結(jié)合不等式證明的方法研究,談?wù)劇耙员緸楸尽?/h1>
2014-07-22 10:39:10叢俐
理科考試研究·高中 2014年7期
叢俐
筆者研究高中階段的不等式證明多年，先后撰寫了兩篇論文：《殊路同歸……一道不等式證明題的研究》、《微積分的妙用…一不等式的證明的又一利器》，并把一些可行的思維方式灌輸給了學(xué)生，以至有人擔(dān)心我的教學(xué)會(huì)“出格”，會(huì)“離課本太遠(yuǎn)”……這便涉及到數(shù)學(xué)教學(xué)方法的問(wèn)題.
盡管大家都認(rèn)同“教無(wú)定法”，但數(shù)學(xué)教學(xué)仍然一直提倡“以本為本”.
筆者覺得有必要先搞清，何為“以本為本”?前一個(gè)“本”無(wú)疑是“課本、
教本”；后一個(gè)“本”則是指“基本的、主要的、根本的”，與“末”相對(duì).形象
地說(shuō)，“以本為本”就是立足課本并挖掘課本，行之有效地開展高效教學(xué).
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”顯然要走出一個(gè)明顯的誤區(qū)……死搬課本.死搬課本，
會(huì)導(dǎo)致某些教師，課都不認(rèn)真?zhèn)?，由于“喝過(guò)幾年墨水”，一上到課，就能拿起
課本原封不動(dòng)地講……這種復(fù)制式的教學(xué)，學(xué)生雖然能聽瞳，但習(xí)題稍微變動(dòng)一
下，往往便無(wú)從下手，所教班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)一般都不會(huì)好到哪里去.
數(shù)學(xué)教學(xué)如果不能“以本為本”，一味追求綜合和高難度，所教班級(jí)的學(xué)生
在大考中就難免頭破血流，甚至全軍覆沒了.不少市中、縣中的實(shí)驗(yàn)班在高考中
一次次地?cái)”?，其根本原因就在于精心編制的教學(xué)講義遠(yuǎn)離課本……
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”，說(shuō)起來(lái)容易，但要想把它說(shuō)清還真不容易.為了避
免空話連篇累牘，筆者結(jié)合不等式證明的相關(guān)知識(shí)，參考蘇教版的數(shù)學(xué)教材，來(lái)
具體地談?wù)勛约旱膰L試.
一、證明不等式的方法“以本為本”，立足于幾類基本方法
比較法無(wú)疑是“基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)”，課本對(duì)作差法，講得相當(dāng)透徹，教師注意
由易漸難地引導(dǎo)學(xué)生，就能得心應(yīng)手地完成教學(xué)任務(wù)了.如果能布置一道類似北
京98年的高考題“數(shù)列{xn}由下列條件確定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.
證明：對(duì)n≥2,總有xn≥a;(2)證明：對(duì)n≥2,總有xn≥xn+1”作為學(xué)生的課業(yè)，就錦上添花了.講了作差法，作商法就必須有所涉及（但要注意只是一帶而過(guò)，過(guò)多的介入，教學(xué)效果就事與愿違了).作商法的條件必須點(diǎn)透，經(jīng)典例題一般都與指數(shù)
冪有關(guān)，如“已知a，b，c為不等正數(shù)，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.
分析法和綜合法是不等式證明的兩把利劍.前者能挖掘?qū)W生的分析問(wèn)題的潛
力，后者不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，而且對(duì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練更有
著舉足輕重的功效.教學(xué)中重在思維能力的訓(xùn)練，不宜在難度上提過(guò)高的要求，
至少不要超過(guò)類似“已知a、b、c為實(shí)數(shù)，a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6”的習(xí)題.
基本不等式法是不等式證明中使用最多、用起來(lái)最靈活的方法.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系是其基礎(chǔ)，也是其核心，務(wù)必講透并確保學(xué)生熟練掌握.
至于“一正二定三相等”無(wú)疑是講練的重點(diǎn).難度極限是“設(shè)a，b>0，a+b=1，求證：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.
高三理科復(fù)習(xí)時(shí)，必須帶上數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)歸納法出現(xiàn)在教材選修2-2的《推理與證明》中）.其難度不大，只要掌握好證明步驟，就一勞永逸了.盡管如此，但復(fù)習(xí)時(shí)必須讓學(xué)生留下一定的印象，否則遇到類似江蘇2010年最后一題（“已知△ABC的三邊長(zhǎng)為有理數(shù)，（1）求證：cosA是有理數(shù)；（2）對(duì)任意正整數(shù)n，求證：cosnA也是有理數(shù).”）的習(xí)題，學(xué)生就一籌莫展了.
二、習(xí)題的變形和延拓，必須“以本為本”
這里，筆者結(jié)合一道具體的習(xí)題，展開描述，想必不會(huì)給人一種空洞的感覺.
