劉源

解析幾何中的參數(shù)范圍問題是一類綜合性強(qiáng)、變量多、涉及知識面廣的題目，因而也是解幾中的一個難點(diǎn)問題。這類問題往往運(yùn)用函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值等來解決。

一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合探求參數(shù)范圍

例1、m為何值時，直線y=-x+m與半橢圓（y≥1）只有一個公共點(diǎn)？

分析：因?yàn)闄E圓（y≥1）為半條曲線，若利用方程觀點(diǎn)研究這類問題則需轉(zhuǎn)化成根的分布問題，較麻煩且易出錯，若用數(shù)形結(jié)合的思想來研究直觀易解。如圖1，l1、l2、l3是直線系y=-x+m中的三條直線，這三條直線是直線系中的直線與半橢圓交點(diǎn)個數(shù)的“界線”，在l1與l2之間的直線（含l1，不含l2）及l(fā)3都是與半橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線，而m是這些直線在y軸上的截距，由此可求m的范圍。

簡解：l1過（，1） ∴ ∴

l1過（，1） ∴ ∴

（y≥1）

由 得到關(guān)于x的一元二次方程

y=-x+m

利用△=0得m=6. 綜上所得，≤m< 或m=6。

例2.若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A（-2， 3），B（3，2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：如圖2，直線mx+y+2=0過一定點(diǎn)C（0， -2），直線mx+y+2=0實(shí)際上表示的是過定點(diǎn)（0， -2）的直線系，因?yàn)橹本€與線段AB有交點(diǎn)，則直線只能落在∠ABC的內(nèi)部，

設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足k≥k1或k≤k2， ∵A（-2， 3） B（3， 2）

∴

∴-m≥或-m≤即m≤-或m≥。

說明：此例是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應(yīng)為傾角的正切，而當(dāng)傾角在（0°，90°）或（90°，180°）內(nèi)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)直線在∠ACB內(nèi)部變化時，k應(yīng)大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當(dāng)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化時，也要能求出m的范圍。

二、構(gòu)造含參不等式探求參數(shù)范圍

例3 . 已知拋物線 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以雙曲線的左準(zhǔn)線為準(zhǔn)線。

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）若直線（）垂直平分拋物線C的弦，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，可以設(shè)法得到關(guān)于 的不等式，通過

解不等式求出k的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔?表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出k的范圍。

解：（Ⅰ）雙曲線的左準(zhǔn)線方程是，

故拋物線C的方程為；

（Ⅱ）設(shè)拋物線C被直線l垂直平分的弦AB的方程為，

則…①

設(shè)、，則，，從而弦AB的中點(diǎn)，由此及點(diǎn)M在直線l上得：，代入①式得：，

解之得：，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-2，0）。

三、運(yùn)用幾何性質(zhì)探求參數(shù)范圍

例4.已知橢圓，A，B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（x0，0），證明：.

分析：欲證x0滿足關(guān)于參數(shù)a、b的不等式，須從題中找出不等關(guān)系，由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：-a≤x≤a，因此問題轉(zhuǎn)化為尋求x0與x的關(guān)系。

簡解：由題設(shè)知，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，所以|AP|=|BP|，若設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有：（x1-x0）2+y12=（x2-x0）2+y22，因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓上，所以，

，從而由-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，可得：

。

四、構(gòu)造方程運(yùn)用判別式探求參數(shù)范圍

例5. 直線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.

（I）求實(shí)數(shù)k的取值范圍； （II）略.

解：（Ⅰ）將直線

依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故

例7.在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，-3）為△OAB的直角頂點(diǎn).已知|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零.

（1）求向量AB的坐標(biāo)；（2）求圓關(guān)于直線OB對稱的圓的方程；

（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點(diǎn)？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍.

解：（1）設(shè)得所以v-3>0，得v=8，故AB={6，8}.

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直線OB方程：

由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）2+y（y+1）2=10， 得圓心（3，-1），半徑為 .

設(shè)圓心（3，-1）關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)為（x ，y）則

故所求圓的方程為（x-1）2+（y-3）2=10.

（3）設(shè)P （x1，y1）， Q （x2，y2）為拋物線上關(guān)于直線OB對稱兩點(diǎn)，則

故當(dāng)時，拋物線y=ax2-1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩點(diǎn).