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對(duì)圓錐曲線中一類定點(diǎn)問(wèn)題的啟示

2014-07-22 20:26:51吳雅琴
理科考試研究·高中 2014年7期
關(guān)鍵詞:關(guān)系式定點(diǎn)橢圓

吳雅琴

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題通常是高考命題的熱點(diǎn),同時(shí)也是高考題中的一大難點(diǎn),在近幾年的高考試卷中不乏此類問(wèn)題.該類問(wèn)題動(dòng)中有定,定中有動(dòng),多以直線與圓錐曲線為背景,常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯,形成了過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的證明,難度較大,綜合性較強(qiáng).該類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力及計(jì)算能力要求都比較高,不少同學(xué)遇到此類問(wèn)題都覺(jué)得“棘手”.下面我們就一起談?wù)勥@類問(wèn)題的處理方法.

動(dòng)直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題:動(dòng)直線或曲線方程中一定含有參數(shù),在解題時(shí)需寫(xiě)出直線或曲線方程,將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0(λ為參數(shù))的形式,由f(x,y)=0

g(x,y)=0(λ為參數(shù))得定點(diǎn)坐標(biāo).

例1如圖,已知橢圓C:x2a2+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)A,右焦點(diǎn)F,直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn),AP·AQ=0,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)解:(過(guò)程略)x23+y2=1.

(2)分析1直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),

由AP·AQ=0得,直線AP與直線AQ垂直,且直線AP與x軸不垂直,故選擇設(shè)直線AP的斜率k為參數(shù).

解設(shè)直線AP: y=kx+1,

x23+y2=1,

y=kx+1, 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-6k1+3k2,1-3k21+3k2).因?yàn)橹本€AP與直線AQ垂直,將點(diǎn)P的坐標(biāo)中的k用-1k代替即可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6kk2+3,k2-3k2+3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直線l:y=k2-14k(x-6kk2+3)+k2-3k2+3,

即y=k2-14kx-12,故直線l過(guò)定點(diǎn)(0,-12).

分析2直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),設(shè)出直線l的方程:y=kx+b,利用設(shè)而不求法及AP·AQ=0找出k與b的關(guān)系.

解設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.(*)

由AP·AQ=0得,

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入(*)式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因?yàn)閯?dòng)直線l不過(guò)點(diǎn)A,所以b=-12,直線l∶y=kx-12恒過(guò)定點(diǎn)(0,-12).

小結(jié)本題對(duì)AP·AQ=0這個(gè)條件,(1)我們利用直線AP與直線AQ垂直,選擇直線AP或直線AQ的斜率為參數(shù),通過(guò)解方程組的思想求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線l的方程;(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,得到x1+x2與x1x2的關(guān)系式,因此設(shè)出直線的斜截式方程y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立方程組,借助于根與系數(shù)之間的關(guān)系將x1+x2與x1x2用k和b來(lái)表示,從而找到k與b的關(guān)系,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想.

處理直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題:

(1)引進(jìn)參數(shù)——從目標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系式出發(fā),引進(jìn)參數(shù),通常引進(jìn)的參數(shù)有直線的斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等;

(2)找關(guān)系式——建立方程組,常用設(shè)而不求法;

(3)探求直線過(guò)定點(diǎn)——將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0(λ為參數(shù))的形式;

(4)得結(jié)論——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0(λ為參數(shù))得定點(diǎn)坐標(biāo).

究不斷地構(gòu)建科學(xué)的知識(shí)體系,完善和修復(fù)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu),教師則需要適時(shí)地給學(xué)生建立一個(gè)“支點(diǎn)”,使學(xué)生在探究中更為高效、深入.

