吳雅琴

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題通常是高考命題的熱點(diǎn),同時(shí)也是高考題中的一大難點(diǎn)，在近幾年的高考試卷中不乏此類問(wèn)題.該類問(wèn)題動(dòng)中有定，定中有動(dòng)，多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的證明，難度較大，綜合性較強(qiáng)．該類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力及計(jì)算能力要求都比較高，不少同學(xué)遇到此類問(wèn)題都覺(jué)得“棘手”.下面我們就一起談?wù)勥@類問(wèn)題的處理方法.

動(dòng)直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)直線或曲線方程中一定含有參數(shù)，在解題時(shí)需寫(xiě)出直線或曲線方程，將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數(shù)）的形式，由f(x,y)=0

g(x,y)=0（λ為參數(shù)）得定點(diǎn)坐標(biāo).

例1如圖,已知橢圓C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上頂點(diǎn)A,右焦點(diǎn)F,直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn),AP·AQ=0,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）解：（過(guò)程略）x23+y2=1.

（2）分析1直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，

由AP·AQ=0得，直線AP與直線AQ垂直，且直線AP與x軸不垂直，故選擇設(shè)直線AP的斜率k為參數(shù).

解設(shè)直線AP： y=kx+1，

x23+y2=1，

y=kx+1， 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2).因?yàn)橹本€AP與直線AQ垂直，將點(diǎn)P的坐標(biāo)中的k用-1k代替即可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6kk2＋3，k2－3k2＋3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直線l：y＝k2－14k(x－6kk2＋3)＋k2－3k2＋3，

即y＝k2－14kx－12，故直線l過(guò)定點(diǎn)(0，－12)．

分析2直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)出直線l的方程：y=kx+b，利用設(shè)而不求法及AP·AQ=0找出k與b的關(guān)系.

解設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，直線l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.（*）

由AP·AQ=0得，

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入（*）式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因?yàn)閯?dòng)直線l不過(guò)點(diǎn)A，所以b=-12，直線l∶y=kx-12恒過(guò)定點(diǎn)(0，－12)．

小結(jié)本題對(duì)AP·AQ=0這個(gè)條件，（1）我們利用直線AP與直線AQ垂直，選擇直線AP或直線AQ的斜率為參數(shù)，通過(guò)解方程組的思想求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線l的方程；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到x1+x2與x1x2的關(guān)系式，因此設(shè)出直線的斜截式方程y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立方程組，借助于根與系數(shù)之間的關(guān)系將x1+x2與x1x2用k和b來(lái)表示，從而找到k與b的關(guān)系，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想.

處理直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：

（1）引進(jìn)參數(shù)——從目標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系式出發(fā)，引進(jìn)參數(shù)，通常引進(jìn)的參數(shù)有直線的斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等；

（2）找關(guān)系式——建立方程組，常用設(shè)而不求法；

（3）探求直線過(guò)定點(diǎn)——將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數(shù)）的形式；

（4）得結(jié)論——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0（λ為參數(shù)）得定點(diǎn)坐標(biāo).

究不斷地構(gòu)建科學(xué)的知識(shí)體系，完善和修復(fù)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，教師則需要適時(shí)地給學(xué)生建立一個(gè)“支點(diǎn)”，使學(xué)生在探究中更為高效、深入.

三、總結(jié)教學(xué)反思，師生同進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)

