柴曉東，袁 曉

(1.黃河科技學(xué)院 國(guó)際學(xué)院，河南 鄭州 450063; 2.四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，四川 成都 610065)

抽取頻域關(guān)系的正確推導(dǎo)

柴曉東1，袁 曉2

(1.黃河科技學(xué)院 國(guó)際學(xué)院，河南 鄭州 450063; 2.四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，四川 成都 610065)

主要介紹序列信號(hào)抽取頻域關(guān)系的正確推導(dǎo)。首先從學(xué)生課堂自行推導(dǎo)抽取頻域關(guān)系時(shí)易犯的普遍錯(cuò)誤出發(fā)，找出其錯(cuò)誤的原因,然后從模擬域和數(shù)字域兩個(gè)方面分別來(lái)推導(dǎo)它們的正確關(guān)系。在模擬域里，對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣，從抽樣的角度來(lái)分析;而在數(shù)字域里，則是直接對(duì)序列信號(hào)進(jìn)行分析。模擬域和數(shù)字域的兩種推導(dǎo)方法，采用相對(duì)較為簡(jiǎn)單的采樣定理法和卷積法。最后對(duì)兩種推導(dǎo)方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并驗(yàn)證其正確性。

抽取;采樣;抽取因子;卷積

抽取與內(nèi)插是現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理理論中兩個(gè)重要的基本概念。序列信號(hào)抽取的頻域關(guān)系，在多抽樣率[1]信號(hào)處理技術(shù)、控制理論、電路與系統(tǒng)理論、濾波器組理論、子波分析及通信工程等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。在很多相關(guān)的本科、研究生教材中都給出了序列信號(hào)抽取的頻域關(guān)系式，但對(duì)其推導(dǎo)過(guò)程的介紹卻不是很詳細(xì)，讀者不易理解。在長(zhǎng)期的課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不僅僅是本科生，包括研究生在不知道正確的抽取頻域關(guān)系情況下，自行推導(dǎo)其關(guān)系時(shí)，都會(huì)采用一種相似的方法，得到錯(cuò)誤的結(jié)果。如果不進(jìn)行深入分析，很難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因。文章從學(xué)生課堂自行推導(dǎo)抽取頻域關(guān)系時(shí)采用的普遍方法入手，從模擬域和數(shù)字域兩個(gè)方面分別來(lái)推導(dǎo)其正確關(guān)系，從而使讀者更深刻的理解抽取的本質(zhì)。

1 學(xué)生課堂自行推導(dǎo)的錯(cuò)誤及原因

1.1 學(xué)生課堂的變量代換法推導(dǎo)方法

在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在不知道抽取頻域關(guān)系的情況下，課堂自行推導(dǎo)其關(guān)系時(shí)，普遍采用變量代換法。

序列信號(hào)x[n]經(jīng)M倍抽取后，得到新序列信號(hào)y[n]，即

(1)

其中M稱(chēng)為抽取因子。式(1)是抽取的時(shí)域表達(dá)式，其頻域表達(dá)式又如何呢？

根據(jù)離散傅里葉變換(DFT)的定義，可以得到

(2)

作變量代換

(3)

得

(4)

這是課堂上幾乎所有學(xué)生的推導(dǎo)結(jié)果。該結(jié)果正確嗎？

1.2 變量代換法推導(dǎo)結(jié)果正確性的檢驗(yàn)

要檢驗(yàn)學(xué)生變量代換法推導(dǎo)結(jié)果的正確性，可以從理論和實(shí)踐兩個(gè)方面來(lái)檢驗(yàn)。

從理論上來(lái)考察。對(duì)于有限長(zhǎng)度的序列x[n]進(jìn)行M倍抽取得到的y[n]，時(shí)域長(zhǎng)度被壓縮M倍，其頻譜應(yīng)當(dāng)被擴(kuò)展M倍，從這一點(diǎn)看來(lái)，上式的正確性似乎是無(wú)可厚非的。但是，任何序列信號(hào)的頻譜函數(shù)都是2π―周期的連續(xù)函數(shù)。而X(ω/M)卻是以2πM為周期的函數(shù)，顯然與Y(ω)是2π―周期的函數(shù)相矛盾，由此可以肯定式(4)是不正確的。