課本原題設(shè)a,b,c,d∈R+，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
證明方法有分析法（兩邊平方）、綜合法，都涉及到基本不等式.
變題1已知x,y∈R+,x+y=1,求證：
x+12+
y+12≤2.
證明方法既可把x+12、y+12
分別看作a和b，c=d=1用上述命題來(lái)處理，又可分別使用基本不等式，如
x+12=
(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,
略作變形就迎刃而解了.
變題2設(shè)a,b,c,d∈R，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
乍一看，同原題一樣！但用分析法證明時(shí)就不能直接平方了，必須對(duì)ac+bd的正負(fù)進(jìn)行討論.這是對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)密性的訓(xùn)練習(xí)題，也利于培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)審題的習(xí)慣.當(dāng)然本題也可從右向左，通過(guò)基本不等式得到右邊≥|ac+bd|來(lái)證明，還可以用反證法輕松突破.
變題3設(shè)a,b,c,d,e,f∈R+,
求證：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.
這是元的變形，難度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本質(zhì)上已涉及到柯西不等式）.其證明既可用向量法，也可通過(guò)類似柯西不等式證明的構(gòu)造法.
不等式的證明千變?nèi)f化，頗受高考試題的制作者青睞.立足于課本，也可少量涉及一步放縮法、換元法，當(dāng)然關(guān)鍵是度的把握.一步不涉及，學(xué)生在高考中遇到不等式的證明題，有可能就打不開思路，真正碰到類似北京2002年的“數(shù)列{xn}由下列條件確定：
x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.
(Ⅰ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥a；
（Ⅱ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥xn+1”的試題真的只有頭破血流了.
總之，筆者認(rèn)為，不等式的證明對(duì)學(xué)生的思維的靈活性、表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性都能行之有效地進(jìn)行考查.證明方法雖然非常多，但眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處——課本.只有“以本為本”的教學(xué)，才是高效的教學(xué).
endprint
筆者研究高中階段的不等式證明多年，先后撰寫了兩篇論文：《殊路同歸……一道不等式證明題的研究》、《微積分的妙用…一不等式的證明的又一利器》，并把一些可行的思維方式灌輸給了學(xué)生，以至有人擔(dān)心我的教學(xué)會(huì)“出格”，會(huì)“離課本太遠(yuǎn)”……這便涉及到數(shù)學(xué)教學(xué)方法的問(wèn)題.
盡管大家都認(rèn)同“教無(wú)定法”，但數(shù)學(xué)教學(xué)仍然一直提倡“以本為本”.
筆者覺得有必要先搞清，何為“以本為本”?前一個(gè)“本”無(wú)疑是“課本、
教本”；后一個(gè)“本”則是指“基本的、主要的、根本的”，與“末”相對(duì).形象
地說(shuō)，“以本為本”就是立足課本并挖掘課本，行之有效地開展高效教學(xué).
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”顯然要走出一個(gè)明顯的誤區(qū)……死搬課本.死搬課本，
會(huì)導(dǎo)致某些教師，課都不認(rèn)真?zhèn)?，由于“喝過(guò)幾年墨水”，一上到課，就能拿起
課本原封不動(dòng)地講……這種復(fù)制式的教學(xué)，學(xué)生雖然能聽瞳，但習(xí)題稍微變動(dòng)一
下，往往便無(wú)從下手，所教班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)一般都不會(huì)好到哪里去.
數(shù)學(xué)教學(xué)如果不能“以本為本”，一味追求綜合和高難度，所教班級(jí)的學(xué)生
在大考中就難免頭破血流，甚至全軍覆沒了.不少市中、縣中的實(shí)驗(yàn)班在高考中
一次次地?cái)”保涓驹蚓驮谟诰木幹频慕虒W(xué)講義遠(yuǎn)離課本……
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”，說(shuō)起來(lái)容易，但要想把它說(shuō)清還真不容易.為了避
免空話連篇累牘，筆者結(jié)合不等式證明的相關(guān)知識(shí)，參考蘇教版的數(shù)學(xué)教材，來(lái)
具體地談?wù)勛约旱膰L試.
一、證明不等式的方法“以本為本”，立足于幾類基本方法
比較法無(wú)疑是“基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)”，課本對(duì)作差法，講得相當(dāng)透徹，教師注意
由易漸難地引導(dǎo)學(xué)生，就能得心應(yīng)手地完成教學(xué)任務(wù)了.如果能布置一道類似北
京98年的高考題“數(shù)列{xn}由下列條件確定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.
證明：對(duì)n≥2,總有xn≥a;(2)證明：對(duì)n≥2,總有xn≥xn+1”作為學(xué)生的課業(yè)，就錦上添花了.講了作差法，作商法就必須有所涉及（但要注意只是一帶而過(guò)，過(guò)多的介入，教學(xué)效果就事與愿違了).作商法的條件必須點(diǎn)透，經(jīng)典例題一般都與指數(shù)
冪有關(guān)，如“已知a，b，c為不等正數(shù)，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.
