李承耕, 劉 波

(韓山師范學院 數(shù)學與應用數(shù)學系, 廣東 潮州 521041)

錐度量空間中兩類混合單調算子的公共不動點定理

李承耕, 劉 波

(韓山師范學院 數(shù)學與應用數(shù)學系, 廣東 潮州 521041)

在錐度量空間中,由一類混合單調算子的不動點定理擴展到兩類混合單調算子的公共不動點定理．同時證明了增算子的不動點定理．

正規(guī)錐; 混合單調算子; 不動點

0 引言

混合單調算子是一類非常重要的算子,1987年由郭大鈞教授和Lakshmikantham提出．許多學者對此做了大量的研究,得到了一些較好結果[2-8],它的許多理論被應用于非線性微分方程和非線性積分方程解的存在性問題的研究．本文在Guo[1]的基礎上,討論了兩類混合單調算子的公共不動點問題,并給出了迭代序列收斂于解的誤差估計,推廣了已有文獻的一些結論．

1 預備知識

設E是一個實Banach空間,如果p是E中的非空凸閉集,且滿足一下條件:

1)x∈P,λ≥0?λx∈P;

2)x∈P,-x∈P?x=θ,θ是P中零元;

則稱P為E中的一個錐．

設半序“≤”是E中的錐P產生的,即?x,y∈E,若y-x∈P,則x≤y.如果x≤y,且x≠y,則記x

定義1[3]設P是E中一個錐,如果存在常數(shù)N>0,使得

θ≤x≤y?‖x‖≤N‖y‖,

則稱P是正規(guī)錐,滿足上式的正數(shù)N中最小者叫做P的正規(guī)常數(shù)．

顯然,正規(guī)常數(shù)N≥1．

定義2[3]設D?E,算子A:D×D→E,

1) 如果x1,x2,y1,y2∈D,x1≤x2,y1≥y2蘊含著A(x1,y1)≤A(x2,y2),則稱A是混合單調算子;如果A與第一變元無關,則稱A是減算子;

2) 如果(x*,y*)∈D×D滿足x*=A(x*,y*),y*=A(y*,x*),則稱(x*,y*)是A的耦合不動點;

2 主要結果

定理1 設E是完備的錐度量空間,且A,B:[u0,v0]×[u0,v0]→E,是兩個混合單調算子,且滿足下列條件:

1) 存在常數(shù)β∈(0,1),使得A(v,u)-A(u,v)≤2β(v-u),u0≤u≤v≤v0;

2)A(v0,u0)-B(u0,v0)≥-2α(v0-u0),當u0≤v0;

則算子方程組

在[u0,v0]中有唯一的公共解u*.而且迭代序列

n=0,1,2,…,都收斂于u*,并且有誤差估計

‖u*-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖,

其中N為p的正規(guī)常數(shù)．

證明 構造迭代序列為

(1)

其中n=0,1,2,…,由數(shù)學歸納法,當n=1時,由條件3)和A,B為混合單調算子,有

u1-u0=B(u0,v0)-α(v0-u0)-u0≥u0+α(v0-u0)-α(v0-u0)-u0=0

(2)

v0-v1=v0-[A(v0,u0)+α(v0-u0)]≥v0-v0+α(v0-u0)-α(v0-u0)=0

(3)

由迭代式(1)和條件2)

v1= [A(v0,u0)+α(v0-u0)]≥B(u0,v0)+2α(v0-u0)+α(v0-u0)=

B(u0,v0)+α(v0-u0)=u1,

即,u0≤u1≤v1≤v0成立.

假設n=k時,有

uk-1≤uk≤vk≤vk-1，

當n=k+1時,由A,B為單調混合算子可得

uk+1-uk= [B(uk,vk)-α(vk-uk)]-[B(uk-1,vk-1)-α(vk-1-uk-1)]≥

α(vk-1-vk)+α(uk-uk-1)≥0,

同理有

vk-vk+1= [A(vk,uk-1)+α(vk-1-uk-1)]-[A(vk,uk)+α(vk-uk)]≥

α(vk-1-vk)+α(uk-uk-1)≥0,

vk+1=A(vk,uk)+α(vk-uk)]≥B(uk,vk)-2α(vk-uk)+α(vk-uk)=

B(uk,vk)-α(vk,uk)=uk+1.