三、總結(jié)教學(xué)反思,師生同進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)

生成性資源使學(xué)生共同成長(zhǎng),充分體現(xiàn)了教學(xué)相長(zhǎng).從雙向角度反饋來(lái)分析,生成性動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)和利用,一方面提升了教師的專業(yè)水平,動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)體現(xiàn)了教師的教育智慧,發(fā)揮了教師的主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造性,激發(fā)了教師對(duì)自己專業(yè)的學(xué)習(xí),使他們不斷豐富自己的知識(shí),提高自己的注意力和靈活性,將教師置于課堂的“主導(dǎo)”位置,在給學(xué)生“一碗水”時(shí),積極準(zhǔn)備自己的“一桶水”,增加了教師的教學(xué)閱歷,為教師的成長(zhǎng)提供了空間.另一方面提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,學(xué)生的動(dòng)態(tài)生成源于它對(duì)課堂問(wèn)題的思考,激發(fā)了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣,探究問(wèn)題的激情,培養(yǎng)了學(xué)生的綜合能力.生成性資源在課堂教學(xué)中的應(yīng)用,有效的促進(jìn)了師生的共同進(jìn)步,促進(jìn)新課改的快速發(fā)展.

總之,科學(xué)合理地利用和開(kāi)發(fā)課堂的“動(dòng)態(tài)生成”,是激發(fā)學(xué)生生機(jī)蓬勃的動(dòng)力源泉.它將引導(dǎo)廣大的教師轉(zhuǎn)變教育觀念,樹(shù)立正確的課程觀和學(xué)生觀,具有強(qiáng)烈的資源意識(shí),在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,積極地有效地開(kāi)發(fā)“新能源”,在充滿不確定的課堂中,引導(dǎo)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法,科學(xué)的探究數(shù)學(xué)新思路,全面提升學(xué)生綜合能力,展示高中數(shù)學(xué)教師的教育智慧.

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題通常是高考命題的熱點(diǎn),同時(shí)也是高考題中的一大難點(diǎn),在近幾年的高考試卷中不乏此類問(wèn)題.該類問(wèn)題動(dòng)中有定,定中有動(dòng),多以直線與圓錐曲線為背景,常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯,形成了過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的證明,難度較大,綜合性較強(qiáng).該類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力及計(jì)算能力要求都比較高,不少同學(xué)遇到此類問(wèn)題都覺(jué)得“棘手”.下面我們就一起談?wù)勥@類問(wèn)題的處理方法.

動(dòng)直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題:動(dòng)直線或曲線方程中一定含有參數(shù),在解題時(shí)需寫(xiě)出直線或曲線方程,將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0(λ為參數(shù))的形式,由f(x,y)=0

g(x,y)=0(λ為參數(shù))得定點(diǎn)坐標(biāo).

例1如圖,已知橢圓C:x2a2+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)A,右焦點(diǎn)F,直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn),AP·AQ=0,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)解:(過(guò)程略)x23+y2=1.

(2)分析1直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),

由AP·AQ=0得,直線AP與直線AQ垂直,且直線AP與x軸不垂直,故選擇設(shè)直線AP的斜率k為參數(shù).

解設(shè)直線AP: y=kx+1,

x23+y2=1,

y=kx+1, 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-6k1+3k2,1-3k21+3k2).因?yàn)橹本€AP與直線AQ垂直,將點(diǎn)P的坐標(biāo)中的k用-1k代替即可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6kk2+3,k2-3k2+3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直線l:y=k2-14k(x-6kk2+3)+k2-3k2+3,

即y=k2-14kx-12,故直線l過(guò)定點(diǎn)(0,-12).

分析2直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),設(shè)出直線l的方程:y=kx+b,利用設(shè)而不求法及AP·AQ=0找出k與b的關(guān)系.

解設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.(*)

由AP·AQ=0得,

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入(*)式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因?yàn)閯?dòng)直線l不過(guò)點(diǎn)A,所以b=-12,直線l∶y=kx-12恒過(guò)定點(diǎn)(0,-12).

小結(jié)本題對(duì)AP·AQ=0這個(gè)條件,(1)我們利用直線AP與直線AQ垂直,選擇直線AP或直線AQ的斜率為參數(shù),通過(guò)解方程組的思想求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線l的方程;(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,得到x1+x2與x1x2的關(guān)系式,因此設(shè)出直線的斜截式方程y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立方程組,借助于根與系數(shù)之間的關(guān)系將x1+x2與x1x2用k和b來(lái)表示,從而找到k與b的關(guān)系,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想.