生成性資源使學(xué)生共同成長(zhǎng)，充分體現(xiàn)了教學(xué)相長(zhǎng).從雙向角度反饋來(lái)分析，生成性動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)和利用，一方面提升了教師的專業(yè)水平，動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)體現(xiàn)了教師的教育智慧，發(fā)揮了教師的主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造性，激發(fā)了教師對(duì)自己專業(yè)的學(xué)習(xí)，使他們不斷豐富自己的知識(shí)，提高自己的注意力和靈活性，將教師置于課堂的“主導(dǎo)”位置，在給學(xué)生“一碗水”時(shí)，積極準(zhǔn)備自己的“一桶水”，增加了教師的教學(xué)閱歷，為教師的成長(zhǎng)提供了空間.另一方面提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，學(xué)生的動(dòng)態(tài)生成源于它對(duì)課堂問(wèn)題的思考，激發(fā)了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣，探究問(wèn)題的激情，培養(yǎng)了學(xué)生的綜合能力.生成性資源在課堂教學(xué)中的應(yīng)用，有效的促進(jìn)了師生的共同進(jìn)步，促進(jìn)新課改的快速發(fā)展.

總之，科學(xué)合理地利用和開(kāi)發(fā)課堂的“動(dòng)態(tài)生成”，是激發(fā)學(xué)生生機(jī)蓬勃的動(dòng)力源泉.它將引導(dǎo)廣大的教師轉(zhuǎn)變教育觀念，樹(shù)立正確的課程觀和學(xué)生觀，具有強(qiáng)烈的資源意識(shí)，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，積極地有效地開(kāi)發(fā)“新能源”，在充滿不確定的課堂中，引導(dǎo)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法，科學(xué)的探究數(shù)學(xué)新思路，全面提升學(xué)生綜合能力，展示高中數(shù)學(xué)教師的教育智慧.

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題通常是高考命題的熱點(diǎn),同時(shí)也是高考題中的一大難點(diǎn)，在近幾年的高考試卷中不乏此類問(wèn)題.該類問(wèn)題動(dòng)中有定，定中有動(dòng)，多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的證明，難度較大，綜合性較強(qiáng)．該類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力及計(jì)算能力要求都比較高，不少同學(xué)遇到此類問(wèn)題都覺(jué)得“棘手”.下面我們就一起談?wù)勥@類問(wèn)題的處理方法.

動(dòng)直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)直線或曲線方程中一定含有參數(shù)，在解題時(shí)需寫(xiě)出直線或曲線方程，將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數(shù)）的形式，由f(x,y)=0

g(x,y)=0（λ為參數(shù)）得定點(diǎn)坐標(biāo).

例1如圖,已知橢圓C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上頂點(diǎn)A,右焦點(diǎn)F,直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn),AP·AQ=0,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）解：（過(guò)程略）x23+y2=1.

（2）分析1直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，

由AP·AQ=0得，直線AP與直線AQ垂直，且直線AP與x軸不垂直，故選擇設(shè)直線AP的斜率k為參數(shù).

解設(shè)直線AP： y=kx+1，

x23+y2=1，

y=kx+1， 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2).因?yàn)橹本€AP與直線AQ垂直，將點(diǎn)P的坐標(biāo)中的k用-1k代替即可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6kk2＋3，k2－3k2＋3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直線l：y＝k2－14k(x－6kk2＋3)＋k2－3k2＋3，

即y＝k2－14kx－12，故直線l過(guò)定點(diǎn)(0，－12)．

分析2直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)出直線l的方程：y=kx+b，利用設(shè)而不求法及AP·AQ=0找出k與b的關(guān)系.

解設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，直線l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.（*）

由AP·AQ=0得，

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入（*）式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因?yàn)閯?dòng)直線l不過(guò)點(diǎn)A，所以b=-12，直線l∶y=kx-12恒過(guò)定點(diǎn)(0，－12)．

小結(jié)本題對(duì)AP·AQ=0這個(gè)條件，（1）我們利用直線AP與直線AQ垂直，選擇直線AP或直線AQ的斜率為參數(shù)，通過(guò)解方程組的思想求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線l的方程；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到x1+x2與x1x2的關(guān)系式，因此設(shè)出直線的斜截式方程y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立方程組，借助于根與系數(shù)之間的關(guān)系將x1+x2與x1x2用k和b來(lái)表示，從而找到k與b的關(guān)系，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想.