分析法和綜合法是不等式證明的兩把利劍.前者能挖掘?qū)W生的分析問(wèn)題的潛
力，后者不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，而且對(duì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練更有
著舉足輕重的功效.教學(xué)中重在思維能力的訓(xùn)練，不宜在難度上提過(guò)高的要求，
至少不要超過(guò)類似“已知a、b、c為實(shí)數(shù)，a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6”的習(xí)題.
基本不等式法是不等式證明中使用最多、用起來(lái)最靈活的方法.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系是其基礎(chǔ)，也是其核心，務(wù)必講透并確保學(xué)生熟練掌握.
至于“一正二定三相等”無(wú)疑是講練的重點(diǎn).難度極限是“設(shè)a，b>0，a+b=1，求證：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.
高三理科復(fù)習(xí)時(shí)，必須帶上數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)歸納法出現(xiàn)在教材選修2-2的《推理與證明》中）.其難度不大，只要掌握好證明步驟，就一勞永逸了.盡管如此，但復(fù)習(xí)時(shí)必須讓學(xué)生留下一定的印象，否則遇到類似江蘇2010年最后一題（“已知△ABC的三邊長(zhǎng)為有理數(shù)，（1）求證：cosA是有理數(shù)；（2）對(duì)任意正整數(shù)n，求證：cosnA也是有理數(shù).”）的習(xí)題，學(xué)生就一籌莫展了.
二、習(xí)題的變形和延拓，必須“以本為本”
這里，筆者結(jié)合一道具體的習(xí)題，展開描述，想必不會(huì)給人一種空洞的感覺.
課本原題設(shè)a,b,c,d∈R+，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
證明方法有分析法（兩邊平方）、綜合法，都涉及到基本不等式.
變題1已知x,y∈R+,x+y=1,求證：
x+12+
y+12≤2.
證明方法既可把x+12、y+12
分別看作a和b，c=d=1用上述命題來(lái)處理，又可分別使用基本不等式，如
x+12=
(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,
略作變形就迎刃而解了.
變題2設(shè)a,b,c,d∈R，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
乍一看，同原題一樣！但用分析法證明時(shí)就不能直接平方了，必須對(duì)ac+bd的正負(fù)進(jìn)行討論.這是對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)密性的訓(xùn)練習(xí)題，也利于培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)審題的習(xí)慣.當(dāng)然本題也可從右向左，通過(guò)基本不等式得到右邊≥|ac+bd|來(lái)證明，還可以用反證法輕松突破.
變題3設(shè)a,b,c,d,e,f∈R+,
求證：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.
這是元的變形，難度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本質(zhì)上已涉及到柯西不等式）.其證明既可用向量法，也可通過(guò)類似柯西不等式證明的構(gòu)造法.
不等式的證明千變?nèi)f化，頗受高考試題的制作者青睞.立足于課本，也可少量涉及一步放縮法、換元法，當(dāng)然關(guān)鍵是度的把握.一步不涉及，學(xué)生在高考中遇到不等式的證明題，有可能就打不開思路，真正碰到類似北京2002年的“數(shù)列{xn}由下列條件確定：
x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.
(Ⅰ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥a；
（Ⅱ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥xn+1”的試題真的只有頭破血流了.
總之，筆者認(rèn)為，不等式的證明對(duì)學(xué)生的思維的靈活性、表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性都能行之有效地進(jìn)行考查.證明方法雖然非常多，但眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處——課本.只有“以本為本”的教學(xué)，才是高效的教學(xué).
endprint
筆者研究高中階段的不等式證明多年，先后撰寫了兩篇論文：《殊路同歸……一道不等式證明題的研究》、《微積分的妙用…一不等式的證明的又一利器》，并把一些可行的思維方式灌輸給了學(xué)生，以至有人擔(dān)心我的教學(xué)會(huì)“出格”，會(huì)“離課本太遠(yuǎn)”……這便涉及到數(shù)學(xué)教學(xué)方法的問(wèn)題.
盡管大家都認(rèn)同“教無(wú)定法”，但數(shù)學(xué)教學(xué)仍然一直提倡“以本為本”.
筆者覺得有必要先搞清，何為“以本為本”?前一個(gè)“本”無(wú)疑是“課本、
教本”；后一個(gè)“本”則是指“基本的、主要的、根本的”，與“末”相對(duì).形象
地說(shuō)，“以本為本”就是立足課本并挖掘課本，行之有效地開展高效教學(xué).
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”顯然要走出一個(gè)明顯的誤區(qū)……死搬課本.死搬課本，
會(huì)導(dǎo)致某些教師，課都不認(rèn)真?zhèn)?，由于“喝過(guò)幾年墨水”，一上到課，就能拿起
課本原封不動(dòng)地講……這種復(fù)制式的教學(xué)，學(xué)生雖然能聽瞳，但習(xí)題稍微變動(dòng)一
下，往往便無(wú)從下手，所教班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)一般都不會(huì)好到哪里去.
