徐芳

【摘 要】數(shù)學思想既是研究數(shù)學所依賴的基礎，也是數(shù)學教學的精髓。數(shù)學基本思想的形成需要經(jīng)歷一個從朦朧到明晰、從理解到應用，循環(huán)往復的發(fā)展過程。唯有讓學生親身經(jīng)歷這樣的過程，才能逐步“悟”出數(shù)學知識中蘊含的深刻“思想”。

【關鍵詞】經(jīng)歷 思想 推理 抽象 模型

數(shù)學思想的內(nèi)涵十分豐富，其中最基本的是數(shù)學推理、數(shù)學抽象以及數(shù)學模型的思想。面對“既是數(shù)學之‘冠，又是數(shù)學之‘根”，“既有隱形之能，又具顯性之神”的數(shù)學思想，我們需要的不僅是行動者的勇氣，更需要思想者的睿智。下面結合課堂教學，談談筆者的感悟。

一、豐富感知，領悟推理思想

說起推理，許多人在認識上存在著局限性，認為對學生推理能力的培養(yǎng)就是加強邏輯證明能力的訓練，其實不然。課標提出，要通過多樣化的活動來培養(yǎng)學生的推理能力。第一學段應著重“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想”，在此過程中感悟推理的思想。

【案例1】蘇教版三年級下冊《認識小數(shù)》

創(chuàng)設穿越時光隧道回到原始部落結繩計數(shù)的情境，這個部落一共獲得了124只獵物，請在“計數(shù)器”上畫珠子表示。

教師設疑：部落里又逮到了1只獵物，他們想把這只獵物平均分成10份，其中的9份用來招待客人，那剩下的一份在繩子上又該怎么表示呢？

小組討論后展示設計作品，并請原創(chuàng)者交流。主要有三種觀點：（1）一只獵物平均分成10份，其中的9份用來招待客人，那剩下的一份不能畫得和“1只”一樣長，應該短一點。（2）因為不滿一只，所以要作個記號，把它和前面的“124”隔開，這樣看得清楚一些。教師順勢追問：這一份畫在這根繩子的左邊還是右邊呢？學生表示畫在右邊，這樣數(shù)位越往右，表示的數(shù)就越小。

在此基礎上，學生嘗試在計數(shù)器上表示出這一份。作品一：在“個位”的右邊添加一豎線，畫一顆珠子表示；作品二：在“個位”的右邊畫一個圓點，再添加一豎線，畫一顆珠子表示；作品三：在“個位”的右邊畫一個圓點，再添加一豎線，畫一顆珠子表示，并在該豎線下面標注“十分位”。

教師追問：為什么把這個數(shù)位叫做“十分位”？學生回答是媽媽教的。教師在肯定的同時，提問為什么稱為“十分位”？

同桌交流后分享：因為它表示把一只獵物平均分成10份，所以叫“十分位”。在上面畫一顆珠子就表示1份，是十分之一；畫兩顆珠子就表示2份，是十分之二。隨后學生在“計數(shù)器”下寫出這個數(shù)并自學書本，了解小數(shù)的讀法及各部分名稱。

小數(shù)的產(chǎn)生有兩個原因：一是十進制計數(shù)法擴展完善的需要，二是分數(shù)書寫形式的優(yōu)化改進。小數(shù)的出現(xiàn)標志著十進制計數(shù)法從整數(shù)擴展到分數(shù)，使分數(shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一。上述片段中，教師善于對素材進行加工，學生“從頭想起”，由整數(shù)數(shù)位猜想小數(shù)數(shù)位，不知不覺中用歸納推理引申出“十分位”的概念。

二、逐層推進，領悟抽象思想

抽象是一個去生活化、去情境化的過程，就是把生活中與數(shù)量、圖形有關的東西抽象成概念，并用符號表達。既要關注知識的來龍去脈，還要讓學生知道知識“從哪里來”到“哪里去”，這就需要教師提供知識產(chǎn)生的背景材料。

【案例2】蘇教版四年級下冊《折線統(tǒng)計圖》

出示書本主題圖，學生交流從“某地5月21日白天室外氣溫情況統(tǒng)計表”中獲得的信息。討論得出：通過觀察統(tǒng)計表，我們可以清楚地了解到每個時刻的氣溫。除了制作統(tǒng)計表，制作統(tǒng)計圖同樣可以獲得這些信息。

