田 飛，王傳玉，張大偉

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

一類索賠相依二元風(fēng)險模型下第n次索賠時的破產(chǎn)概率研究

田 飛，王傳玉，張大偉

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

在一類索賠相依二元風(fēng)險模型下推導(dǎo)出了Gerber-Shiu函數(shù)滿足的更新方程，以及破產(chǎn)時刻和直到破產(chǎn)時刻的索賠次數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)，得到了第n次索賠時的破產(chǎn)概率的表達(dá)式。

二元風(fēng)險模型；索賠次數(shù)；Laplace變換；破產(chǎn)概率

經(jīng)典風(fēng)險模型中，保險公司只面對單風(fēng)險的情形；但現(xiàn)實(shí)生活中，保險公司會承擔(dān)不同的保險業(yè)務(wù)，為了使風(fēng)險模型更符合實(shí)際情況，趙曉芹[1]、張冕[2]等研究了一類索賠相依的二元風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題，此風(fēng)險模型包含兩種索賠：主索賠和由主索賠引起的副索賠；得到了此風(fēng)險模型下生存概率所滿足的微分方程，最后得到了最終破產(chǎn)概率漸進(jìn)表達(dá)式，但是他們的文章中都沒有涉及到索賠次數(shù)與破產(chǎn)時間之間的關(guān)系的問題，也沒有考慮使用近年來被廣泛使用的Gerber-Shiu函數(shù)來研究破產(chǎn)概率問題。而保險公司的風(fēng)險來源主要是發(fā)生索賠的次數(shù)和發(fā)生索賠時的索賠額，確保保險公司穩(wěn)定經(jīng)營的一個重要衡量指標(biāo)是破產(chǎn)概率，但是很少有學(xué)者對破產(chǎn)索賠次數(shù)與破產(chǎn)時間之間的關(guān)系進(jìn)行研究。因此，將索賠次數(shù)和破產(chǎn)時間放在一起研究是一個比較新的和有意義的問題。

1998年Gerber and Shiu[3]定義了著名的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)，后來被稱之為Gerber-Shiu函數(shù)，他們首次把破產(chǎn)時間、破產(chǎn)前瞬時盈余和破產(chǎn)時刻赤字這3個重要精算變量嵌入到一個期望折現(xiàn)罰金函數(shù)中，通過求解該函數(shù)來研究三者的聯(lián)合分布；近年來，破產(chǎn)時刻罰金折現(xiàn)期望已被用于一些實(shí)用的風(fēng)險模型并由此產(chǎn)生了許多風(fēng)險理論的新結(jié)論； Landriault[4]在2011年的文章中研究了服從指數(shù)索賠量的Sparre Andersen風(fēng)險模型，使用Gerber-Shiu函數(shù)，他們推導(dǎo)出了Sparre Andersen風(fēng)險模型下破產(chǎn)時刻和破產(chǎn)索賠次數(shù)的聯(lián)合分布，并在服從指數(shù)索賠量的假設(shè)下推導(dǎo)出了含索賠次數(shù)的破產(chǎn)概率的表達(dá)式，這篇文章中的一個重要的想法就是一些關(guān)于破產(chǎn)時間的已知結(jié)果可以用破產(chǎn)時的索賠次數(shù)來解釋；Dickson[5]在2012年的文章中使用概率論證的方法推導(dǎo)出了經(jīng)典風(fēng)險模型下破產(chǎn)時刻和破產(chǎn)索賠次數(shù)的聯(lián)合分布，獲得了破產(chǎn)索賠次數(shù)的概率函數(shù)的一般表達(dá)式。

本文在Dickson[5]的文章的基礎(chǔ)上，研究了一類索賠相依二元風(fēng)險模型下Gerber-Shiu函數(shù)滿足的更新方程，推導(dǎo)出了一類索賠相依二元風(fēng)險模型下破產(chǎn)時刻和直到破產(chǎn)時刻的索賠次數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)，得到了第n次索賠時的破產(chǎn)概率的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