數(shù)學(xué)教學(xué)如果不能“以本為本”，一味追求綜合和高難度，所教班級(jí)的學(xué)生
在大考中就難免頭破血流，甚至全軍覆沒了.不少市中、縣中的實(shí)驗(yàn)班在高考中
一次次地?cái)”保涓驹蚓驮谟诰木幹频慕虒W(xué)講義遠(yuǎn)離課本……
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”，說(shuō)起來(lái)容易，但要想把它說(shuō)清還真不容易.為了避
免空話連篇累牘，筆者結(jié)合不等式證明的相關(guān)知識(shí)，參考蘇教版的數(shù)學(xué)教材，來(lái)
具體地談?wù)勛约旱膰L試.
一、證明不等式的方法“以本為本”，立足于幾類基本方法
比較法無(wú)疑是“基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)”，課本對(duì)作差法，講得相當(dāng)透徹，教師注意
由易漸難地引導(dǎo)學(xué)生，就能得心應(yīng)手地完成教學(xué)任務(wù)了.如果能布置一道類似北
京98年的高考題“數(shù)列{xn}由下列條件確定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.
證明：對(duì)n≥2,總有xn≥a;(2)證明：對(duì)n≥2,總有xn≥xn+1”作為學(xué)生的課業(yè)，就錦上添花了.講了作差法，作商法就必須有所涉及（但要注意只是一帶而過(guò)，過(guò)多的介入，教學(xué)效果就事與愿違了).作商法的條件必須點(diǎn)透，經(jīng)典例題一般都與指數(shù)
冪有關(guān)，如“已知a，b，c為不等正數(shù)，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.
分析法和綜合法是不等式證明的兩把利劍.前者能挖掘?qū)W生的分析問(wèn)題的潛
力，后者不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，而且對(duì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練更有
著舉足輕重的功效.教學(xué)中重在思維能力的訓(xùn)練，不宜在難度上提過(guò)高的要求，
至少不要超過(guò)類似“已知a、b、c為實(shí)數(shù)，a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6”的習(xí)題.
基本不等式法是不等式證明中使用最多、用起來(lái)最靈活的方法.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系是其基礎(chǔ)，也是其核心，務(wù)必講透并確保學(xué)生熟練掌握.
至于“一正二定三相等”無(wú)疑是講練的重點(diǎn).難度極限是“設(shè)a，b>0，a+b=1，求證：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.
高三理科復(fù)習(xí)時(shí)，必須帶上數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)歸納法出現(xiàn)在教材選修2-2的《推理與證明》中）.其難度不大，只要掌握好證明步驟，就一勞永逸了.盡管如此，但復(fù)習(xí)時(shí)必須讓學(xué)生留下一定的印象，否則遇到類似江蘇2010年最后一題（“已知△ABC的三邊長(zhǎng)為有理數(shù)，（1）求證：cosA是有理數(shù)；（2）對(duì)任意正整數(shù)n，求證：cosnA也是有理數(shù).”）的習(xí)題，學(xué)生就一籌莫展了.
二、習(xí)題的變形和延拓，必須“以本為本”
這里，筆者結(jié)合一道具體的習(xí)題，展開描述，想必不會(huì)給人一種空洞的感覺.
課本原題設(shè)a,b,c,d∈R+，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
證明方法有分析法（兩邊平方）、綜合法，都涉及到基本不等式.
變題1已知x,y∈R+,x+y=1,求證：
x+12+
y+12≤2.
證明方法既可把x+12、y+12
分別看作a和b，c=d=1用上述命題來(lái)處理，又可分別使用基本不等式，如
x+12=
(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,
略作變形就迎刃而解了.
變題2設(shè)a,b,c,d∈R，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
乍一看，同原題一樣！但用分析法證明時(shí)就不能直接平方了，必須對(duì)ac+bd的正負(fù)進(jìn)行討論.這是對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)密性的訓(xùn)練習(xí)題，也利于培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)審題的習(xí)慣.當(dāng)然本題也可從右向左，通過(guò)基本不等式得到右邊≥|ac+bd|來(lái)證明，還可以用反證法輕松突破.
變題3設(shè)a,b,c,d,e,f∈R+,
求證：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.
這是元的變形，難度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本質(zhì)上已涉及到柯西不等式）.其證明既可用向量法，也可通過(guò)類似柯西不等式證明的構(gòu)造法.
不等式的證明千變?nèi)f化，頗受高考試題的制作者青睞.立足于課本，也可少量涉及一步放縮法、換元法，當(dāng)然關(guān)鍵是度的把握.一步不涉及，學(xué)生在高考中遇到不等式的證明題，有可能就打不開思路，真正碰到類似北京2002年的“數(shù)列{xn}由下列條件確定：
x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.
(Ⅰ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥a；
（Ⅱ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥xn+1”的試題真的只有頭破血流了.
