楊靈君

一、問題緣起

人教版四年級(jí)下“三角形的認(rèn)識(shí)”是一節(jié)典型的起始課，經(jīng)常被選為研究課。在一次教研中，一位教師先讓學(xué)生自己畫三角形，從交流畫法中認(rèn)識(shí)三角形概念；再通過自學(xué)交流，明確三角形各部分名稱，初步知道三角形高的表述；接著重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣畫三角形的高，讓學(xué)生畫出幾個(gè)三角形指定邊上的高。然后通過動(dòng)手圍四邊形和三角形，感受三角形的穩(wěn)定性；最后通過動(dòng)態(tài)變化移動(dòng)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，感受隨著三角形的變化它的高也會(huì)隨之變化。這樣的教學(xué)流程我們都覺得很流暢，沒有問題，何況學(xué)生的課堂表現(xiàn)也非?；钴S，表面看教學(xué)效果不錯(cuò)。而課后，筆者隨機(jī)采訪了幾位學(xué)生：說說什么樣的圖形是三角形？結(jié)果沒有幾位學(xué)生能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。三角形的高與平行四邊形的高一樣嗎？它們之間有聯(lián)系嗎？你知道任何一個(gè)三角形都有三條高嗎？學(xué)生的回答模棱兩可。筆者翻看了學(xué)生練習(xí)中一道畫出鈍角三角形鈍角對邊上的高，有35%學(xué)生畫錯(cuò)（典型錯(cuò)例如圖1）。

隨后，筆者對執(zhí)教教師作了采訪：1.你課前對學(xué)生作過起點(diǎn)調(diào)查嗎？執(zhí)教教師：三角形，其實(shí)學(xué)生都知道，老師不用教也可以；2.你認(rèn)為這節(jié)課的難點(diǎn)是什么？執(zhí)教教師：當(dāng)然是畫高；3.課堂上你展示了銳角三角形的三條高，為什么不讓學(xué)生同樣找出其他三角形的三條高？或者再深入？執(zhí)教教師：這節(jié)課知識(shí)點(diǎn)太多，難度又大，能上完這些內(nèi)容算不錯(cuò)了！

確實(shí)，課堂上如何利用好學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，如何把握好學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)，如何處理和控制對知識(shí)與技能作進(jìn)一步深化的時(shí)間，一直都是困擾著許多教師的現(xiàn)實(shí)問題。對此瑞典教育家馬騰創(chuàng)立的“變易理論”能給我們帶來很好的思考。變易理論認(rèn)為：一個(gè)人對某個(gè)事物的理解，取決于他所能關(guān)注和識(shí)別到的該事物的特征。為了注意這個(gè)事物與其他事物在某個(gè)屬性上的不同，這個(gè)屬性就必須在某個(gè)維度上發(fā)生變化。在所有其他屬性都保持不變的情況下，這個(gè)差異及特征才可以被識(shí)別出來。所謂“變易”，實(shí)際上就是一種“幫助學(xué)生辨識(shí)關(guān)鍵特征”的方法。課堂上的學(xué)習(xí)是不會(huì)自然發(fā)生的，教師必須確認(rèn)事物的關(guān)鍵屬性，并幫助學(xué)生有意識(shí)地理解事物，運(yùn)用變與不變的范式促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。馬騰認(rèn)為，在教學(xué)過程中，教師要先了解學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)，找到新知識(shí)的本質(zhì)屬性或新的生長點(diǎn)，然后改變需要學(xué)生掌握的內(nèi)容屬性（在保證其他屬性不變的前提下），再讓學(xué)生通過自己的思考與審辨，最后內(nèi)化為自身的知識(shí)。這一理論研究的視角不僅關(guān)注于教師的教，更關(guān)注于學(xué)生的學(xué)，這何嘗不是一種真實(shí)、自然、以人為本的課堂教學(xué)。

因此，筆者就以“三角形的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)為例，采用變易理論指導(dǎo)下的“分離—變異—對比”的模式來構(gòu)建教學(xué)，探究其意義和價(jià)值。