處理直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：

（1）引進(jìn)參數(shù)——從目標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系式出發(fā)，引進(jìn)參數(shù)，通常引進(jìn)的參數(shù)有直線的斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等；

（2）找關(guān)系式——建立方程組，常用設(shè)而不求法；

（3）探求直線過(guò)定點(diǎn)——將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數(shù)）的形式；

（4）得結(jié)論——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0（λ為參數(shù)）得定點(diǎn)坐標(biāo).

究不斷地構(gòu)建科學(xué)的知識(shí)體系，完善和修復(fù)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，教師則需要適時(shí)地給學(xué)生建立一個(gè)“支點(diǎn)”，使學(xué)生在探究中更為高效、深入.

三、總結(jié)教學(xué)反思，師生同進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)

生成性資源使學(xué)生共同成長(zhǎng)，充分體現(xiàn)了教學(xué)相長(zhǎng).從雙向角度反饋來(lái)分析，生成性動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)和利用，一方面提升了教師的專業(yè)水平，動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)體現(xiàn)了教師的教育智慧，發(fā)揮了教師的主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造性，激發(fā)了教師對(duì)自己專業(yè)的學(xué)習(xí)，使他們不斷豐富自己的知識(shí)，提高自己的注意力和靈活性，將教師置于課堂的“主導(dǎo)”位置，在給學(xué)生“一碗水”時(shí)，積極準(zhǔn)備自己的“一桶水”，增加了教師的教學(xué)閱歷，為教師的成長(zhǎng)提供了空間.另一方面提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，學(xué)生的動(dòng)態(tài)生成源于它對(duì)課堂問(wèn)題的思考，激發(fā)了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣，探究問(wèn)題的激情，培養(yǎng)了學(xué)生的綜合能力.生成性資源在課堂教學(xué)中的應(yīng)用，有效的促進(jìn)了師生的共同進(jìn)步，促進(jìn)新課改的快速發(fā)展.

總之，科學(xué)合理地利用和開(kāi)發(fā)課堂的“動(dòng)態(tài)生成”，是激發(fā)學(xué)生生機(jī)蓬勃的動(dòng)力源泉.它將引導(dǎo)廣大的教師轉(zhuǎn)變教育觀念，樹(shù)立正確的課程觀和學(xué)生觀，具有強(qiáng)烈的資源意識(shí)，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，積極地有效地開(kāi)發(fā)“新能源”，在充滿不確定的課堂中，引導(dǎo)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法，科學(xué)的探究數(shù)學(xué)新思路，全面提升學(xué)生綜合能力，展示高中數(shù)學(xué)教師的教育智慧.

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題通常是高考命題的熱點(diǎn),同時(shí)也是高考題中的一大難點(diǎn)，在近幾年的高考試卷中不乏此類問(wèn)題.該類問(wèn)題動(dòng)中有定，定中有動(dòng)，多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的證明，難度較大，綜合性較強(qiáng)．該類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力及計(jì)算能力要求都比較高，不少同學(xué)遇到此類問(wèn)題都覺(jué)得“棘手”.下面我們就一起談?wù)勥@類問(wèn)題的處理方法.

動(dòng)直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)直線或曲線方程中一定含有參數(shù)，在解題時(shí)需寫(xiě)出直線或曲線方程，將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數(shù)）的形式，由f(x,y)=0

g(x,y)=0（λ為參數(shù)）得定點(diǎn)坐標(biāo).

例1如圖,已知橢圓C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上頂點(diǎn)A,右焦點(diǎn)F,直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn),AP·AQ=0,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）解：（過(guò)程略）x23+y2=1.

（2）分析1直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，

由AP·AQ=0得，直線AP與直線AQ垂直，且直線AP與x軸不垂直，故選擇設(shè)直線AP的斜率k為參數(shù).