總之，筆者認(rèn)為，不等式的證明對(duì)學(xué)生的思維的靈活性、表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性都能行之有效地進(jìn)行考查.證明方法雖然非常多，但眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處——課本.只有“以本為本”的教學(xué)，才是高效的教學(xué).
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叢俐
筆者研究高中階段的不等式證明多年，先后撰寫了兩篇論文：《殊路同歸……一道不等式證明題的研究》、《微積分的妙用…一不等式的證明的又一利器》，并把一些可行的思維方式灌輸給了學(xué)生，以至有人擔(dān)心我的教學(xué)會(huì)“出格”，會(huì)“離課本太遠(yuǎn)”……這便涉及到數(shù)學(xué)教學(xué)方法的問(wèn)題.
盡管大家都認(rèn)同“教無(wú)定法”，但數(shù)學(xué)教學(xué)仍然一直提倡“以本為本”.
筆者覺得有必要先搞清，何為“以本為本”?前一個(gè)“本”無(wú)疑是“課本、
教本”；后一個(gè)“本”則是指“基本的、主要的、根本的”，與“末”相對(duì).形象
地說(shuō)，“以本為本”就是立足課本并挖掘課本，行之有效地開展高效教學(xué).
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”顯然要走出一個(gè)明顯的誤區(qū)……死搬課本.死搬課本，
會(huì)導(dǎo)致某些教師，課都不認(rèn)真?zhèn)?，由于“喝過(guò)幾年墨水”，一上到課，就能拿起
課本原封不動(dòng)地講……這種復(fù)制式的教學(xué)，學(xué)生雖然能聽瞳，但習(xí)題稍微變動(dòng)一
下，往往便無(wú)從下手，所教班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)一般都不會(huì)好到哪里去.
數(shù)學(xué)教學(xué)如果不能“以本為本”，一味追求綜合和高難度，所教班級(jí)的學(xué)生
在大考中就難免頭破血流，甚至全軍覆沒了.不少市中、縣中的實(shí)驗(yàn)班在高考中
一次次地?cái)”?，其根本原因就在于精心編制的教學(xué)講義遠(yuǎn)離課本……
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”，說(shuō)起來(lái)容易，但要想把它說(shuō)清還真不容易.為了避
免空話連篇累牘，筆者結(jié)合不等式證明的相關(guān)知識(shí)，參考蘇教版的數(shù)學(xué)教材，來(lái)
具體地談?wù)勛约旱膰L試.
一、證明不等式的方法“以本為本”，立足于幾類基本方法
比較法無(wú)疑是“基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)”，課本對(duì)作差法，講得相當(dāng)透徹，教師注意
由易漸難地引導(dǎo)學(xué)生，就能得心應(yīng)手地完成教學(xué)任務(wù)了.如果能布置一道類似北
京98年的高考題“數(shù)列{xn}由下列條件確定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.
證明：對(duì)n≥2,總有xn≥a;(2)證明：對(duì)n≥2,總有xn≥xn+1”作為學(xué)生的課業(yè)，就錦上添花了.講了作差法，作商法就必須有所涉及（但要注意只是一帶而過(guò)，過(guò)多的介入，教學(xué)效果就事與愿違了).作商法的條件必須點(diǎn)透，經(jīng)典例題一般都與指數(shù)
冪有關(guān)，如“已知a，b，c為不等正數(shù)，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.
分析法和綜合法是不等式證明的兩把利劍.前者能挖掘?qū)W生的分析問(wèn)題的潛
力，后者不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，而且對(duì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練更有
著舉足輕重的功效.教學(xué)中重在思維能力的訓(xùn)練，不宜在難度上提過(guò)高的要求，
至少不要超過(guò)類似“已知a、b、c為實(shí)數(shù)，a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6”的習(xí)題.
基本不等式法是不等式證明中使用最多、用起來(lái)最靈活的方法.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系是其基礎(chǔ)，也是其核心，務(wù)必講透并確保學(xué)生熟練掌握.
至于“一正二定三相等”無(wú)疑是講練的重點(diǎn).難度極限是“設(shè)a，b>0，a+b=1，求證：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.
高三理科復(fù)習(xí)時(shí)，必須帶上數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)歸納法出現(xiàn)在教材選修2-2的《推理與證明》中）.其難度不大，只要掌握好證明步驟，就一勞永逸了.盡管如此，但復(fù)習(xí)時(shí)必須讓學(xué)生留下一定的印象，否則遇到類似江蘇2010年最后一題（“已知△ABC的三邊長(zhǎng)為有理數(shù)，（1）求證：cosA是有理數(shù)；（2）對(duì)任意正整數(shù)n，求證：cosnA也是有理數(shù).”）的習(xí)題，學(xué)生就一籌莫展了.
二、習(xí)題的變形和延拓，必須“以本為本”
這里，筆者結(jié)合一道具體的習(xí)題，展開描述，想必不會(huì)給人一種空洞的感覺.