二、實(shí)踐探索

（一）開展前測調(diào)查，分析學(xué)情了解起點(diǎn)

為了準(zhǔn)確找到學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，筆者對本校四年級(jí)一班45名學(xué)生做了調(diào)查。具體分析如下：

1.學(xué)生已具有三角形概念，但苦于不會(huì)表達(dá)。

從調(diào)查情況來看，所有的學(xué)生都會(huì)準(zhǔn)確畫出三角形，其中有42.2%的學(xué)生會(huì)畫出三種不同類型的三角形，44.4%的學(xué)生能畫出兩種類型的三角形，13.4%的學(xué)生只能畫出一種三角形。但是對三角形概念的描述，完全準(zhǔn)確的只有1人。42.2%的學(xué)生認(rèn)為由三條邊組成的圖形就是三角形；26.7%的學(xué)生認(rèn)為有三個(gè)角、三條邊的圖形是三角形；17.8%的學(xué)生認(rèn)為有三個(gè)角的圖形是三角形；11.1%學(xué)生答非所問?？梢?，學(xué)生對三角形的概念是理解的，不過是“只可意會(huì)，不能言傳”。因此，學(xué)會(huì)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)三角形是本課教學(xué)的關(guān)鍵。

2.理解三角形高的條件已充足，但缺少正遷移。

學(xué)生畫高能力調(diào)查情況如下：

3.對三角形穩(wěn)定性理解有遷移，但缺本質(zhì)理解。

由于學(xué)生已經(jīng)知道平行四邊形易變形的特性，對三角形的穩(wěn)定性有所感悟，但理解不深入。從調(diào)查看出，能準(zhǔn)確說出穩(wěn)定性的學(xué)生占8.9%；認(rèn)為是不容易變形的占66.7%；認(rèn)為牢固性的占22.2%；還有2.2%答非所問。可見，學(xué)生對三角形特性的理解，大多還只是停留在不易變形和牢固性上，雖然，不易變形在某種意義上也可理解為穩(wěn)定性，但從嚴(yán)格上來說學(xué)生還是缺乏對三角形穩(wěn)定性本質(zhì)上的理解。

（二）深入課堂實(shí)踐，嘗試新法探尋效度

1.運(yùn)用“分離—變異—對比”教學(xué)概念和特性。

（1）在平面圖形之間的聯(lián)系變化中分離出三角形。

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些平面圖形？這些圖形之間有沒有聯(lián)系呢？

學(xué)生思考片刻后，教師用課件展示將平行四邊形的角慢慢拉成直角變成長方形，再將長方形的長邊慢慢縮短變成正方形。學(xué)生靜觀其變，教師繼續(xù)將平行四邊形和長方形上邊的一條邊向左縮短，縮成直角梯形和一般梯形；再繼續(xù)將此邊長度縮成0時(shí)，就變成直角三角形和銳角三角形。然后又將平行四邊形和長方形上邊的一條邊向右縮短，同樣使它變成直角梯形和一般梯形，甚至變到直角三角形和鈍角三角形。最后鎖定這些三角形，揭示課題。

（2）在材料變異中辨析理解概念，認(rèn)識(shí)各部分名稱。

什么是三角形？教師出示圖8讓學(xué)生辨析、理解三角形的形狀，從而完善三角形的概念。教師順勢讓學(xué)生畫三角形，畫好后互相檢查審辨，再認(rèn)識(shí)三角形的各部分名稱。

接著教師形象地指出：三角形的頂點(diǎn)和邊可有意思了，是遙遙相望，互相對應(yīng)的呢，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？課件出示如圖9。學(xué)生靜靜觀察后，互相說說每一頂點(diǎn)的對邊（為學(xué)習(xí)“高”作鋪墊準(zhǔn)備），而后教師介紹三角形的表示方法。

