王 國 棟

(重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，重慶 402160)

通常完全理性博弈是基于兩個假設(shè)：1)每個零售商在決策時，都具有完備的信息；2)每個零售商都是基于完全理性進行決策的.在現(xiàn)實中零售商之間的博弈是不斷進行的，不可能立即達到Nash均衡狀態(tài)，同時每個零售商掌握的信息都是不充分的，而且零售商決策都是由人做出的，而人由于感知認識能力和語言上的限制，所做出的決策也不可能是完全理性的，只能是有限理性[1-4].H.N.Agiza[5-7]等研究了非線性[8]成本函數(shù)下的有限理性多寡頭博弈模型，并分析了模型的動力學(xué)特征.Tomasz Dubiel-Teleszynski[9]研究了規(guī)模不經(jīng)濟情況下的雙寡頭競爭.Z.Sheng[10]等研究了自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)以及一類產(chǎn)出模型的控制.雖然很多學(xué)者對具有有限理性博弈模型的分析較多，但是幾乎所有的研究都認為投資者理性水平是一貫不變的，即投資者的理性水平并不會隨著市場競爭過程的持續(xù)而動態(tài)變化，表現(xiàn)為投資者固守原來的投資策略，對于在市場競爭過程中獲得新的信息沒有吸收與利用，對自己的投資策略不能實現(xiàn)改進與優(yōu)化，而有效應(yīng)對市場的變化，吸收與利用已經(jīng)了解到的信息等學(xué)習(xí)行為在現(xiàn)實中是客觀存在的，特別是投資者為了生存、競爭與發(fā)展的需要，都存在刻意的積極的學(xué)習(xí)行為.因此考慮到學(xué)習(xí)效應(yīng)的客觀存在，隨著市場競爭過程的發(fā)展，投資者所擁有的信息量也在不斷增加，從而使得投資者的理性水平在市場競爭的動態(tài)過程中不斷提升，這有助于投資者改進和優(yōu)化原來的投資模式，實施更優(yōu)的投資策略，以獲取更大的市場競爭優(yōu)勢，實現(xiàn)利益最大化.目前研究投資者理性水平動態(tài)演化的文獻尚不多，文獻[11]從企業(yè)信息量和信息處理能力兩個方面研究了企業(yè)理性水平隨時間延續(xù)而不斷提升的動態(tài)特征，但文章只是從概念與機理等方面開展了定性的研究；胡榮[12，13]在學(xué)習(xí)效應(yīng)、有限理性與動態(tài)古諾競爭復(fù)雜性中研究了具有學(xué)習(xí)效應(yīng)與自適應(yīng)調(diào)整的動態(tài)模型的特點，并對模型的穩(wěn)定性進行了研究，但文中逆需求函數(shù)與成本函數(shù)均為線性函數(shù)，此處就是在文獻[12]的基礎(chǔ)上將具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的有限理性古諾模型引入零售業(yè)市場，并考慮到市場的復(fù)雜性，成本函數(shù)為非線性更符合現(xiàn)實.

此處主要研究以下幾個方面的內(nèi)容，首先將具有學(xué)習(xí)效應(yīng)與自適應(yīng)調(diào)整的古諾模型引入零售業(yè)市場，考慮到市場的復(fù)雜性，假設(shè)成本函數(shù)為非線性，利用非線性理論對模型的穩(wěn)定點進行了分析，最后對各參數(shù)的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響做了初步的探討.

1 模型的建立

假設(shè)零售業(yè)市場由兩個區(qū)域市場組成，分別記零售商A與零售商B銷售同質(zhì)產(chǎn)品，每個投資方的戰(zhàn)略空間是選擇投資的商品量，利潤是支付，在t時期市場的總供應(yīng)量為Q(t)=q1(t)+q2(t)，市場的逆需求函數(shù)為p=p(Q)=a-bQ，零售商的成本函數(shù)為C(q)=c+dq2，其中c表示零售商固定成本，d表示零售商的單位變動成本，其中a，b為正數(shù)，則第i家企業(yè)在第t期的稅前利潤模型為

(1)

第i家投資商在一個期間的邊際利潤為

(2)

由式(2)可以進一步求得零售商A在面對零售商B投資量決策的最優(yōu)反應(yīng)策略為(以下全文下標(biāo)1表示零售商A，2表示零售商B)

(3)

式(3)表示零售商A具有完全理性時的最優(yōu)反應(yīng)決策，即零售商A掌握市場需求函數(shù)的完全信息，并了解競爭對手零售商B的投資量決策規(guī)律，能通過零售商B在t時期的投資量，準(zhǔn)確預(yù)測到其在時期t+1的投資量，進一步做出自己t+1時期的最優(yōu)反應(yīng)決策.

由于現(xiàn)實中每個投資商并不具有完全的市場信息，也不可能完全預(yù)測未來的市場變化情況，因而他們的決策往往基于部分信息而做出，假設(shè)零售商A是基于上一期的邊際利潤做出有限理性調(diào)整，如果零售商A認為t期邊際利潤為正，則他將會在第t+1期增加投資量，反之如果邊際利潤為負，他就會減少投資量，于是可得到零售商A在第t+1期的投資模型為

(4)

其中α表示零售商A投資調(diào)整率.零售商B是采用學(xué)習(xí)效應(yīng)的自適應(yīng)調(diào)整機制，即零售商B具有學(xué)習(xí)效應(yīng)，通過持續(xù)的市場競爭，零售商B的理性水平不斷提高，投資模型為

(5)

其中θ2∈[0，1]，表示投資商B自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)，其中γ∈[0，1]表示學(xué)習(xí)效應(yīng)指數(shù)，γ越小表示學(xué)習(xí)能力越強，特別地當(dāng)γ=1時，表示投資商不具有學(xué)習(xí)效應(yīng).由式(4)(5)可以得到零售商A，B在t+1的投資模型為

(6)

2 模型的分析

顯然E0，E1為有界均衡，E2為Nash均衡點.下面來研究這些均衡點的穩(wěn)定性.首先求出式(6)的Jacobin矩陣，即

(7)

定理1 有界均衡E0，E1為不穩(wěn)定均衡點.