解設(shè)直線AP： y=kx+1，

x23+y2=1，

y=kx+1， 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2).因?yàn)橹本€AP與直線AQ垂直，將點(diǎn)P的坐標(biāo)中的k用-1k代替即可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6kk2＋3，k2－3k2＋3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直線l：y＝k2－14k(x－6kk2＋3)＋k2－3k2＋3，

即y＝k2－14kx－12，故直線l過(guò)定點(diǎn)(0，－12)．

分析2直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)出直線l的方程：y=kx+b，利用設(shè)而不求法及AP·AQ=0找出k與b的關(guān)系.

解設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，直線l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.（*）

由AP·AQ=0得，

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入（*）式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因?yàn)閯?dòng)直線l不過(guò)點(diǎn)A，所以b=-12，直線l∶y=kx-12恒過(guò)定點(diǎn)(0，－12)．

小結(jié)本題對(duì)AP·AQ=0這個(gè)條件，（1）我們利用直線AP與直線AQ垂直，選擇直線AP或直線AQ的斜率為參數(shù)，通過(guò)解方程組的思想求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線l的方程；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到x1+x2與x1x2的關(guān)系式，因此設(shè)出直線的斜截式方程y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立方程組，借助于根與系數(shù)之間的關(guān)系將x1+x2與x1x2用k和b來(lái)表示，從而找到k與b的關(guān)系，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想.

處理直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：

（1）引進(jìn)參數(shù)——從目標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系式出發(fā)，引進(jìn)參數(shù)，通常引進(jìn)的參數(shù)有直線的斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等；

（2）找關(guān)系式——建立方程組，常用設(shè)而不求法；

（3）探求直線過(guò)定點(diǎn)——將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0（λ為參數(shù)）的形式；

（4）得結(jié)論——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0（λ為參數(shù)）得定點(diǎn)坐標(biāo).

究不斷地構(gòu)建科學(xué)的知識(shí)體系，完善和修復(fù)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，教師則需要適時(shí)地給學(xué)生建立一個(gè)“支點(diǎn)”，使學(xué)生在探究中更為高效、深入.

三、總結(jié)教學(xué)反思，師生同進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)

生成性資源使學(xué)生共同成長(zhǎng)，充分體現(xiàn)了教學(xué)相長(zhǎng).從雙向角度反饋來(lái)分析，生成性動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)和利用，一方面提升了教師的專業(yè)水平，動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)體現(xiàn)了教師的教育智慧，發(fā)揮了教師的主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造性，激發(fā)了教師對(duì)自己專業(yè)的學(xué)習(xí)，使他們不斷豐富自己的知識(shí)，提高自己的注意力和靈活性，將教師置于課堂的“主導(dǎo)”位置，在給學(xué)生“一碗水”時(shí)，積極準(zhǔn)備自己的“一桶水”，增加了教師的教學(xué)閱歷，為教師的成長(zhǎng)提供了空間.另一方面提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，學(xué)生的動(dòng)態(tài)生成源于它對(duì)課堂問(wèn)題的思考，激發(fā)了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣，探究問(wèn)題的激情，培養(yǎng)了學(xué)生的綜合能力.生成性資源在課堂教學(xué)中的應(yīng)用，有效的促進(jìn)了師生的共同進(jìn)步，促進(jìn)新課改的快速發(fā)展.

總之，科學(xué)合理地利用和開(kāi)發(fā)課堂的“動(dòng)態(tài)生成”，是激發(fā)學(xué)生生機(jī)蓬勃的動(dòng)力源泉.它將引導(dǎo)廣大的教師轉(zhuǎn)變教育觀念，樹(shù)立正確的課程觀和學(xué)生觀，具有強(qiáng)烈的資源意識(shí)，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，積極地有效地開(kāi)發(fā)“新能源”，在充滿不確定的課堂中，引導(dǎo)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法，科學(xué)的探究數(shù)學(xué)新思路，全面提升學(xué)生綜合能力，展示高中數(shù)學(xué)教師的教育智慧.