（3）在操作對比中感受三角形的穩(wěn)定性特征。

教師先從生活中的應(yīng)用，抽象分離出三角形，再引發(fā)思考：為什么都用到三角形？隨后，讓學(xué)生動(dòng)手操作：一半學(xué)生用不同長短的三根小棒搭三角形，另一半學(xué)生用兩長兩短的4根小棒搭四邊形。搭好后，組內(nèi)比一比搭出來的形狀是否相同。通過操作實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)用同樣的4根小棒搭出來的形狀有很多種（如圖10），而且每一個(gè)四邊形又可變出很多不同形狀的四邊形（如圖11）。得出四邊形四條邊的長度雖確定，但形狀有無數(shù)種；三角形的三條邊長度確定，它的形狀、大小只有一種，這就是三角形穩(wěn)定性的深層含義。endprint

2. 運(yùn)用“分離—變異—對比”教學(xué)三角形的高。

（1）在新舊知識(shí)的聯(lián)系中分離出三角形的高。

教師先出示兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)長方形（如圖12），然后出示這三個(gè)圖形的高，激起學(xué)生對舊知識(shí)的回憶。接著利用課件將這些平行四邊形移動(dòng)一個(gè)頂點(diǎn)變成不同類型的三角形（如圖13）。教師提出：你們覺得三角形的高與平行四邊形的高有什么聯(lián)系？使學(xué)生在這樣的“變異、對比、審辨”中逐步明確了三角形高的定義，然后讓學(xué)生用三角板逐一驗(yàn)證圖13中每個(gè)三角形的高。

（2）在變異、交流中完善高的畫法。

學(xué)生畫出一個(gè)三角形的高，教師引導(dǎo)學(xué)生在觀察交流中學(xué)會(huì)畫高的要領(lǐng)與步驟。接著教師旋轉(zhuǎn)這個(gè)三角形，使學(xué)生在這樣的變化、審辨中認(rèn)識(shí)三角形高的本質(zhì)。引出三角形應(yīng)該有三條高。然后讓學(xué)生繼續(xù)畫出另外兩條高，再組織學(xué)生板演、反饋、交流，教師用不同顏色的筆做出區(qū)分（如圖14）。

（3）在聯(lián)系對比中凸顯畫高本質(zhì)。

教師引導(dǎo)：觀察這個(gè)三角形（圖14）的三條底和高，你發(fā)現(xiàn)了什么？畫三角形的高其實(shí)與我們以前學(xué)過的什么知識(shí)是一樣的？教師相機(jī)用課件展示，將三角形高的畫法與過點(diǎn)到線上的距離畫法進(jìn)行有效溝通。接著，教師適機(jī)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)黑板上第二個(gè)三角形（直角三角形）兩條直角邊互為底和高，并動(dòng)手畫出直角三角形斜邊上的高。最后，教師指著第三個(gè)三角形（鈍角三角形）引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)三角形有兩條高與前兩個(gè)三角形的高有什么不同？并利用課件展示出兩條高，不要求學(xué)生去畫，只作認(rèn)識(shí)。

3. 運(yùn)用“分離—變異—對比”深化高的理解。

（1）在觀察中感知三角形三條高的關(guān)系。

課件依次呈現(xiàn)有三條高的三種三角形。先觀察第一個(gè)三角形的三條高發(fā)現(xiàn)交于一點(diǎn)。再引導(dǎo)第二個(gè)三角形三條高會(huì)怎樣呢？使學(xué)生說出交在直角的項(xiàng)點(diǎn)上。那第三個(gè)三角形的三條高呢？教師再適時(shí)利用課件演示這三條高延長之后也能交于一點(diǎn)（如圖15）。

通過這樣的觀察思考，學(xué)生不僅從中感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)涵魅力，而且在觀察中也分離出了“三角形三條高都相交于一點(diǎn)”這一額外的數(shù)學(xué)知識(shí)。

（2） 在變與不變中感受三角形高的變化。

教師出示圖16：這是三角形的一條高，如果在與底平行的線上移動(dòng)頂點(diǎn)，它的高會(huì)怎么變？教師運(yùn)用課件依次不斷變化地變化頂點(diǎn)和高的位置成圖17。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：底不變，頂點(diǎn)在平行線上移動(dòng)，高位置變了，但是長度不變。教師繼續(xù)變化，同樣是原來的三角形，底不變，頂點(diǎn)在上下左右變化，高又會(huì)怎樣？學(xué)生先想象，然后課件展示圖18。讓學(xué)生感受到底不變，高的位置和長短會(huì)隨著頂點(diǎn)位置變化而變化。