課本原題設(shè)a,b,c,d∈R+，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
證明方法有分析法（兩邊平方）、綜合法，都涉及到基本不等式.
變題1已知x,y∈R+,x+y=1,求證：
x+12+
y+12≤2.
證明方法既可把x+12、y+12
分別看作a和b，c=d=1用上述命題來(lái)處理，又可分別使用基本不等式，如
x+12=
(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,
略作變形就迎刃而解了.
變題2設(shè)a,b,c,d∈R，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
乍一看，同原題一樣！但用分析法證明時(shí)就不能直接平方了，必須對(duì)ac+bd的正負(fù)進(jìn)行討論.這是對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)密性的訓(xùn)練習(xí)題，也利于培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)審題的習(xí)慣.當(dāng)然本題也可從右向左，通過(guò)基本不等式得到右邊≥|ac+bd|來(lái)證明，還可以用反證法輕松突破.
變題3設(shè)a,b,c,d,e,f∈R+,
求證：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.
這是元的變形，難度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本質(zhì)上已涉及到柯西不等式）.其證明既可用向量法，也可通過(guò)類似柯西不等式證明的構(gòu)造法.
不等式的證明千變?nèi)f化，頗受高考試題的制作者青睞.立足于課本，也可少量涉及一步放縮法、換元法，當(dāng)然關(guān)鍵是度的把握.一步不涉及，學(xué)生在高考中遇到不等式的證明題，有可能就打不開思路，真正碰到類似北京2002年的“數(shù)列{xn}由下列條件確定：
x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.
(Ⅰ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥a；
（Ⅱ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥xn+1”的試題真的只有頭破血流了.
總之，筆者認(rèn)為，不等式的證明對(duì)學(xué)生的思維的靈活性、表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性都能行之有效地進(jìn)行考查.證明方法雖然非常多，但眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處——課本.只有“以本為本”的教學(xué)，才是高效的教學(xué).
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筆者研究高中階段的不等式證明多年，先后撰寫了兩篇論文：《殊路同歸……一道不等式證明題的研究》、《微積分的妙用…一不等式的證明的又一利器》，并把一些可行的思維方式灌輸給了學(xué)生，以至有人擔(dān)心我的教學(xué)會(huì)“出格”，會(huì)“離課本太遠(yuǎn)”……這便涉及到數(shù)學(xué)教學(xué)方法的問(wèn)題.
盡管大家都認(rèn)同“教無(wú)定法”，但數(shù)學(xué)教學(xué)仍然一直提倡“以本為本”.
筆者覺得有必要先搞清，何為“以本為本”?前一個(gè)“本”無(wú)疑是“課本、
教本”；后一個(gè)“本”則是指“基本的、主要的、根本的”，與“末”相對(duì).形象
地說(shuō)，“以本為本”就是立足課本并挖掘課本，行之有效地開展高效教學(xué).
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”顯然要走出一個(gè)明顯的誤區(qū)……死搬課本.死搬課本，
會(huì)導(dǎo)致某些教師，課都不認(rèn)真?zhèn)?，由于“喝過(guò)幾年墨水”，一上到課，就能拿起
課本原封不動(dòng)地講……這種復(fù)制式的教學(xué)，學(xué)生雖然能聽瞳，但習(xí)題稍微變動(dòng)一
下，往往便無(wú)從下手，所教班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)一般都不會(huì)好到哪里去.
數(shù)學(xué)教學(xué)如果不能“以本為本”，一味追求綜合和高難度，所教班級(jí)的學(xué)生
在大考中就難免頭破血流，甚至全軍覆沒了.不少市中、縣中的實(shí)驗(yàn)班在高考中
一次次地?cái)”保涓驹蚓驮谟诰木幹频慕虒W(xué)講義遠(yuǎn)離課本……
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”，說(shuō)起來(lái)容易，但要想把它說(shuō)清還真不容易.為了避
免空話連篇累牘，筆者結(jié)合不等式證明的相關(guān)知識(shí)，參考蘇教版的數(shù)學(xué)教材，來(lái)
具體地談?wù)勛约旱膰L試.
一、證明不等式的方法“以本為本”，立足于幾類基本方法
比較法無(wú)疑是“基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)”，課本對(duì)作差法，講得相當(dāng)透徹，教師注意
由易漸難地引導(dǎo)學(xué)生，就能得心應(yīng)手地完成教學(xué)任務(wù)了.如果能布置一道類似北
京98年的高考題“數(shù)列{xn}由下列條件確定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.
證明：對(duì)n≥2,總有xn≥a;(2)證明：對(duì)n≥2,總有xn≥xn+1”作為學(xué)生的課業(yè)，就錦上添花了.講了作差法，作商法就必須有所涉及（但要注意只是一帶而過(guò)，過(guò)多的介入，教學(xué)效果就事與愿違了).作商法的條件必須點(diǎn)透，經(jīng)典例題一般都與指數(shù)
冪有關(guān)，如“已知a，b，c為不等正數(shù)，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.
