàng)目：本文受湖北省教育廳項(xiàng)目資助。

作者簡(jiǎn)介：李天勻，男，教授，從事結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制研究。endprint

摘要：主振型是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課程中的重要概念之一，一般在講授二自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)特性時(shí)引入。教科書中假設(shè)的振動(dòng)位移幅值為正，但推導(dǎo)出的主振型中存在幅值比為負(fù)的問題。針對(duì)這一矛盾，作者從矩陣特征值與特征向量的關(guān)系入手，提出了解決這一矛盾的思路，使教學(xué)內(nèi)容更加嚴(yán)謹(jǐn)，且有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：自由度；無阻尼振動(dòng)；圓頻率；振型；特征值；特征向量

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）29-0090-02

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是力學(xué)、機(jī)械、土木、航空航天、船舶等專業(yè)的一門重要專業(yè)課程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在講授二自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)特性時(shí)引入，但學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常遇到困惑。為此，作者從矩陣特征值與特征向量的關(guān)系入手，提出了解決這一矛盾的思路，有利于教學(xué)內(nèi)容的順利進(jìn)行，也說明力學(xué)類課程對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有很大的依賴性，應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，以深入理解豐富的力學(xué)內(nèi)涵。

一、振型概念的一般分析過程

為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，以二自由度振動(dòng)系統(tǒng)為例。其他多自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)機(jī)理類似于二自由度系統(tǒng)。在圖1所示的二自由度系統(tǒng)中，考慮無阻尼自由振動(dòng)，則剛體動(dòng)力學(xué)方程為：m1 00 m2■1■2k1+k2 -k2-k2 k2x1x2=00（1）

為下文推導(dǎo)方便，引入變量：a=■，b=■，c=■（2），從上式可知，三個(gè)變量都為實(shí)數(shù)。將式（2）代入式（1）中，有：■1+ax1-bx2=0■2-cx1+cx2=0（3），一般將常微分方程（2）的齊次解設(shè)為簡(jiǎn)諧形式[1-3]：x1=A1sin（ωt+θ）x2=A2sin（ωt+θ）（4）.將式（4）代入到式（3）中，由于sin（ωt+θ）不恒為零，則有方程：a-ω2 -b-c c-ω2A1A2=00（5）.這是關(guān)于A1，A2的齊次線性方程組。A1=A2=0顯然是方程（5）的一組解，它表示系統(tǒng)無振動(dòng)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，這不是振動(dòng)系統(tǒng)需要的解。希望得到非零解，而存在非零解的充要條件是方程的系數(shù)行列式為零，即：a-ω2 -b-c c-ω2=0（6）.將上式展開得多項(xiàng)式代數(shù)方程：ω4-（a+c）ω2+c（a-b）=0（7）.該方程稱為頻率特征方程。它是關(guān)于ω2的一元二次代數(shù)方程，兩個(gè)根為：ω■■=■±■（8）.按照多項(xiàng)式代數(shù)理論[4]，方程（7）的根要么為實(shí)數(shù)，要么為成對(duì)出現(xiàn)的復(fù)數(shù)根?？梢宰C明，式（8）必為正實(shí)根。從式（8）可知，兩個(gè)根是由系統(tǒng)的本身參數(shù)決定的值，與其他條件無關(guān)，稱為二自由度無阻尼系統(tǒng)的固有圓頻率。較小的根記為ω1，稱首階固有圓頻率。較大的根ω2稱二階固有圓頻率。將式（8）代入式（5），可以得到A1、A2的比值。例如，代入ω1的表達(dá)式時(shí)，有：■=■=■=α（9），代入ω2的表達(dá)式時(shí)，有：■=■=■=β（10）可以證明：α=■■+■>0β=■■-■<0（11）.比值α、β不變且只與系統(tǒng)本身參數(shù)有關(guān)，分別稱之為第一主振型（模態(tài)）、第二主振型（模態(tài)）?？梢孕蜗蟮匕褍蓚€(gè)主振型表示成圖2的形狀。α、β只決定A1、A2的比值，而不能決定它們的實(shí)際大小。把圖2的實(shí)線所表示的振型放大或縮小若干倍成為虛線的形狀，其比值并未改變，它仍是系統(tǒng)的主振型[1-3]。