處理直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題:

(1)引進(jìn)參數(shù)——從目標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系式出發(fā),引進(jìn)參數(shù),通常引進(jìn)的參數(shù)有直線的斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等;

(2)找關(guān)系式——建立方程組,常用設(shè)而不求法;

(3)探求直線過(guò)定點(diǎn)——將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0(λ為參數(shù))的形式;

(4)得結(jié)論——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0(λ為參數(shù))得定點(diǎn)坐標(biāo).

究不斷地構(gòu)建科學(xué)的知識(shí)體系,完善和修復(fù)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu),教師則需要適時(shí)地給學(xué)生建立一個(gè)“支點(diǎn)”,使學(xué)生在探究中更為高效、深入.

三、總結(jié)教學(xué)反思,師生同進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)

生成性資源使學(xué)生共同成長(zhǎng),充分體現(xiàn)了教學(xué)相長(zhǎng).從雙向角度反饋來(lái)分析,生成性動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)和利用,一方面提升了教師的專業(yè)水平,動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)體現(xiàn)了教師的教育智慧,發(fā)揮了教師的主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造性,激發(fā)了教師對(duì)自己專業(yè)的學(xué)習(xí),使他們不斷豐富自己的知識(shí),提高自己的注意力和靈活性,將教師置于課堂的“主導(dǎo)”位置,在給學(xué)生“一碗水”時(shí),積極準(zhǔn)備自己的“一桶水”,增加了教師的教學(xué)閱歷,為教師的成長(zhǎng)提供了空間.另一方面提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,學(xué)生的動(dòng)態(tài)生成源于它對(duì)課堂問(wèn)題的思考,激發(fā)了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣,探究問(wèn)題的激情,培養(yǎng)了學(xué)生的綜合能力.生成性資源在課堂教學(xué)中的應(yīng)用,有效的促進(jìn)了師生的共同進(jìn)步,促進(jìn)新課改的快速發(fā)展.

總之,科學(xué)合理地利用和開(kāi)發(fā)課堂的“動(dòng)態(tài)生成”,是激發(fā)學(xué)生生機(jī)蓬勃的動(dòng)力源泉.它將引導(dǎo)廣大的教師轉(zhuǎn)變教育觀念,樹(shù)立正確的課程觀和學(xué)生觀,具有強(qiáng)烈的資源意識(shí),在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,積極地有效地開(kāi)發(fā)“新能源”,在充滿不確定的課堂中,引導(dǎo)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法,科學(xué)的探究數(shù)學(xué)新思路,全面提升學(xué)生綜合能力,展示高中數(shù)學(xué)教師的教育智慧.

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題通常是高考命題的熱點(diǎn),同時(shí)也是高考題中的一大難點(diǎn),在近幾年的高考試卷中不乏此類問(wèn)題.該類問(wèn)題動(dòng)中有定,定中有動(dòng),多以直線與圓錐曲線為背景,常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯,形成了過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的證明,難度較大,綜合性較強(qiáng).該類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力及計(jì)算能力要求都比較高,不少同學(xué)遇到此類問(wèn)題都覺(jué)得“棘手”.下面我們就一起談?wù)勥@類問(wèn)題的處理方法.

動(dòng)直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題:動(dòng)直線或曲線方程中一定含有參數(shù),在解題時(shí)需寫(xiě)出直線或曲線方程,將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0(λ為參數(shù))的形式,由f(x,y)=0

g(x,y)=0(λ為參數(shù))得定點(diǎn)坐標(biāo).

例1如圖,已知橢圓C:x2a2+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)A,右焦點(diǎn)F,直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn),AP·AQ=0,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)解:(過(guò)程略)x23+y2=1.

(2)分析1直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),

由AP·AQ=0得,直線AP與直線AQ垂直,且直線AP與x軸不垂直,故選擇設(shè)直線AP的斜率k為參數(shù).