分析法和綜合法是不等式證明的兩把利劍.前者能挖掘?qū)W生的分析問(wèn)題的潛
力，后者不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，而且對(duì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練更有
著舉足輕重的功效.教學(xué)中重在思維能力的訓(xùn)練，不宜在難度上提過(guò)高的要求，
至少不要超過(guò)類似“已知a、b、c為實(shí)數(shù)，a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6”的習(xí)題.
基本不等式法是不等式證明中使用最多、用起來(lái)最靈活的方法.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系是其基礎(chǔ)，也是其核心，務(wù)必講透并確保學(xué)生熟練掌握.
至于“一正二定三相等”無(wú)疑是講練的重點(diǎn).難度極限是“設(shè)a，b>0，a+b=1，求證：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.
高三理科復(fù)習(xí)時(shí)，必須帶上數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)歸納法出現(xiàn)在教材選修2-2的《推理與證明》中）.其難度不大，只要掌握好證明步驟，就一勞永逸了.盡管如此，但復(fù)習(xí)時(shí)必須讓學(xué)生留下一定的印象，否則遇到類似江蘇2010年最后一題（“已知△ABC的三邊長(zhǎng)為有理數(shù)，（1）求證：cosA是有理數(shù)；（2）對(duì)任意正整數(shù)n，求證：cosnA也是有理數(shù).”）的習(xí)題，學(xué)生就一籌莫展了.
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這里，筆者結(jié)合一道具體的習(xí)題，展開描述，想必不會(huì)給人一種空洞的感覺.
課本原題設(shè)a,b,c,d∈R+，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
證明方法有分析法（兩邊平方）、綜合法，都涉及到基本不等式.
變題1已知x,y∈R+,x+y=1,求證：
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x+12=
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略作變形就迎刃而解了.
變題2設(shè)a,b,c,d∈R，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
乍一看，同原題一樣！但用分析法證明時(shí)就不能直接平方了，必須對(duì)ac+bd的正負(fù)進(jìn)行討論.這是對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)密性的訓(xùn)練習(xí)題，也利于培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)審題的習(xí)慣.當(dāng)然本題也可從右向左，通過(guò)基本不等式得到右邊≥|ac+bd|來(lái)證明，還可以用反證法輕松突破.
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求證：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.
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不等式的證明千變?nèi)f化，頗受高考試題的制作者青睞.立足于課本，也可少量涉及一步放縮法、換元法，當(dāng)然關(guān)鍵是度的把握.一步不涉及，學(xué)生在高考中遇到不等式的證明題，有可能就打不開思路，真正碰到類似北京2002年的“數(shù)列{xn}由下列條件確定：
x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.
(Ⅰ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥a；
（Ⅱ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥xn+1”的試題真的只有頭破血流了.
總之，筆者認(rèn)為，不等式的證明對(duì)學(xué)生的思維的靈活性、表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性都能行之有效地進(jìn)行考查.證明方法雖然非常多，但眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處——課本.只有“以本為本”的教學(xué)，才是高效的教學(xué).
endprint
筆者研究高中階段的不等式證明多年，先后撰寫了兩篇論文：《殊路同歸……一道不等式證明題的研究》、《微積分的妙用…一不等式的證明的又一利器》，并把一些可行的思維方式灌輸給了學(xué)生，以至有人擔(dān)心我的教學(xué)會(huì)“出格”，會(huì)“離課本太遠(yuǎn)”……這便涉及到數(shù)學(xué)教學(xué)方法的問(wèn)題.
盡管大家都認(rèn)同“教無(wú)定法”，但數(shù)學(xué)教學(xué)仍然一直提倡“以本為本”.
筆者覺得有必要先搞清，何為“以本為本”?前一個(gè)“本”無(wú)疑是“課本、
教本”；后一個(gè)“本”則是指“基本的、主要的、根本的”，與“末”相對(duì).形象
地說(shuō)，“以本為本”就是立足課本并挖掘課本，行之有效地開展高效教學(xué).
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”顯然要走出一個(gè)明顯的誤區(qū)……死搬課本.死搬課本，
會(huì)導(dǎo)致某些教師，課都不認(rèn)真?zhèn)?，由于“喝過(guò)幾年墨水”，一上到課，就能拿起
課本原封不動(dòng)地講……這種復(fù)制式的教學(xué)，學(xué)生雖然能聽瞳，但習(xí)題稍微變動(dòng)一
下，往往便無(wú)從下手，所教班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)一般都不會(huì)好到哪里去.