師：如果從圖中取出一條垂線段，要是這條垂線段是一個(gè)三角形的高，想象一下，這個(gè)三角形可能會(huì)是怎么樣？

通過逆向思考，想象得出可能會(huì)是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。（此環(huán)節(jié)由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)三角形的分類，所以不要求學(xué)生進(jìn)行表達(dá)，只是讓學(xué)生通過課件展示意會(huì)即可。）

（3）在總結(jié)梳理中將三角形推回圖形大家族。

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？

學(xué)生的回答很豐富，除了本課需要掌握的知識(shí)點(diǎn)外，還深刻地感受到了三角形有三條高且交于一點(diǎn)；三角形的高會(huì)隨著頂點(diǎn)的變化而變化；知道三角形與其他圖形是有關(guān)系的……

師：你們說得對，三角形確實(shí)與其他圖形有著密切的關(guān)系。你看，要是知道了這個(gè)三角形的高，我就可以知道這些圖形的高了?。ㄕn件出示圖19）

三、分析結(jié)果

為了有效分析兩種不同教學(xué)的結(jié)果狀況，筆者對兩次教學(xué)進(jìn)行了后測對比研究。

（一）數(shù)據(jù)整理

1.學(xué)生對三角形概念、高和特性的理解應(yīng)用。

2.準(zhǔn)確做出三角形指定底邊上高的能力。

從表中可以看出，對銳角三角形和直角三角形指定邊上作高，兩種教學(xué)結(jié)果沒有明顯差異，但對于準(zhǔn)確作出鈍角三角形的高，變易理論指導(dǎo)下的教學(xué)效果比原教法有顯著提高。

3.準(zhǔn)確畫出不同三角形三條高的能力（三角形外高教材中并不做要求）。

從表中看出，兩次教學(xué)后，學(xué)生能準(zhǔn)確畫出不同三角形三條高的能力有顯著提高。在變易理論指導(dǎo)下的教學(xué)更具潛力和發(fā)展的可持續(xù)性。

（二）反思剖析

兩次不同的教學(xué)實(shí)踐證明：變易理論指導(dǎo)下的“分離—變異—對比”教學(xué)模式，便于教師找到新舊知識(shí)間的連接點(diǎn)，將數(shù)學(xué)本質(zhì)特征向?qū)W生的思維深處推進(jìn)，有利于學(xué)生理解接受和建構(gòu)知識(shí)。

1. 運(yùn)用分離手法，準(zhǔn)確地把握了知識(shí)的關(guān)鍵屬性。

所謂“分離”就是教育者和學(xué)習(xí)者在諸多的變化和干擾的因素中，將注意集中于事物、概念和現(xiàn)象的某一個(gè)特定維度上。對于教師來說，就是在諸多的知識(shí)屬性中找到關(guān)鍵的屬性，以便于學(xué)生更好地建構(gòu)。根據(jù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)觀點(diǎn)：“學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果能在心理上組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么才說明是理解了?！睋Q而言之，就是建立了恰當(dāng)?shù)男屡f知識(shí)間的聯(lián)系，就可以使概念的心理表現(xiàn)建立得比較準(zhǔn)確，使之與其他概念表現(xiàn)聯(lián)系更合理，也更豐富和緊密。

2.運(yùn)用對比手法，有效地促進(jìn)了學(xué)生的自主感悟。

對比指的是通過設(shè)置不同的特征值來關(guān)注某一個(gè)事物、概念或現(xiàn)象在某個(gè)維度上不同值或特征的變化。也就是把一些事物和現(xiàn)象放在一起進(jìn)行比較的思維過程。對比可以幫助學(xué)生把握易錯(cuò)、易混概念的本質(zhì)，強(qiáng)化基本概念；可以幫助學(xué)生克服消極思維定勢，排除負(fù)遷移；有利于實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，幫助學(xué)生獲得新知；通過多種方式的對比練習(xí)還有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。在新教法的教學(xué)實(shí)踐中教師就多次運(yùn)用了對比這種變易手法，讓學(xué)生在觀察、辨析中很好地得到自主感悟。