1 預(yù)備知識

定義1 稱pn(u)為初始盈余為u時，第n次索賠時的破產(chǎn)概率，即

定義2 由Dickson[5]我們定義了如下的Gerber-Shiu函數(shù)：

(1)

其中0

2 獨(dú)立二元風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率

2.1 模型的建立

定義如下的盈余過程：

2.2 破產(chǎn)概率的求解

本節(jié)將在2.1所述獨(dú)立二元風(fēng)險模型下，根據(jù)(1)式，求出Gerber-Shiu函數(shù)滿足的更新方程，進(jìn)而求出破產(chǎn)概率。

考慮時間區(qū)間(0,T)，其中t

(2)

兩邊同時對T求微分，再令T=0，則有：

(3)

這樣我們就得到了獨(dú)立二元風(fēng)險模型下Gerber-Shiu函數(shù)滿足的更新方程。

又由文獻(xiàn)[6]可知，存在一個s滿足以下鞅條件：

由這個條件我們可以得到獨(dú)立二元風(fēng)險模型下的廣義Lundberg方程：

(4)

定理1 當(dāng)u=0時，獨(dú)立二元風(fēng)險模型第n次索賠時的破產(chǎn)概率為：

(5)

(6)

證明： 對(3)式兩邊同時作Laplace變換，有：

(7)

由文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[6]可知，存在一個ρ，ρ使得方程

有唯一正解，將ρ代入(7)式，這樣就有

(8)

由文獻(xiàn)[4]可知：

(9)

將(9)代入(8)式，化簡整理可得：

(10)

又

當(dāng)u=0時，我們可以得到：

(11)

(12)

從而u=0時破產(chǎn)概率為：

對于u>0的情形，我們將在下一節(jié)討論一類相依二元風(fēng)險模型時進(jìn)行分析，兩種模型關(guān)于u>0的情形下破產(chǎn)概率的求解方法是類似的。

3 一類索賠相依情形下的二元風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率

3.1 模型的建立

其中u≥0為常數(shù)，表示初始盈余； c為單位時間內(nèi)的保費(fèi)收入；N1(t)為主索賠發(fā)生的次數(shù)，它服從參數(shù)為λ的Poisson過程；N2(t)為副索賠發(fā)生的次數(shù)。

3.2 破產(chǎn)概率的求解

要求解3.1所述風(fēng)險模型下的破產(chǎn)概率，我們先求出Gerber-Shiu函數(shù)滿足的更新方程，以這個更新方程為基礎(chǔ)，求出u=0和u>0兩種情形下的破產(chǎn)概率的表達(dá)式。

引理1 3.1所述二元風(fēng)險模型下Gerber-Shiu函數(shù)滿足的更新方程為：

(13)

證明：考慮一個很小的時間區(qū)間(0,h)，其中t

(1)在(0,h)上沒有索賠發(fā)生；

(2)在(0,h)上主索賠發(fā)生，且不引起副索賠發(fā)生；

(3)在(0,h)上主索賠發(fā)生，且引起副索賠發(fā)生，且副索賠與主索賠同時發(fā)生；

(4)在(0,h)上主索賠發(fā)生，且引起副索賠發(fā)生，且副索賠與主索賠不同時發(fā)生；

綜上所述可得：

兩邊對h求微分，然后令h=0，得：

整理，即得證。

引理2 3.1所述二元風(fēng)險模型下的Lundberg方程為：

(14)

證明：由文獻(xiàn)[6]可知，存在一個s滿足以下鞅條件：

由

故

定理2 當(dāng)u=0時，3.1所述二元風(fēng)險模型下第n次索賠時的破產(chǎn)概率為

(15)

(16)

證明：對引理1的(13)式作Laplace變換得：

(17)

由文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[6]可知，存在一個ρ，ρ使得方程

有唯一正解，將ρ代入(17)式時，我們有：

(18)

又由文獻(xiàn)[4]可知：

代入(18)式，整理可得：

由(1)式可得：

n=1

(19)

(20)