得到

uk≤uk+1≤vk+1≤vk.

綜上可得

u0≤u1≤u2≤…≤un≤…≤vn≤…≤v2≤v1≤v0.

下證{un},{vn}是Cauchy列．由條件1)有

θ≤vn-un=A(vn-1,un-1)-B(un-1,vn-1)+2α(vn-1-un-1)]≤

2β(vn-1-un-1)+2α(vn-1-un-1)=(2β+2α)(vn-1-un-1)≤

(2β+2α)2(un-2-un-2)…≤(2β+2α)n(v0-u0),

于是,對于任意的自然數(shù)m,n有,

θ≤un+m-un≤vn-un≤(2α+2β)n(v0-u0),

θ≤vn-vn+m≤vn-un≤(2α+2β)n(v0-u0).

于是,由p的正規(guī)性,有

‖vn-un‖≤N1(2α+2β)n‖v0-u0‖;

‖un+2-un‖≤N1(2α+2β)n‖v0-u0‖;

‖vn-vn+m‖≤N1(2α+2β)n‖v0-u0‖.

其中N1為p的正規(guī)常數(shù)．于是{un},{vn}為E中的Cauchy列．

由p的正規(guī)性,有

下證u*為

在[u0,v0]中唯一公共解．由vn+1≥un+1和條件2)得,

A(vn,un)+α(vn-un)≥B(un,vn)-α(vn-un),

B(un,vn)≤A(vn,un)+2α(vn-un).

由A,B的連續(xù)性,和un→u*,vn→u*(n→∞),可得

B(u*,u*)≤B(u*,u*)+2α(u*-u*),

即,B(u*,u*)≤A(u*,u*).

由A,B為混合單調算子有,

un≤un-1=un+1+α(vn-un)=B(un,vn)≤B(u*,u*),

B(u*,u*)≤A(u*,u*)≤A(vn,un)≤A(vn,un)+α(vn-un)=vn+1≤vn,

即un≤B(u*,u*)≤A(u*,u*)≤vn.于是,

θ≤B(u*,u*)-un≤vn-un,

由p的正規(guī)性,有

‖B(u*,u*)-un‖≤N2‖vn-un‖,

N2為p的正規(guī)常數(shù)．

由上式可得

即

‖B(u*,u*)-u*‖=0.

故,B(u*,u*)=u*.類似可以證明A(u*,u*)=u*.

即u*為

在[u0,v0]的公共解．

下證u*的唯一性．

設v*為式(1)的另一個公共解．由的迭代式(1)及A,B為混合單調算子,類似可以得到

un≤v*≤vn,un≤u*≤vn,

由上式可得

v*-u*≤vn-un,u*-un≤vn-un.

由p的正規(guī)性,有

‖v*-un‖≤N3‖vn-un‖,‖u*-un‖≤N3‖vn-un‖,

‖u*-v*‖≤‖u*-un‖+‖un-v*‖≤2N3‖vn-un‖→0,(n→∞),

故u*=v*.唯一性得證．由

‖un+m-vn‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖.

令m→∞,得到誤差估計為

‖u*-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖.

類似有

‖u*-vn‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖.

將增算子看成是一種特殊的混合單調算子,于是又以下結論．

定理2 設E為完備的錐度量空間,A:[u0,v0]→E,A為增算子,且滿足下列條件:

(i) 存在常數(shù)β∈(0,1),使得Av-Au≤2β(v-u),?u,v∈[u0,v0],且u0≤u≤v≤v0;

則算子A在[u0,v0]中有唯一的不動點x*.有誤差估計

‖u*-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖,

‖u*-vn‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖,

其中N為p的正規(guī)常數(shù)．

證明 構造迭代序列

(4)

類似定理1的證明,由歸納法知

u0≤u1≤…≤un≤…≤vn≤…≤v1≤v0.