出示條形統(tǒng)計圖，學生比較兩者，說說條形統(tǒng)計圖的優(yōu)勢，交流從該圖上獲得的信息。

教師設疑：最高氣溫是24℃，除了看數(shù)字，還有什么辦法？學生認為可以看直條的高度。教師建議大家用手勢比劃每個時刻的氣溫，然后追問：大家在比劃的過程中看的是每一根直條的哪一部分？學生異口同聲回答是每一根直條的最高部分。

討論一：既然我們看的是每一根直條的最高部分，那索性將直條隱去，只留一條代表它最高部分的小短橫，這時我們還能看出每一時刻的溫度嗎？出示用小短橫代替直條的圖。討論二：繼續(xù)簡化，將小短橫縮小為一個點，還能看出每一時刻的溫度嗎？出示用點代替小短橫的圖。隨后全體學生再次用手勢比劃氣溫的變化，多媒體適時出現(xiàn)學生描述的折線變化路徑。教師介紹折線統(tǒng)計圖，學生交流從折線統(tǒng)計圖上獲得的信息。

本片段中，教師并未急于引入正規(guī)折線統(tǒng)計圖的學習，而是巧妙地將條形統(tǒng)計圖作為“引子”，由“面”抽象出“線”，由“線”抽象出“點”，使學生不僅知其然，而且知其所以然。動手比劃氣溫的變化也是匠心獨運，手過雖無痕，但心中已留痕！

三、化繁為簡，領悟模型思想

模型思想是此次修訂課標新增的核心概念，學生對模型思想的感悟通常會經(jīng)歷一個從簡單到復雜，從具體到抽象，逐步積累經(jīng)驗、掌握建模方法的過程。建立模型思想的本質(zhì)是使學生體會和理解數(shù)學與外部世界的聯(lián)系。

【案例3】蘇教版五年級下冊《認識方程》

多媒體出示天平，學生說說天平的用途。在天平的左邊放入兩瓶牛奶，天平傾斜；在天平的右邊放入200克砝碼，天平保持平衡，表示兩邊物體的質(zhì)量相等。學生說一說這一組相等的關系，即：2瓶牛奶的質(zhì)量=200克。

出示生活中具有相等關系的五幅圖，思考每一幅圖中存在怎樣的相等關系？圖片一：一盒鮮莓派138克（23克×6枚）；圖片二：臺秤上四塊月餅共重380克；圖片三：小紅今年身高152厘米，比去年長高8厘米；圖片四：從A地到B地，甲車每小時行100千米，4小時到達，乙車每小時行80千米，5小時到達；圖片五：一支鋼筆35元，是圓珠筆價格的5倍。

學生交流，教師在黑板上貼出教學卡片：6枚鮮莓派的質(zhì)量=138克，4塊月餅的質(zhì)量=380克，去年的身高+8厘米=152厘米，甲車行的路程=乙車行的路程，圓珠筆單價的5倍=鋼筆的單價。

教師逐步引導學生把這些相等的關系用數(shù)學的式子來表示。比如，2瓶牛奶的質(zhì)量怎樣表示？“100”告訴我們了嗎？沒有告訴，那怎么表示呢？為什么想到用“x”表示？那鮮莓派呢？此處學生產(chǎn)生分歧，辯論后達成共識：每個鮮莓派的質(zhì)量已經(jīng)告訴我們，應該是23×6=138。學生依次交流余下的幾個算式：4x=380，x+8=155，100×4=80×5，5x=35，分別說一說x表示什么意思。學生交流6個式子的共同點，得出等式的概念。繼續(xù)提問：同為等式，它們之間又有什么不同之處呢？經(jīng)過討論，學生總結得出不含x的等式表示的是已知量之間的相等關系，而含x的等式表示的是已知量和未知量之間的相等關系，進而得出方程的概念。

方程是刻畫數(shù)量關系的重要數(shù)學模型。本片段中，學生從相等關系的視角研究生活現(xiàn)象，在實際情境中抽象出數(shù)學問題，進而分析已知量與未知量之間的關系，從而初步建立方程模型。這種在建立模型過程中的整體認知，很大程度上將會引領學生解決問題時思維方式的轉變，那就是“對于數(shù)量關系的關注”要優(yōu)于“對于計算結果”的關注。

使學生獲得數(shù)學的基本思想是數(shù)學課程的重要目標，而數(shù)學基本思想的形成不是一蹴而就、立竿見影的，它需要經(jīng)歷一個從朦朧到明晰，從理解到應用，循環(huán)往復的發(fā)展過程。唯有讓學生親身經(jīng)歷這樣的過程，才能逐步“悟”出數(shù)學知識中蘊涵的深刻“思想”。

（作者單位：江蘇省張家港市江帆小學）