二、存在的問題

兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移一般假設(shè)為式（4）所示的簡(jiǎn)諧形式，在該式中，系數(shù)A1、A2為振幅，是大于零的代數(shù)值，其比值必須為正數(shù)。而在主振型的推導(dǎo)中，則出現(xiàn)了如式（10）所示的負(fù)數(shù)。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)教學(xué)中，這是一個(gè)令學(xué)生困惑的問題，而相關(guān)的教材中也未有解釋。問題出在哪？如何解決這個(gè)問題？只有給出令人信服的答案，才能在教學(xué)中更好地培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維。

三、主振型概念辨析思路

筆者經(jīng)過分析，認(rèn)為問題出在對(duì)代數(shù)方程（5）的求解、分析過程中，其本質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)問題。二個(gè)振幅形成特征向量{A1，A2}T，它們的比值大小與式（5）中系數(shù)矩陣的特征值即固有頻率相關(guān)，主振型實(shí)質(zhì)上是特征向量的基礎(chǔ)解系（基向量）。按照矩陣?yán)碚揫5]，一個(gè)矩陣可當(dāng)作一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣，求特征值的目的就是看看一個(gè)線性變換對(duì)一些非零向量的作用是否能夠相當(dāng)于一個(gè)數(shù)乘變換，特征向量是在線性變換下同相或者反相的向量。因此，式（4）所示的簡(jiǎn)諧形式實(shí)際上只表示了同相振動(dòng)，與首階固有圓頻率對(duì)應(yīng)的第一主振型是與同相振動(dòng)對(duì)應(yīng)的特征向量。如假設(shè)為反相振動(dòng)形式：x1=A1sin（ωt+θ）x2=（-A2）sin（ωt+θ）（12）.將式（12）代入式（3）中，得到矩陣方程為：a-ω2 -b-c c-ω2A1-A2=00（13）.上式中的系數(shù)矩陣與式（5）中完全一致，求解得到的兩個(gè)固有圓頻率不變，如式（8）所示。此時(shí)得到的與二階固有圓頻率對(duì)應(yīng)的主振型為：■=■=■=β<0（14）.它表示反相的振動(dòng)。這樣就合理解釋了負(fù)值的客觀存在。

通過上面的分析可知，在教學(xué)中一方面要通過具有物理意義的驗(yàn)根過程檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，另一方面也要通過矩陣特征值與特征向量的數(shù)學(xué)意義闡述結(jié)果的完整性。這樣才能準(zhǔn)確地解釋振型的同相振動(dòng)（正值）與反相振動(dòng)（負(fù)值）的客觀存在及其邏輯上的一致性，避免在教學(xué)中存在不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬?nèi)容，以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維。

本文的分析針對(duì)目前教材中關(guān)于主振型存在同相與反相振動(dòng)的事實(shí)與假設(shè)振動(dòng)位移同相振動(dòng)相矛盾的問題而展開，從矩陣特征值和特征向量的關(guān)系上辨析了存在問題的根源，提出了合理的解釋思路。在教學(xué)中應(yīng)有機(jī)結(jié)合學(xué)生前期學(xué)習(xí)過的工程數(shù)學(xué)課程展開分析。特征值和特征向量不僅在數(shù)學(xué)理論上，而且在物理、材料、力學(xué)等方面都有重要的應(yīng)用。特別是在結(jié)構(gòu)振動(dòng)領(lǐng)域，固有頻率與主振型就反映了二者的內(nèi)在聯(lián)系，或者說“有振動(dòng)的地方就有特征值和特征向量”。這一思想即反映了知識(shí)的傳承性，又進(jìn)一步強(qiáng)化了數(shù)學(xué)工具的重要性。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄒經(jīng)湘.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1996.

[2][美]R.克拉夫，J.彭津.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M].第二版.王光遠(yuǎn)，等，譯.北京：高等教育出版社，2006.

[3]金咸定，夏利娟.船體振動(dòng)學(xué)[M].上海交通大學(xué)出版社，2011.