由條件(i)有

θ≤vn-un=(Avn-1+α(vn-1-un-1))-(Aun-1-α(vn-1-un-1))=

(Avn-1-Aun-1)+2α(vn-1-un-1)≤2β(vn-1-un-1)+2α(vn-1-un-1)=

(2α+2β)(vn-1-un-1)≤(2α+2β)2(vn-2-un-2)≤…≤(2α+2β)n(v0-u0).

于是對于任意的自然數(shù)n,m,有

θ≤un+m-un≤vn-un≤(2α+2β)n(v0-u0),

θ≤vn-vn+m≤vn-un≤(2α+2β)n(v0-u0).

由p的正規(guī)性有

‖vn-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖

(5)

‖un+m-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖

(6)

‖vn-vn+m‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖

(7)

由p的正規(guī)性和式(5),得到

現(xiàn)證u*為A在[u0,v0]中的不動點．由A為增算子及迭代式(4),有

un≤un+1≤un+1+α(vn-un)=Aun≤Avn≤Avn+α(vn-un)=vn+1≤vn,

即un≤Aun≤Avn≤vn,得到Aun-un≤vn-un.

由p的正規(guī)性,有

‖Aun-un‖≤N2‖vn-un‖,

其中N2為P的正規(guī)常數(shù)．即得到

‖Au*-u*‖=0,

故Au*=u*,u*為A在[u0,v0]中的不動點．

設v*也是迭代序列產生的另一個不動點,則有un≤v*≤vn．又由于un≤u*≤vn及p的正規(guī)性,有

‖u*-v*‖≤N3‖vn-un‖→0,(n→∞),

其中N3為p的正規(guī)常數(shù),故u*=v*.不動點的唯一性得證．

由

‖un+m-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖,

令m→+∞,得誤差估計為

‖u*-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖.

類似有

‖u*-vn‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖.

[1] Guo D J,Lakshmikantham V. Nonlinear problems in abstract cone[M].New York:Academic Press,1988.

[2] Guo D J,Lakshmikantham V. Coupled fixed points of nonlinear operators with application[J]. Nonlinear Analysis,1987,11(5):623-637.

[3] 孫經先.非線性泛函分析及其應用[M].北京:科學出版社,2008.

[4] 郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟南:山東科技出版社,1985.

[5] 郭大鈞.非線性分析中的半序方法[M].濟南:山東科技出版社,2000:18-141.

[6] 李國禎,朱傳喜.關于混合單調算子的藕合不動點定理[J].工程數(shù)學學報,1993,10(1):9-16.

[7] 許紹元.混合單調算子不動點存在唯一性定理及其應用[J].吉首大學學報：自然科學版，2011,32(1):11-13.

[8] 盛梅波.一類減算子新的不動點定理及其應用[J].南昌大學學報：自然科學版,2005,29(1):35-37.

[9] Menger. PN-空間中兩類混合單調算子新的公共不動點定理[J].應用泛函分析學報,2011,13(1):100-107.

[責任編輯：李春紅]

The Fixed Point Theorems for Two Classes of Mixed Monotone Operators in Cone Metric Space

LI Cheng-geng, LIU Bo

(Department of Mathematics and Applied Mathematics, Hanshan Normal University, Chaozhou Guangdong 521041, China)

This paper extends the fixed point theorems for a class of mixed monotone operators to two classes of mixed monotone operators in cone metric space. Furthermore, this paper proves the fixed point theorem of increasing operator.

normal cone; mixed monotone operator; fixed point

2014-10-15

國家自然科學基金資助項目(10961003)

劉波(1977-),男,遼寧鞍山人,副教授,博士,主要從事統(tǒng)計和非線性泛函理論研究. E-mail: gxgl000@163.com

O177.91

A

1671-6876(2014)04-0293-05