3.運(yùn)用聯(lián)系手法，完美地形成了知識(shí)的整體架構(gòu)。

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的特點(diǎn)具有發(fā)展性。比如“高的概念”要經(jīng)歷這樣一個(gè)過程：點(diǎn)到直線的距離→平行四邊形的高→梯形的高→三角形的高→長方體的高→圓柱的高→圓錐的高→……這就是概念的發(fā)展性。而小學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的過程有兩種不同的形式，分別是概念同化和概念形成，概念形成一般要經(jīng)歷感知具體對象、嘗試建立表象、抽象本質(zhì)屬性、符號(hào)表征、概念內(nèi)化這五個(gè)階段。概念同化一般要經(jīng)歷喚起認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念、進(jìn)一步抽象形成新概念、分離新概念的關(guān)鍵屬性、運(yùn)用并強(qiáng)化概念理解四個(gè)階段。分析本課的三角形和高的概念因?yàn)橐延辛似叫兴倪呅?、梯形的高的概念做基礎(chǔ)，應(yīng)該屬于概念同化。新教法的教學(xué)中教師就非常合理地運(yùn)用了聯(lián)系的手法，溝通新舊知識(shí)間整體連接，實(shí)現(xiàn)了有效同化。

4. 運(yùn)用動(dòng)態(tài)教學(xué)，靈動(dòng)地拓展了學(xué)生的知識(shí)空間。

動(dòng)態(tài)教學(xué)就是用變化的觀點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)情境，想象操作，借助媒體技術(shù)，讓靜止的圖形動(dòng)起來，在這種運(yùn)動(dòng)變化中，揭示圖形的本質(zhì)特征和圖形間的關(guān)系。它可以幫助學(xué)生更好地理解幾何概念、圖形屬性，更好地理解概念與概念間的關(guān)系，有利于學(xué)生構(gòu)建良好的圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)，拓展空間觀念。

（浙江省臨海市回浦實(shí)驗(yàn)小學(xué) 317000）endprint

2. 運(yùn)用“分離—變異—對比”教學(xué)三角形的高。

（1）在新舊知識(shí)的聯(lián)系中分離出三角形的高。

教師先出示兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)長方形（如圖12），然后出示這三個(gè)圖形的高，激起學(xué)生對舊知識(shí)的回憶。接著利用課件將這些平行四邊形移動(dòng)一個(gè)頂點(diǎn)變成不同類型的三角形（如圖13）。教師提出：你們覺得三角形的高與平行四邊形的高有什么聯(lián)系？使學(xué)生在這樣的“變異、對比、審辨”中逐步明確了三角形高的定義，然后讓學(xué)生用三角板逐一驗(yàn)證圖13中每個(gè)三角形的高。

（2）在變異、交流中完善高的畫法。

學(xué)生畫出一個(gè)三角形的高，教師引導(dǎo)學(xué)生在觀察交流中學(xué)會(huì)畫高的要領(lǐng)與步驟。接著教師旋轉(zhuǎn)這個(gè)三角形，使學(xué)生在這樣的變化、審辨中認(rèn)識(shí)三角形高的本質(zhì)。引出三角形應(yīng)該有三條高。然后讓學(xué)生繼續(xù)畫出另外兩條高，再組織學(xué)生板演、反饋、交流，教師用不同顏色的筆做出區(qū)分（如圖14）。

（3）在聯(lián)系對比中凸顯畫高本質(zhì)。

教師引導(dǎo)：觀察這個(gè)三角形（圖14）的三條底和高，你發(fā)現(xiàn)了什么？畫三角形的高其實(shí)與我們以前學(xué)過的什么知識(shí)是一樣的？教師相機(jī)用課件展示，將三角形高的畫法與過點(diǎn)到線上的距離畫法進(jìn)行有效溝通。接著，教師適機(jī)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)黑板上第二個(gè)三角形（直角三角形）兩條直角邊互為底和高，并動(dòng)手畫出直角三角形斜邊上的高。最后，教師指著第三個(gè)三角形（鈍角三角形）引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)三角形有兩條高與前兩個(gè)三角形的高有什么不同？并利用課件展示出兩條高，不要求學(xué)生去畫，只作認(rèn)識(shí)。

