萬建杰,鄢建軍

(西北師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

線偏振光通過透明平板介質(zhì)的強(qiáng)度分析

萬建杰,鄢建軍

(西北師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

光通過透明平板介質(zhì)時(shí)會(huì)在其上下表面發(fā)生反射和折射現(xiàn)象。光的本質(zhì)是電磁波，由于電磁波是橫波，所以光具有偏振的特性,研究偏振光傳播過程中振幅和強(qiáng)度的變化對(duì)分析偏振態(tài)的改變具有重要意義。以最簡(jiǎn)單的偏振光——線偏振光為例，利用菲涅耳公式對(duì)線偏振光入射透明平板介質(zhì)后振幅和強(qiáng)度的變化進(jìn)行了討論。

透明平板介質(zhì);線偏振光;菲涅耳公式

光入射到平板介質(zhì)時(shí)，在上表面會(huì)發(fā)生反射和折射，進(jìn)入透明平板介質(zhì)的光同樣會(huì)在下表面發(fā)生反射和折射，如圖1所示。設(shè)平板介質(zhì)外的折射率為n1，平板介質(zhì)的折射率為n2，其中n1

圖1 光入射到透明平板介質(zhì)的基本過程Fig.1 The basic processes from incident light on transparent plate

為簡(jiǎn)單起見，我們只討論線偏振光入射的情形，同時(shí)不考慮光在介質(zhì)表面和內(nèi)部的吸收和色散現(xiàn)象。要研究反射光和折射光的振幅和強(qiáng)度，可以使用菲涅耳公式[1-2]：

(1)

(2)

(3)

(4)

1 偏振面與入射面垂直的線偏振光

設(shè)入射線偏振光的振幅為As1，入射光在介質(zhì)上表面發(fā)生反射，該反射光的振幅滿足

(5)

對(duì)于平板介質(zhì)上表面而言，當(dāng)i1→0時(shí)，

對(duì)于上表面的折射光而言，其振幅滿足

(6)

同樣可知，當(dāng)i1→0時(shí)，

另一方面，對(duì)進(jìn)入平板介質(zhì)內(nèi)的光而言，在介質(zhì)下表面會(huì)再次發(fā)生反射和折射。由于平板上下表面相互平行，所以此后各次反射的入射角就等于光通過介質(zhì)上表面時(shí)的折射角i2。根據(jù)公式(1)和(6)，下表面的第一次反射光振幅應(yīng)滿足

(7)

根據(jù)上式可知，當(dāng)i1→0時(shí)，

對(duì)下表面的折射光而言，由于它是上表面折射光傳播到下表面而再次發(fā)生的折射現(xiàn)象，由公式(3)和(6)可得下表面折射光振幅

(8)

根據(jù)上式可知，當(dāng)i1→0時(shí)，

為了更加直觀和系統(tǒng)地理解光在經(jīng)過介質(zhì)后的振幅變化情況，這里進(jìn)一步假設(shè)n1=1，n2=1.5，并在圖2中給出了偏振面與入射面垂直的線偏振光經(jīng)過介質(zhì)時(shí)產(chǎn)生的一系列光線的強(qiáng)度隨入射角的變化曲線。

圖2 強(qiáng)度比和2隨入射角的變化曲線Fig.and 2along with the incident angle

從上式可以看出，偏振面與入射面垂直的線偏振光以布儒斯特角入射到透明介質(zhì)時(shí)，上表面反射光的強(qiáng)度大約是入射光強(qiáng)度的14.8%，下表面透射光的強(qiáng)度約為入射光強(qiáng)度的72.6%。圖3給出了偏振面與入射面垂直的線偏振光以布儒斯特角入射到透明介質(zhì)時(shí)的圖示。

圖3 偏振面與入射面垂直的線偏振光以布儒斯特角入射的情形Fig.3 The case for the incidence of linear polarized light with polarization plane perpendicular to the incident plane at Brewster’s angle

2 偏振面與入射面重合的線偏振光

設(shè)入射線偏振光的振幅為Ap1，入射角為i1，由菲涅耳公式(2)可得

(9)

對(duì)于平板介質(zhì)上表面而言，當(dāng)i1→0時(shí)，

對(duì)于上表面的折射光而言，根據(jù)菲涅耳公式(4)可得

(10)

同樣可知，當(dāng)i1→0時(shí)，

另一方面，對(duì)進(jìn)入平板介質(zhì)內(nèi)的光而言，在介質(zhì)下表面仍會(huì)發(fā)生反射和折射。由于平板上下表面相互平行，所以此后各次反射的入射角就等于光通過介質(zhì)上表面時(shí)的折射角i2。根據(jù)公式(2)和(10)，下表面的第一次反射光振幅應(yīng)滿足

(11)

對(duì)下表面的折射光而言，由于它是上表面折射光傳播到下表面而再次發(fā)生的折射現(xiàn)象，由公式(4)和(10)可得

(12)

根據(jù)上式可知，當(dāng)i→0時(shí)，

通過上述分析表明，偏振面與入射面重合的線偏振光以布儒斯特角通過透明平板介質(zhì)后出射的仍然是偏振面與入射面重合的線偏振光，且振幅與最初入射光相同，僅傳播方向產(chǎn)生一個(gè)橫向平移。