[4]謝彥麟.代數(shù)方程的根式解及伽羅瓦理論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

[5]史榮昌，魏豐.矩陣分析[M].北京理工大學(xué)出版社，2010.

基金項(xiàng)目：本文受湖北省教育廳項(xiàng)目資助。

作者簡(jiǎn)介：李天勻，男，教授，從事結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制研究。endprint

摘要：主振型是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課程中的重要概念之一，一般在講授二自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)特性時(shí)引入。教科書中假設(shè)的振動(dòng)位移幅值為正，但推導(dǎo)出的主振型中存在幅值比為負(fù)的問題。針對(duì)這一矛盾，作者從矩陣特征值與特征向量的關(guān)系入手，提出了解決這一矛盾的思路，使教學(xué)內(nèi)容更加嚴(yán)謹(jǐn)，且有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：自由度；無阻尼振動(dòng)；圓頻率；振型；特征值；特征向量

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）29-0090-02

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是力學(xué)、機(jī)械、土木、航空航天、船舶等專業(yè)的一門重要專業(yè)課程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在講授二自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)特性時(shí)引入，但學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常遇到困惑。為此，作者從矩陣特征值與特征向量的關(guān)系入手，提出了解決這一矛盾的思路，有利于教學(xué)內(nèi)容的順利進(jìn)行，也說明力學(xué)類課程對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有很大的依賴性，應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，以深入理解豐富的力學(xué)內(nèi)涵。

一、振型概念的一般分析過程

為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，以二自由度振動(dòng)系統(tǒng)為例。其他多自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)機(jī)理類似于二自由度系統(tǒng)。在圖1所示的二自由度系統(tǒng)中，考慮無阻尼自由振動(dòng)，則剛體動(dòng)力學(xué)方程為：m1 00 m2■1■2k1+k2 -k2-k2 k2x1x2=00（1）

為下文推導(dǎo)方便，引入變量：a=■，b=■，c=■（2），從上式可知，三個(gè)變量都為實(shí)數(shù)。將式（2）代入式（1）中，有：■1+ax1-bx2=0■2-cx1+cx2=0（3），一般將常微分方程（2）的齊次解設(shè)為簡(jiǎn)諧形式[1-3]：x1=A1sin（ωt+θ）x2=A2sin（ωt+θ）（4）.將式（4）代入到式（3）中，由于sin（ωt+θ）不恒為零，則有方程：a-ω2 -b-c c-ω2A1A2=00（5）.這是關(guān)于A1，A2的齊次線性方程組。A1=A2=0顯然是方程（5）的一組解，它表示系統(tǒng)無振動(dòng)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，這不是振動(dòng)系統(tǒng)需要的解。希望得到非零解，而存在非零解的充要條件是方程的系數(shù)行列式為零，即：a-ω2 -b-c c-ω2=0（6）.將上式展開得多項(xiàng)式代數(shù)方程：ω4-（a+c）ω2+c（a-b）=0（7）.該方程稱為頻率特征方程。它是關(guān)于ω2的一元二次代數(shù)方程，兩個(gè)根為：ω■■=■±■（8）.按照多項(xiàng)式代數(shù)理論[4]，方程（7）的根要么為實(shí)數(shù)，要么為成對(duì)出現(xiàn)的復(fù)數(shù)根?？梢宰C明，式（8）必為正實(shí)根。從式（8）可知，兩個(gè)根是由系統(tǒng)的本身參數(shù)決定的值，與其他條件無關(guān)，稱為二自由度無阻尼系統(tǒng)的固有圓頻率。較小的根記為ω1，稱首階固有圓頻率。較大的根ω2稱二階固有圓頻率。將式（8）代入式（5），可以得到A1、A2的比值。例如，代入ω1的表達(dá)式時(shí)，有：■=■=■=α（9），代入ω2的表達(dá)式時(shí)，有：■=■=■=β（10）可以證明：α=■■+■>0β=■■-■<0（11）.比值α、β不變且只與系統(tǒng)本身參數(shù)有關(guān)，分別稱之為第一主振型（模態(tài)）、第二主振型（模態(tài)）?？梢孕蜗蟮匕褍蓚€(gè)主振型表示成圖2的形狀。α、β只決定A1、A2的比值，而不能決定它們的實(shí)際大小。把圖2的實(shí)線所表示的振型放大或縮小若干倍成為虛線的形狀，其比值并未改變，它仍是系統(tǒng)的主振型[1-3]。