3. 運(yùn)用“分離—變異—對比”深化高的理解。

（1）在觀察中感知三角形三條高的關(guān)系。

課件依次呈現(xiàn)有三條高的三種三角形。先觀察第一個(gè)三角形的三條高發(fā)現(xiàn)交于一點(diǎn)。再引導(dǎo)第二個(gè)三角形三條高會(huì)怎樣呢？使學(xué)生說出交在直角的項(xiàng)點(diǎn)上。那第三個(gè)三角形的三條高呢？教師再適時(shí)利用課件演示這三條高延長之后也能交于一點(diǎn)（如圖15）。

通過這樣的觀察思考，學(xué)生不僅從中感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)涵魅力，而且在觀察中也分離出了“三角形三條高都相交于一點(diǎn)”這一額外的數(shù)學(xué)知識(shí)。

（2） 在變與不變中感受三角形高的變化。

教師出示圖16：這是三角形的一條高，如果在與底平行的線上移動(dòng)頂點(diǎn)，它的高會(huì)怎么變？教師運(yùn)用課件依次不斷變化地變化頂點(diǎn)和高的位置成圖17。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：底不變，頂點(diǎn)在平行線上移動(dòng)，高位置變了，但是長度不變。教師繼續(xù)變化，同樣是原來的三角形，底不變，頂點(diǎn)在上下左右變化，高又會(huì)怎樣？學(xué)生先想象，然后課件展示圖18。讓學(xué)生感受到底不變，高的位置和長短會(huì)隨著頂點(diǎn)位置變化而變化。

師：如果從圖中取出一條垂線段，要是這條垂線段是一個(gè)三角形的高，想象一下，這個(gè)三角形可能會(huì)是怎么樣？

通過逆向思考，想象得出可能會(huì)是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。（此環(huán)節(jié)由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)三角形的分類，所以不要求學(xué)生進(jìn)行表達(dá)，只是讓學(xué)生通過課件展示意會(huì)即可。）

（3）在總結(jié)梳理中將三角形推回圖形大家族。

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？

學(xué)生的回答很豐富，除了本課需要掌握的知識(shí)點(diǎn)外，還深刻地感受到了三角形有三條高且交于一點(diǎn)；三角形的高會(huì)隨著頂點(diǎn)的變化而變化；知道三角形與其他圖形是有關(guān)系的……

師：你們說得對，三角形確實(shí)與其他圖形有著密切的關(guān)系。你看，要是知道了這個(gè)三角形的高，我就可以知道這些圖形的高了?。ㄕn件出示圖19）

三、分析結(jié)果

為了有效分析兩種不同教學(xué)的結(jié)果狀況，筆者對兩次教學(xué)進(jìn)行了后測對比研究。

（一）數(shù)據(jù)整理

1.學(xué)生對三角形概念、高和特性的理解應(yīng)用。

2.準(zhǔn)確做出三角形指定底邊上高的能力。

從表中可以看出，對銳角三角形和直角三角形指定邊上作高，兩種教學(xué)結(jié)果沒有明顯差異，但對于準(zhǔn)確作出鈍角三角形的高，變易理論指導(dǎo)下的教學(xué)效果比原教法有顯著提高。

3.準(zhǔn)確畫出不同三角形三條高的能力（三角形外高教材中并不做要求）。

從表中看出，兩次教學(xué)后，學(xué)生能準(zhǔn)確畫出不同三角形三條高的能力有顯著提高。在變易理論指導(dǎo)下的教學(xué)更具潛力和發(fā)展的可持續(xù)性。