從而有

對于u>0的情形，由文獻(xiàn)[7]可知，對于一個很小的dt，ω1(u,t)dt表示在區(qū)間(t,t+dt)上發(fā)生首次索賠且導(dǎo)致破產(chǎn)發(fā)生的概率；對于這個事件，我們可以知道在時刻t之前沒有索賠發(fā)生，在區(qū)間(t,t+dt)上有一次索賠發(fā)生，且索賠額超過u+ct，因此，由文獻(xiàn)[7]可知：

(21)

公式(19)是這個式子的一個特殊情況，類似地，我們可以得到

(22)

我們用ωn+1(u,t)dt表示在區(qū)間(t,t+dt)發(fā)生第n+1次索賠，且導(dǎo)致破產(chǎn)發(fā)生的概率。假設(shè)在時刻t之前有n次索賠發(fā)生，總索賠額為u+ct-x，因此在時刻t的盈余為x，如果在區(qū)間(t,t+dt)上有一次索賠額超過x的索賠事件發(fā)生，則會導(dǎo)致破產(chǎn)的發(fā)生，即為(22)式的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)之和；但這種情況沒有考慮在時刻t之前盈余小于0的情形。假設(shè)在時刻s(00時的破產(chǎn)概率的表達(dá)式。同理,我們也可用這種方法來分析獨(dú)立二元風(fēng)險模型下的情形，得到u>0時獨(dú)立二元風(fēng)險模型第n次索賠時的破產(chǎn)概率的表達(dá)式。

4 結(jié)語

本文研究獨(dú)立二元風(fēng)險模型和一類索賠相依二元風(fēng)險模型，通過構(gòu)造一個特殊的Gerber-Shiu函數(shù)，推導(dǎo)出了兩類二元風(fēng)險模型下Gerber-Shiu函數(shù)滿足的更新方程，由這個更新方程推導(dǎo)出破產(chǎn)時刻和直到破產(chǎn)時刻的索賠次數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)，最終得到兩類風(fēng)險模型下第n次索賠時的破產(chǎn)概率的表達(dá)式。

[1] 趙曉芹.一類索賠到達(dá)計數(shù)過程相依的二元風(fēng)險模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2006,36(2):42-45.

[2] 張冕.一類索賠相依二元風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率問題研究[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2008,25(2):132-135.

[3] Gerber H U, Shiu E S W. On the time value of ruin[J].North American Actuarial Journal, 1998,2(1):48-78.

[4] Landriault D, Shi T, Willmot G E. Joint density involving the time to ruin in the Sparre Andersen risk model under exponential assumptions[J].Insurance:Mathe-matics and Economics, 2011,49:371-379.

[5] Dickson D C M. The joint distribution of the time to ruin and the number of claims until ruin in the classical risk model[J].Insurance: Mathematics and Economics,2012,50:334-337.

[6] Hélène Cossette, Etienne Marceau. On the compound Poisson risk model with dep -endence based on a generalized Farlie-Gumbel-Morgenstern copula[J].Insurance:Mathematics and Economics, 2008,43:444-455.

[7] Dickson D C M. Some finite time ruin problems[J].Annals of Actuarial Science,2007,2:217-232.

(責(zé)任編輯：張英健)

The Probability of Ruin at the nthClaim with Correlative Claim in Dual Risk Modle

TIAN Fei，WANG Chuanyu，ZHANG Dawei

(College of Math & Phy, Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui 241000, China)

For the dual risk model for correlative claim, we derive the renewal equation of the Gerber-Shiu function by constructing a peculiar Gerber-Shiu function, obtain the joint probability density function of the time to ruin and the number of claims until ruin, and find the formula of ruin probability when riun occurs at the time of the nthclaim.

dual risk modle; the number of claims; Laplace transform; ruin probability

2014-01-10

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61203139);安徽省重點(diǎn)教研項(xiàng)目(2012jyxm277)

田飛(1988-)，男，湖南懷化人,碩士生，主要研究方向?yàn)榫銛?shù)學(xué)。

O211.9

A

1671-5322(2014)02-0011-05