二、存在的問題

兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移一般假設(shè)為式（4）所示的簡(jiǎn)諧形式，在該式中，系數(shù)A1、A2為振幅，是大于零的代數(shù)值，其比值必須為正數(shù)。而在主振型的推導(dǎo)中，則出現(xiàn)了如式（10）所示的負(fù)數(shù)。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)教學(xué)中，這是一個(gè)令學(xué)生困惑的問題，而相關(guān)的教材中也未有解釋。問題出在哪？如何解決這個(gè)問題？只有給出令人信服的答案，才能在教學(xué)中更好地培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維。

三、主振型概念辨析思路

筆者經(jīng)過分析，認(rèn)為問題出在對(duì)代數(shù)方程（5）的求解、分析過程中，其本質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)問題。二個(gè)振幅形成特征向量{A1，A2}T，它們的比值大小與式（5）中系數(shù)矩陣的特征值即固有頻率相關(guān)，主振型實(shí)質(zhì)上是特征向量的基礎(chǔ)解系（基向量）。按照矩陣?yán)碚揫5]，一個(gè)矩陣可當(dāng)作一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣，求特征值的目的就是看看一個(gè)線性變換對(duì)一些非零向量的作用是否能夠相當(dāng)于一個(gè)數(shù)乘變換，特征向量是在線性變換下同相或者反相的向量。因此，式（4）所示的簡(jiǎn)諧形式實(shí)際上只表示了同相振動(dòng)，與首階固有圓頻率對(duì)應(yīng)的第一主振型是與同相振動(dòng)對(duì)應(yīng)的特征向量。如假設(shè)為反相振動(dòng)形式：x1=A1sin（ωt+θ）x2=（-A2）sin（ωt+θ）（12）.將式（12）代入式（3）中，得到矩陣方程為：a-ω2 -b-c c-ω2A1-A2=00（13）.上式中的系數(shù)矩陣與式（5）中完全一致，求解得到的兩個(gè)固有圓頻率不變，如式（8）所示。此時(shí)得到的與二階固有圓頻率對(duì)應(yīng)的主振型為：■=■=■=β<0（14）.它表示反相的振動(dòng)。這樣就合理解釋了負(fù)值的客觀存在。

通過上面的分析可知，在教學(xué)中一方面要通過具有物理意義的驗(yàn)根過程檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，另一方面也要通過矩陣特征值與特征向量的數(shù)學(xué)意義闡述結(jié)果的完整性。這樣才能準(zhǔn)確地解釋振型的同相振動(dòng)（正值）與反相振動(dòng)（負(fù)值）的客觀存在及其邏輯上的一致性，避免在教學(xué)中存在不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬?nèi)容，以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維。

本文的分析針對(duì)目前教材中關(guān)于主振型存在同相與反相振動(dòng)的事實(shí)與假設(shè)振動(dòng)位移同相振動(dòng)相矛盾的問題而展開，從矩陣特征值和特征向量的關(guān)系上辨析了存在問題的根源，提出了合理的解釋思路。在教學(xué)中應(yīng)有機(jī)結(jié)合學(xué)生前期學(xué)習(xí)過的工程數(shù)學(xué)課程展開分析。特征值和特征向量不僅在數(shù)學(xué)理論上，而且在物理、材料、力學(xué)等方面都有重要的應(yīng)用。特別是在結(jié)構(gòu)振動(dòng)領(lǐng)域，固有頻率與主振型就反映了二者的內(nèi)在聯(lián)系，或者說“有振動(dòng)的地方就有特征值和特征向量”。這一思想即反映了知識(shí)的傳承性，又進(jìn)一步強(qiáng)化了數(shù)學(xué)工具的重要性。

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基金項(xiàng)目：本文受湖北省教育廳項(xiàng)目資助。

作者簡(jiǎn)介：李天勻，男，教授，從事結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制研究。endprint