證明在E0處的Jacobin矩陣為

可以求得J(E0)的兩個特征值為λ1=1，λ2=θ2γ，因為|λ1|=1，|λ2|<1，所以E0為不穩(wěn)定的鞍點.同理可以證明E1為不穩(wěn)定的鞍點.E0對應(yīng)的點為零售商A的投資量為零，此時零售商B占領(lǐng)市場，出現(xiàn)這種情況可能是由于零售商A的進貨成本比較高，此時零售商A進一步提高企業(yè)對資源的吸附能力，而面對零售業(yè)市場的不成熟，會產(chǎn)生零售商對市場資源利用機會的不平等，也會導(dǎo)致零售商競爭力的下降，為了追求利潤，另一家零售商必然會加入市場，從而開始了兩家零售商的博弈.

定理2E2為Nash均衡穩(wěn)定點.

證明在E2處的Jacobin矩陣為

(8)

它的特征方程為ρ(λ)=λ2-trJλ+detJ=0，其中trJ表示Jacobin矩陣的跡，detJ表示Jacobin矩陣的行列式.

(9)

(10)

(11)

說明矩陣J(E2)在Nash均衡點E2處有實特征值，如果J(E2)在均衡點E2的特征值都位于復(fù)平面的單位圓內(nèi)，即|λi|<1，則Nash均衡點E2是局部穩(wěn)定的，根據(jù)Jury條件，Nash均衡點E2是局部穩(wěn)定的充要條件為1) 1-TrJ+DetJ>0;2) 1+TrJ+DetJ>0;3)|DetJ|<1.

對于條件1)是滿足的，條件2)與條件3)決定了參數(shù)(α，θ2)平面上一個穩(wěn)定區(qū)域，其邊界曲線由直線α=0，θ2=0以及曲線

(12)

組成，E2在式(12)描述的區(qū)域內(nèi)是穩(wěn)定的結(jié)點，一旦α，θ2的取值超出這個區(qū)域，E2將變得不穩(wěn)定.在式(12)的邊界發(fā)生倍周期分叉失去穩(wěn)定性. 值得注意的是雙方是基于有限理性的，不可能立即達到Nash均衡狀態(tài)，而需要雙方的反復(fù)博弈，最終才能趨于平衡，一旦有一方，或者雙方的投資調(diào)整率過快，或者學(xué)習(xí)效應(yīng)極強，超過(α，θ2)的范圍，都會導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定.

3 數(shù)值模擬分析

為了更好地了解動力系統(tǒng)(6)的動態(tài)行為，及更清晰地描繪投資者具有學(xué)習(xí)效應(yīng)對系統(tǒng)動態(tài)行為的影響，取參數(shù)對系統(tǒng)(6)進行模擬分析，取參數(shù)a=15，b=1，c1=c2=0，d1=2，d2=2.2，θ2=0.1，初始值為q1(0)=1，q2(0)=2.

圖1 系統(tǒng)(6)Nash均衡點的穩(wěn)定區(qū)域

圖2 學(xué)習(xí)效應(yīng)對競爭到達均衡點的時間影響

圖1表示零售商B學(xué)習(xí)效應(yīng)指數(shù)為γ=1，γ=0.9時，Nash均衡點E2的穩(wěn)定區(qū)域，從圖上可以看出，具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域明顯要比沒有學(xué)習(xí)效應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域要大，表明了學(xué)習(xí)效應(yīng)的增強能有效增大系統(tǒng)Nash均衡點的穩(wěn)定區(qū)域.當(dāng)取參數(shù)α=0.15，其他參數(shù)不變的情況下，得到圖2，表明了當(dāng)系統(tǒng)(6)處于均衡狀態(tài)時，學(xué)習(xí)效應(yīng)對競爭到達均衡的時間的影響.從圖2可以看出隨著學(xué)習(xí)效應(yīng)指數(shù)γ的減小，即學(xué)習(xí)效應(yīng)的增強，到達均衡的時間不斷縮短，特別是γ取值較大時，γ對均衡時間的影響更加明顯.這說明學(xué)習(xí)效應(yīng)的增強有利于加快系統(tǒng)到達均衡的速度，縮短系統(tǒng)到達均衡的時間.

4 小 結(jié)

為了模擬零售業(yè)市場中投資者不同的博弈行為，將具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的有限理性古諾模型引入零售業(yè)市場，考慮到零售業(yè)市場的復(fù)雜性，建立了一個非線性成本函數(shù)下的投資模型，利用非線性理論對模型的穩(wěn)定點進行分析，得出了具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域比沒有學(xué)習(xí)效應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域要大，而且投資商隨著學(xué)習(xí)能力的提高，雙方達到均衡的時間會縮短.此處只是對具有學(xué)習(xí)效應(yīng)投資模型進行了簡單的分析，而且由于計算的復(fù)雜性，沒有分析非線性成本函數(shù)下，參數(shù)對整個系統(tǒng)的影響，在以后將重點研究這部分的內(nèi)容.

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