（二）反思剖析

兩次不同的教學(xué)實(shí)踐證明：變易理論指導(dǎo)下的“分離—變異—對比”教學(xué)模式，便于教師找到新舊知識(shí)間的連接點(diǎn)，將數(shù)學(xué)本質(zhì)特征向?qū)W生的思維深處推進(jìn)，有利于學(xué)生理解接受和建構(gòu)知識(shí)。

1. 運(yùn)用分離手法，準(zhǔn)確地把握了知識(shí)的關(guān)鍵屬性。

所謂“分離”就是教育者和學(xué)習(xí)者在諸多的變化和干擾的因素中，將注意集中于事物、概念和現(xiàn)象的某一個(gè)特定維度上。對于教師來說，就是在諸多的知識(shí)屬性中找到關(guān)鍵的屬性，以便于學(xué)生更好地建構(gòu)。根據(jù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)觀點(diǎn)：“學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果能在心理上組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么才說明是理解了?！睋Q而言之，就是建立了恰當(dāng)?shù)男屡f知識(shí)間的聯(lián)系，就可以使概念的心理表現(xiàn)建立得比較準(zhǔn)確，使之與其他概念表現(xiàn)聯(lián)系更合理，也更豐富和緊密。

2.運(yùn)用對比手法，有效地促進(jìn)了學(xué)生的自主感悟。

對比指的是通過設(shè)置不同的特征值來關(guān)注某一個(gè)事物、概念或現(xiàn)象在某個(gè)維度上不同值或特征的變化。也就是把一些事物和現(xiàn)象放在一起進(jìn)行比較的思維過程。對比可以幫助學(xué)生把握易錯(cuò)、易混概念的本質(zhì)，強(qiáng)化基本概念；可以幫助學(xué)生克服消極思維定勢，排除負(fù)遷移；有利于實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，幫助學(xué)生獲得新知；通過多種方式的對比練習(xí)還有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。在新教法的教學(xué)實(shí)踐中教師就多次運(yùn)用了對比這種變易手法，讓學(xué)生在觀察、辨析中很好地得到自主感悟。

3.運(yùn)用聯(lián)系手法，完美地形成了知識(shí)的整體架構(gòu)。

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的特點(diǎn)具有發(fā)展性。比如“高的概念”要經(jīng)歷這樣一個(gè)過程：點(diǎn)到直線的距離→平行四邊形的高→梯形的高→三角形的高→長方體的高→圓柱的高→圓錐的高→……這就是概念的發(fā)展性。而小學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的過程有兩種不同的形式，分別是概念同化和概念形成，概念形成一般要經(jīng)歷感知具體對象、嘗試建立表象、抽象本質(zhì)屬性、符號(hào)表征、概念內(nèi)化這五個(gè)階段。概念同化一般要經(jīng)歷喚起認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念、進(jìn)一步抽象形成新概念、分離新概念的關(guān)鍵屬性、運(yùn)用并強(qiáng)化概念理解四個(gè)階段。分析本課的三角形和高的概念因?yàn)橐延辛似叫兴倪呅?、梯形的高的概念做基礎(chǔ)，應(yīng)該屬于概念同化。新教法的教學(xué)中教師就非常合理地運(yùn)用了聯(lián)系的手法，溝通新舊知識(shí)間整體連接，實(shí)現(xiàn)了有效同化。

4. 運(yùn)用動(dòng)態(tài)教學(xué)，靈動(dòng)地拓展了學(xué)生的知識(shí)空間。

動(dòng)態(tài)教學(xué)就是用變化的觀點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)情境，想象操作，借助媒體技術(shù)，讓靜止的圖形動(dòng)起來，在這種運(yùn)動(dòng)變化中，揭示圖形的本質(zhì)特征和圖形間的關(guān)系。它可以幫助學(xué)生更好地理解幾何概念、圖形屬性，更好地理解概念與概念間的關(guān)系，有利于學(xué)生構(gòu)建良好的圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)，拓展空間觀念。