數(shù)學(xué)教學(xué)如果不能“以本為本”，一味追求綜合和高難度，所教班級(jí)的學(xué)生
在大考中就難免頭破血流，甚至全軍覆沒了.不少市中、縣中的實(shí)驗(yàn)班在高考中
一次次地?cái)”保涓驹蚓驮谟诰木幹频慕虒W(xué)講義遠(yuǎn)離課本……
數(shù)學(xué)教學(xué)“以本為本”，說(shuō)起來(lái)容易，但要想把它說(shuō)清還真不容易.為了避
免空話連篇累牘，筆者結(jié)合不等式證明的相關(guān)知識(shí)，參考蘇教版的數(shù)學(xué)教材，來(lái)
具體地談?wù)勛约旱膰L試.
一、證明不等式的方法“以本為本”，立足于幾類基本方法
比較法無(wú)疑是“基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)”，課本對(duì)作差法，講得相當(dāng)透徹，教師注意
由易漸難地引導(dǎo)學(xué)生，就能得心應(yīng)手地完成教學(xué)任務(wù)了.如果能布置一道類似北
京98年的高考題“數(shù)列{xn}由下列條件確定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.
證明：對(duì)n≥2,總有xn≥a;(2)證明：對(duì)n≥2,總有xn≥xn+1”作為學(xué)生的課業(yè)，就錦上添花了.講了作差法，作商法就必須有所涉及（但要注意只是一帶而過(guò)，過(guò)多的介入，教學(xué)效果就事與愿違了).作商法的條件必須點(diǎn)透，經(jīng)典例題一般都與指數(shù)
冪有關(guān)，如“已知a，b，c為不等正數(shù)，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.
分析法和綜合法是不等式證明的兩把利劍.前者能挖掘?qū)W生的分析問(wèn)題的潛
力，后者不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，而且對(duì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練更有
著舉足輕重的功效.教學(xué)中重在思維能力的訓(xùn)練，不宜在難度上提過(guò)高的要求，
至少不要超過(guò)類似“已知a、b、c為實(shí)數(shù)，a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6”的習(xí)題.
基本不等式法是不等式證明中使用最多、用起來(lái)最靈活的方法.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系是其基礎(chǔ)，也是其核心，務(wù)必講透并確保學(xué)生熟練掌握.
至于“一正二定三相等”無(wú)疑是講練的重點(diǎn).難度極限是“設(shè)a，b>0，a+b=1，求證：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.
高三理科復(fù)習(xí)時(shí)，必須帶上數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)歸納法出現(xiàn)在教材選修2-2的《推理與證明》中）.其難度不大，只要掌握好證明步驟，就一勞永逸了.盡管如此，但復(fù)習(xí)時(shí)必須讓學(xué)生留下一定的印象，否則遇到類似江蘇2010年最后一題（“已知△ABC的三邊長(zhǎng)為有理數(shù)，（1）求證：cosA是有理數(shù)；（2）對(duì)任意正整數(shù)n，求證：cosnA也是有理數(shù).”）的習(xí)題，學(xué)生就一籌莫展了.
二、習(xí)題的變形和延拓，必須“以本為本”
這里，筆者結(jié)合一道具體的習(xí)題，展開描述，想必不會(huì)給人一種空洞的感覺.
課本原題設(shè)a,b,c,d∈R+，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
證明方法有分析法（兩邊平方）、綜合法，都涉及到基本不等式.
變題1已知x,y∈R+,x+y=1,求證：
x+12+
y+12≤2.
證明方法既可把x+12、y+12
分別看作a和b，c=d=1用上述命題來(lái)處理，又可分別使用基本不等式，如
x+12=
(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,
略作變形就迎刃而解了.
變題2設(shè)a,b,c,d∈R，
求證：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.
乍一看，同原題一樣！但用分析法證明時(shí)就不能直接平方了，必須對(duì)ac+bd的正負(fù)進(jìn)行討論.這是對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)密性的訓(xùn)練習(xí)題，也利于培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)審題的習(xí)慣.當(dāng)然本題也可從右向左，通過(guò)基本不等式得到右邊≥|ac+bd|來(lái)證明，還可以用反證法輕松突破.
變題3設(shè)a,b,c,d,e,f∈R+,
求證：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.
這是元的變形，難度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本質(zhì)上已涉及到柯西不等式）.其證明既可用向量法，也可通過(guò)類似柯西不等式證明的構(gòu)造法.
不等式的證明千變?nèi)f化，頗受高考試題的制作者青睞.立足于課本，也可少量涉及一步放縮法、換元法，當(dāng)然關(guān)鍵是度的把握.一步不涉及，學(xué)生在高考中遇到不等式的證明題，有可能就打不開思路，真正碰到類似北京2002年的“數(shù)列{xn}由下列條件確定：
x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.
(Ⅰ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥a；
（Ⅱ)證明：對(duì)n≥2，總有xn≥xn+1”的試題真的只有頭破血流了.
總之，筆者認(rèn)為，不等式的證明對(duì)學(xué)生的思維的靈活性、表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性都能行之有效地進(jìn)行考查.證明方法雖然非常多，但眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處——課本.只有“以本為本”的教學(xué)，才是高效的教學(xué).
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