解設(shè)直線AP: y=kx+1,

x23+y2=1,

y=kx+1, 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-6k1+3k2,1-3k21+3k2).因?yàn)橹本€AP與直線AQ垂直,將點(diǎn)P的坐標(biāo)中的k用-1k代替即可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6kk2+3,k2-3k2+3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直線l:y=k2-14k(x-6kk2+3)+k2-3k2+3,

即y=k2-14kx-12,故直線l過(guò)定點(diǎn)(0,-12).

分析2直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),設(shè)出直線l的方程:y=kx+b,利用設(shè)而不求法及AP·AQ=0找出k與b的關(guān)系.

解設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.(*)

由AP·AQ=0得,

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入(*)式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因?yàn)閯?dòng)直線l不過(guò)點(diǎn)A,所以b=-12,直線l∶y=kx-12恒過(guò)定點(diǎn)(0,-12).

小結(jié)本題對(duì)AP·AQ=0這個(gè)條件,(1)我們利用直線AP與直線AQ垂直,選擇直線AP或直線AQ的斜率為參數(shù),通過(guò)解方程組的思想求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線l的方程;(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,得到x1+x2與x1x2的關(guān)系式,因此設(shè)出直線的斜截式方程y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立方程組,借助于根與系數(shù)之間的關(guān)系將x1+x2與x1x2用k和b來(lái)表示,從而找到k與b的關(guān)系,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想.

處理直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題:

(1)引進(jìn)參數(shù)——從目標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系式出發(fā),引進(jìn)參數(shù),通常引進(jìn)的參數(shù)有直線的斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等;

(2)找關(guān)系式——建立方程組,常用設(shè)而不求法;

(3)探求直線過(guò)定點(diǎn)——將它轉(zhuǎn)化為f(x,y)+λg(x,y)=0(λ為參數(shù))的形式;

(4)得結(jié)論——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0(λ為參數(shù))得定點(diǎn)坐標(biāo).

究不斷地構(gòu)建科學(xué)的知識(shí)體系,完善和修復(fù)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu),教師則需要適時(shí)地給學(xué)生建立一個(gè)“支點(diǎn)”,使學(xué)生在探究中更為高效、深入.

三、總結(jié)教學(xué)反思,師生同進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)

生成性資源使學(xué)生共同成長(zhǎng),充分體現(xiàn)了教學(xué)相長(zhǎng).從雙向角度反饋來(lái)分析,生成性動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)和利用,一方面提升了教師的專業(yè)水平,動(dòng)態(tài)資源的開(kāi)發(fā)體現(xiàn)了教師的教育智慧,發(fā)揮了教師的主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造性,激發(fā)了教師對(duì)自己專業(yè)的學(xué)習(xí),使他們不斷豐富自己的知識(shí),提高自己的注意力和靈活性,將教師置于課堂的“主導(dǎo)”位置,在給學(xué)生“一碗水”時(shí),積極準(zhǔn)備自己的“一桶水”,增加了教師的教學(xué)閱歷,為教師的成長(zhǎng)提供了空間.另一方面提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,學(xué)生的動(dòng)態(tài)生成源于它對(duì)課堂問(wèn)題的思考,激發(fā)了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣,探究問(wèn)題的激情,培養(yǎng)了學(xué)生的綜合能力.生成性資源在課堂教學(xué)中的應(yīng)用,有效的促進(jìn)了師生的共同進(jìn)步,促進(jìn)新課改的快速發(fā)展.

總之,科學(xué)合理地利用和開(kāi)發(fā)課堂的“動(dòng)態(tài)生成”,是激發(fā)學(xué)生生機(jī)蓬勃的動(dòng)力源泉.它將引導(dǎo)廣大的教師轉(zhuǎn)變教育觀念,樹(shù)立正確的課程觀和學(xué)生觀,具有強(qiáng)烈的資源意識(shí),在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,積極地有效地開(kāi)發(fā)“新能源”,在充滿不確定的課堂中,引導(dǎo)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法,科學(xué)的探究數(shù)學(xué)新思路,全面提升學(xué)生綜合能力,展示高中數(shù)學(xué)教師的教育智慧.

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明確關(guān)系式
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