從實(shí)踐方面來(lái)考察。給定一有限長(zhǎng)度的序列信號(hào)x[n]及其對(duì)應(yīng)的|X(ω)|(實(shí)線表示)與|X(ω/2)|(虛線表示)，如圖1所示。y[n]=x[2n]及其對(duì)應(yīng)的|Y(ω)|的示意圖如圖2所示。

圖1 x[n]及其對(duì)應(yīng)的|X(ω)|與|X(ω/2)|示意圖Fig.1 x[n] and corresponding |X(ω)| and |X(ω/2)|

圖2 x[2n]及其對(duì)應(yīng)的|Y(ω)|示意圖Fig.2 x[2n] and corresponding |Y(ω)|

由圖1和圖2所示，很顯然，|X(ω/2)|與|Y(ω)|的圖形不一樣。這也說(shuō)明式(4)是錯(cuò)誤的。

1.3 錯(cuò)誤原因的分析

變量代換法究竟錯(cuò)在哪里呢？現(xiàn)在對(duì)式(4)進(jìn)行變換，找一找錯(cuò)誤的原因。

(5)

由上式可以看出，錯(cuò)誤的原因出在變量代換過(guò)程中。從式(5)中，可以很直接的看出，求和指標(biāo)m是分兩部分的，即m為M的整數(shù)倍和m不為M的整數(shù)倍，這兩部分結(jié)合在一起構(gòu)成了求和指標(biāo)m是取遍所有整數(shù)。在求Y(ω)時(shí)，由變量代換式(3)可知，由于n為整數(shù)，所以要求m只取M的整數(shù)倍。這就要求式(5)中，m不為M的整數(shù)倍時(shí)x[m]的取值全為0，但由于x[m]在m不為M的整數(shù)倍時(shí)，其取值不全為0，從而使式(5)中的后一項(xiàng)為多余項(xiàng)。學(xué)生在課堂推導(dǎo)時(shí)，恰恰忽視了這一點(diǎn)，從而得出了錯(cuò)誤的關(guān)系式(4)。

2 兩種正確的推導(dǎo)方法

抽取頻域關(guān)系的推導(dǎo)方法，在很多教材中都不盡相同。例如，宗孔德著的《多抽樣率信號(hào)處理》中采用的是數(shù)字域推導(dǎo)方法[2]，胡廣書(shū)著的《現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理教程》中采用的是Z域推導(dǎo)方法[3],而奧本海姆等著《離散時(shí)間信號(hào)處理》中則采用的是模擬域推導(dǎo)方法[4]，其共同不足之處是過(guò)程不詳細(xì)，方法較為復(fù)雜，不易理解。下面介紹兩種比較簡(jiǎn)單，且容易理解的方法。

2.1 采樣定理法——模擬域推導(dǎo)方法

(6)

式中Ts是采樣周期，根據(jù)序列信號(hào)傅里葉變換與連續(xù)信號(hào)傅里葉變換的關(guān)系[7]可以得到

(7)

同理，抽取后得到的序列信號(hào)y[n]完全可以由模擬信號(hào)xa(t)以采樣周期MTs進(jìn)行采樣而得到，即

y[n]=x[Mn]=xa(nMTs) n∈Z

(8)

因此，只要找出式(7)與式(8)之間的關(guān)系，就可以得到Y(jié)(ω)與X(ω)的關(guān)系。

利用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以把式(8)中的求和指標(biāo)r寫(xiě)成如下的形式

(9)

很顯然，這樣得到的r仍然是一個(gè)整數(shù)并且取遍所有整數(shù)，從而有

將上式結(jié)果與式(7)相對(duì)照，可以得到Y(jié)(ω)與X(ω)之間的關(guān)系

(10)

