張立軍

教材分析：

本節(jié)課是人教A版4—5第四講第一節(jié)數(shù)學(xué)歸納法第一課時，主要是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法原理，并能夠用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與正整數(shù)有關(guān)的實際問題。它將一個無窮歸納過程轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程，是促進(jìn)學(xué)生從有限思維發(fā)展到無限思維，并培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力和抽象思維能力的重要載體。

學(xué)情分析：

由于此前數(shù)列和推理與證明兩部分的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對歸納推理有了一定的認(rèn)知。

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能目標(biāo)：

1.了解數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的根源及其無窮遞推的本質(zhì)，認(rèn)清“奠基”和“遞推”兩者缺一不可。

2.體會數(shù)學(xué)歸納法的思想，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題。

過程與方法目標(biāo)：

1.親身感悟數(shù)學(xué)歸納法原理發(fā)現(xiàn)和提出的過程，體會其由無限問題化為有限問題這一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.精心創(chuàng)設(shè)積極思考、大膽質(zhì)疑的課堂愉悅情境，提高學(xué)習(xí)興趣和課堂效率。

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：

1.通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)來源于生活，并形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

2.認(rèn)識有限與無限的辯證關(guān)系。

教學(xué)重點：

數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析及其適用范圍，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的基本步驟。

教學(xué)難點：

認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法的證明思路，對數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解。

教具準(zhǔn)備：

傳統(tǒng)板書與多媒體輔助教學(xué)相結(jié)合。

教學(xué)過程：

一、情景設(shè)置

問題1：通過計算下面的式子，你能猜想出-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）的結(jié)果嗎？證明你的結(jié)論。

-1+3=

-1+3-5=

-1+3-5+7=

-1+3-5+7-9=

問題2：多米諾骨牌是怎樣全部倒下的？

二、探究新知

問題1中，要證明等式在n為正整數(shù)時都成立，雖然可以驗證n=1，2，3，4……甚至10000000時等式（★）成立，但是正整數(shù)有無限多個，我們無法對它們一一驗證，所以，通過驗證是無法完成證明的。

下面我們先來看看多米諾骨牌的視頻（多媒體播放視頻材料），討論問題2 。

如果不推倒起始的第一張骨牌，而從其后的第二張或某一張開始推倒，那么其前面的骨牌會倒嗎？如果因為抽去中間的某一張或某一張牌擺放不標(biāo)準(zhǔn)等原因，使得此處前一張骨牌倒下后不能碰倒下一張，那么骨牌會全部倒下嗎？顯然，以上的情況都不能使得全部骨牌倒下，可見讓所有的多米諾骨牌全部倒下，應(yīng)具備如下條件：

條件一：第一張骨牌倒下。

條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導(dǎo)致后一張倒下。

其中條件一是前提、是基礎(chǔ)，條件二是持續(xù)遞推的保障，二者缺一不可。

通過以上合作交流，師生共同探究得到解決問題的方法：第一塊骨牌倒下相當(dāng)于證明當(dāng)n=1時，等式（★）成立；對于任一塊骨牌倒下相鄰的后一塊也倒下，相當(dāng)于當(dāng)n=k時，等式（★）成立，推出當(dāng)n= k+1時等式（★）也成立?？梢越⒁环N像多米諾骨牌那樣的“由前到后”的遞推關(guān)系，即由n=1時等式（★）成立為起點，遞推出n=2時等式（★）成立；再由n=2時等式（★）成立，遞推出n=3時等式（★）成立……依次自動遞推下去，就可以說，對于任意正整數(shù)n，等式（★）成立。

按照上述思路可具體證明等式（★）成立。

證明：⑴當(dāng)n=1時，式（★）⑴左右兩邊都等于-1，即這時等式（★）成立。

⑵假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時等式（★）成立，即

-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）=（-1）kk

當(dāng)n= k+1時，左邊=-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）+（-1）k+1［2（k+1）-1］

=（-1）kk+（-1）k+1［2（k+1）-1］

=（-1）k+1［-k+2（k+1）-1］

=（-1）k+1（k+1）=右邊

所以當(dāng)n= k+1時等式（★）成立。

由⑴⑵可知，-1+3-5+…+（-1）n （2n-1）=（-1）n n(n∈N+)

三、明確概念

（板書）“數(shù)學(xué)歸納法”

一般地，證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可按下列步驟進(jìn)行：

（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值n0 (n0∈N+) 時命題成立。

（2）（歸納遞推）假設(shè)n= k (k∈N+,且k≥n0) 時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時，命題也成立。

只要完成以上兩個步驟，就可以判定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。

上述方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要注意以下幾點：

（1）第一步是基礎(chǔ)，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的。

（2）第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能是不完全歸納法。

（3）n0不一定取1，也可取其它一些正整數(shù)，n0是使命題成立的最小正整數(shù)。

（4）第二步的證明必須利用歸納假設(shè)，否則不能稱作數(shù)學(xué)歸納法。

四、鞏固應(yīng)用

用數(shù)學(xué)歸納法證明:

（1）12+22+...+n2= （n∈N+）

（2）當(dāng)n為正整數(shù)時，1+3+5+…+(2n-1)=n2

五、回顧總結(jié)

1.本節(jié)課學(xué)到了什么？

2.這些知識是怎樣得出的？

3.你有什么體會與感悟？

（責(zé)任編輯 史玉英）

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