圖4給出了偏振面與入射面重合的線偏振光經(jīng)過介質(zhì)時(shí)產(chǎn)生的一系列光線的強(qiáng)度隨入射角的變化曲線,其中假設(shè)n1=1，n2=1.5，入射光強(qiáng)度為1。從圖4可知，對(duì)于偏振面與入射面重合的線偏振光的入射而言，上表面反射光的強(qiáng)度隨入射角的增大先緩慢減小后急劇增大;上表面折射光的強(qiáng)度隨入射角增大而單調(diào)減小，和偏振面與入射面垂直的線偏振光一樣均在正入射時(shí)取最大值0.64。下表面反射光的強(qiáng)度既存在最小值又存在最大值，取最大值0.028時(shí)入射角約為80.2°;下表面的透射光強(qiáng)度先緩慢增大后急劇減小，并且透射光強(qiáng)取最大值1時(shí)，上表面反射光和下表面反射光的強(qiáng)度均為最小值0，對(duì)應(yīng)的入射角即布儒斯特角56.3°。另外，對(duì)于給定的入射角，進(jìn)入介質(zhì)上表面的折射光的強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其它光的強(qiáng)度。

圖4 強(qiáng)度比和2隨入射角的變化曲線Fig.2and 2 along with the incident angle

圖5 偏振面與入射面重合的線偏振光以布儒斯特角入射的情形Fig.5 The case for the incidence of linear polarized light with polarization plane parallel to the incident plane at Brewster’s angle

3 線偏振光入射到透明平板介質(zhì)的總效果

根據(jù)不完全歸納法可得

(13)

(14)

(15)

(16)

圖6 入射光通過透明平板介質(zhì)的傳播過程Fig.6 The complete processes from incident light on transparent plate

其中，下標(biāo)1表示在介質(zhì)上表面透出的折射光，下標(biāo)2表示介質(zhì)內(nèi)的反射光，下標(biāo)3表示在介質(zhì)下表面透出的折射光。[反]、[折]表示反射和折射關(guān)系，規(guī)定n=0與無上標(biāo)的符號(hào)等價(jià)。

具體地說，對(duì)于偏振面與入射面重合的線偏振光而言，從上表面透出的折射光的振幅滿足

(17)

從介質(zhì)下表面透出的折射光的振幅滿足

(18)

對(duì)偏振面垂直于入射面的線偏振光而言，從上表面透出的折射光的振幅滿足

(19)

從下表面透出的折射光的振幅滿足

(20)

根據(jù)(17)、(18)和(19)、(20)式，圖7給出偏振面與入射面垂直和偏振面與入射面重合的線偏振光在經(jīng)過介質(zhì)時(shí)的各光強(qiáng)度隨入射角的依賴關(guān)系。

從圖7可以看出，對(duì)應(yīng)不同偏振狀態(tài)的各曲線都具有相同的變化趨勢(shì)。一方面，當(dāng)偏振面與入射面垂直的線偏振光入射時(shí)，上表面和下表面出射光的強(qiáng)度在特定的入射角度下都存在最大值，而當(dāng)偏振面與入射面重合的線偏振光入射時(shí)，隨著入射角的增大，上表面和下表面出射光的強(qiáng)度先出現(xiàn)最小值后出現(xiàn)最大值，其中最小值出現(xiàn)的入射角均相同即布儒斯特角；另一方面，各強(qiáng)度比曲線隨著n值的增加都呈急劇下降的趨勢(shì)，各曲線的最大值位置隨n值的增大均向入射角增大的方向移動(dòng)。

4 結(jié)論

本文使用菲涅耳公式詳細(xì)分析了線偏振光通過透明平板介質(zhì)的強(qiáng)度隨入射角的變化情況，特別是對(duì)正入射、掠入射和以布儒斯特角入射的3種特殊情況分別做了討論，并將以布儒斯特角入射時(shí)的反射光和折射光用偏振光圖示法定性地表示在光路圖中。文中得到的線偏振光的振幅和強(qiáng)度的結(jié)論不僅可以用于系統(tǒng)分析其它類型偏振光通過透明平板介質(zhì)時(shí)反射光和折射光偏振態(tài)的改變，還有助于進(jìn)一步討論偏振光的干涉現(xiàn)象。此外，本文使用菲涅耳公式對(duì)線偏振光入射透明平板介質(zhì)后振幅和強(qiáng)度的分析還可以為一些實(shí)際應(yīng)用，如電磁波進(jìn)入平板材料所發(fā)生的反射和折射，提供一種簡(jiǎn)單易行的分析思路。

圖7 各光線強(qiáng)度比隨入射角的變化曲線Fig.7 The ratio of intensity of all the linear polarized light along with the incident angle

[1] 姚啟鈞.光學(xué)教程[M].4版.北京:高等教育出版社,2008:30-31,216-222.

[2] 趙凱華,鐘錫華.光學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1984:245-251,257-261.

(責(zé)任編輯：張英健)

Analysis on the Strength of Linear Polarized Light through Transparent Plate Medium

WAN Jianjie,YAN Jianjun

(College of Physics and Electronic Engineering, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

Reflection and refraction phenomenon take place at the top and bottom surfaces of the transparent plate when light crosses through it. Light is the electromagnetic wave essentially, which is transverse wave, so the light has polarization characteristic. The discussions on the changes of amplitude and strength in the propagation of polarized light play an important role in the analysis of the change of polarization state. In this paper, as the simplest example, the changes of amplitude and strength of the linearly polarized light are discussed in detail by using the Fresnel formula.

transparent plate; linearly polarized light; Fresnel formula

2013-11-01

國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(11204243);西北師范大學(xué)青年教師科研能力提升計(jì)劃(NWNU-LKQN-10-7);西北師范大學(xué)“本科生學(xué)術(shù)能力提升計(jì)劃”資助課題

萬建杰(1982-)，男，甘肅天水人，副教授，博士，主要研究方向?yàn)樵优c分子物理。

O435.1

A

1671-5322(2014)02-0001-06