這就是序列信號(hào)抽取的頻域關(guān)系式。

現(xiàn)在來(lái)檢驗(yàn)一下式(10)是否是2π―周期的函數(shù)。

而

顯然，Y(ω)= Y(ω+2π)，所以Y(ω)仍然是2π―周期的函數(shù)。

2.2 卷積法——數(shù)字域推導(dǎo)方法

抽取實(shí)質(zhì)上是一個(gè)再采樣(resampling)過(guò)程，不是在模擬域中的采樣，而是在數(shù)字域中的采樣。抽取的等效模型如圖3所示。圖中的函數(shù)pTs(t)、pM[n]都稱(chēng)為理想的采樣函數(shù)。

圖3 抽取的等效模型Fig.3 Decimation equivalent model

由于pM[n]=∑δ[n-lM],l∈Z，因此，對(duì)原始序列x[n]的直接抽取y[n]=x[Mn]，與對(duì)數(shù)字采樣得到的中間過(guò)渡序列xs[n]的抽取所得到的結(jié)果是完全一樣的，即y[n]=xs[Mn]，其中

xs[n]=x[n]·pM[n]。

為了求出序列信號(hào)抽取正確的頻域關(guān)系，需要求出pM[n]的頻譜函數(shù)。根據(jù)離散傅里葉級(jí)數(shù)正、反變換公式[4]可得

(11)

其頻譜函數(shù)為

(12)

由頻域卷積定理[8]可得

(13)

由于y[n]=x[Mn]是經(jīng)過(guò)xs[n]時(shí)域壓縮M倍得到的。根據(jù)學(xué)過(guò)的數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)知識(shí)可知，在頻域內(nèi)，Y(ω)應(yīng)該是Xs(ω)經(jīng)過(guò)頻域擴(kuò)展M倍得到[9]。

3 結(jié)語(yǔ)

從時(shí)域關(guān)系看，對(duì)序列信號(hào)進(jìn)行抽取，其實(shí)質(zhì)是降低信號(hào)的抽樣率，減少原始數(shù)據(jù)，將原始信號(hào)進(jìn)行壓縮,從頻域關(guān)系來(lái)看，抽取后信號(hào)頻譜是抽取前信號(hào)頻譜的延拓，其差別只在頻率尺度上不同。教學(xué)實(shí)踐證明，在眾多的推導(dǎo)方法中，上述兩種推導(dǎo)方法學(xué)生理解起來(lái)更容易，更能普遍為學(xué)生所接受和掌握。隨著教學(xué)模式的多樣化，此部分內(nèi)容若用動(dòng)畫(huà)來(lái)課堂演示，對(duì)課堂教學(xué)及學(xué)生學(xué)習(xí)，將是一種更有益的幫助。

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(責(zé)任編輯：張英健)

On the Formula of the Decimation in the Frequency-Domain

CHAI Xiaodong1, YUAN Xiao2

1.Intetnational School, Huanghe S&T College, Zhengzhou Henan 450063, China;2.College of Electronic and Information, Sichuan University, Chengdu Sichuan 610065, China

This paper mainly introduces the reasonable derivation of the relationship of decimation in the frequency-domain. Firstly, we begin with the faults which the students made in the classrooms by themselves when deriving the relationship. Secondly, we derive their correct relationships from the analog and the digital domain respectively. In the analog domain, we first sample the analog signal and then analyze it from the angle of the sample. While in the digital domain, we analyze the sequence signal directly. For the two deduced methods in analog and digital domain, in the paper we use relatively simple methods based on sampling and convolution. Finally, we compare the results of these two methods, and verify its accuracy.

decimation; sampling; decimation factor; convolution

2013-10-29

柴曉東(1980-)，男，河南郟縣人，助教，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)教學(xué)。

TN911.72

A

1671-5322(2014)02-0038-04