（浙江省臨海市回浦實(shí)驗(yàn)小學(xué) 317000）endprint

2. 運(yùn)用“分離—變異—對比”教學(xué)三角形的高。

（1）在新舊知識(shí)的聯(lián)系中分離出三角形的高。

教師先出示兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)長方形（如圖12），然后出示這三個(gè)圖形的高，激起學(xué)生對舊知識(shí)的回憶。接著利用課件將這些平行四邊形移動(dòng)一個(gè)頂點(diǎn)變成不同類型的三角形（如圖13）。教師提出：你們覺得三角形的高與平行四邊形的高有什么聯(lián)系？使學(xué)生在這樣的“變異、對比、審辨”中逐步明確了三角形高的定義，然后讓學(xué)生用三角板逐一驗(yàn)證圖13中每個(gè)三角形的高。

（2）在變異、交流中完善高的畫法。

學(xué)生畫出一個(gè)三角形的高，教師引導(dǎo)學(xué)生在觀察交流中學(xué)會(huì)畫高的要領(lǐng)與步驟。接著教師旋轉(zhuǎn)這個(gè)三角形，使學(xué)生在這樣的變化、審辨中認(rèn)識(shí)三角形高的本質(zhì)。引出三角形應(yīng)該有三條高。然后讓學(xué)生繼續(xù)畫出另外兩條高，再組織學(xué)生板演、反饋、交流，教師用不同顏色的筆做出區(qū)分（如圖14）。

（3）在聯(lián)系對比中凸顯畫高本質(zhì)。

教師引導(dǎo)：觀察這個(gè)三角形（圖14）的三條底和高，你發(fā)現(xiàn)了什么？畫三角形的高其實(shí)與我們以前學(xué)過的什么知識(shí)是一樣的？教師相機(jī)用課件展示，將三角形高的畫法與過點(diǎn)到線上的距離畫法進(jìn)行有效溝通。接著，教師適機(jī)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)黑板上第二個(gè)三角形（直角三角形）兩條直角邊互為底和高，并動(dòng)手畫出直角三角形斜邊上的高。最后，教師指著第三個(gè)三角形（鈍角三角形）引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)三角形有兩條高與前兩個(gè)三角形的高有什么不同？并利用課件展示出兩條高，不要求學(xué)生去畫，只作認(rèn)識(shí)。

3. 運(yùn)用“分離—變異—對比”深化高的理解。

（1）在觀察中感知三角形三條高的關(guān)系。

課件依次呈現(xiàn)有三條高的三種三角形。先觀察第一個(gè)三角形的三條高發(fā)現(xiàn)交于一點(diǎn)。再引導(dǎo)第二個(gè)三角形三條高會(huì)怎樣呢？使學(xué)生說出交在直角的項(xiàng)點(diǎn)上。那第三個(gè)三角形的三條高呢？教師再適時(shí)利用課件演示這三條高延長之后也能交于一點(diǎn)（如圖15）。

通過這樣的觀察思考，學(xué)生不僅從中感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)涵魅力，而且在觀察中也分離出了“三角形三條高都相交于一點(diǎn)”這一額外的數(shù)學(xué)知識(shí)。

（2） 在變與不變中感受三角形高的變化。

教師出示圖16：這是三角形的一條高，如果在與底平行的線上移動(dòng)頂點(diǎn)，它的高會(huì)怎么變？教師運(yùn)用課件依次不斷變化地變化頂點(diǎn)和高的位置成圖17。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：底不變，頂點(diǎn)在平行線上移動(dòng)，高位置變了，但是長度不變。教師繼續(xù)變化，同樣是原來的三角形，底不變，頂點(diǎn)在上下左右變化，高又會(huì)怎樣？學(xué)生先想象，然后課件展示圖18。讓學(xué)生感受到底不變，高的位置和長短會(huì)隨著頂點(diǎn)位置變化而變化。

師：如果從圖中取出一條垂線段，要是這條垂線段是一個(gè)三角形的高，想象一下，這個(gè)三角形可能會(huì)是怎么樣？

通過逆向思考，想象得出可能會(huì)是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。（此環(huán)節(jié)由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)三角形的分類，所以不要求學(xué)生進(jìn)行表達(dá)，只是讓學(xué)生通過課件展示意會(huì)即可。）

（3）在總結(jié)梳理中將三角形推回圖形大家族。

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？

學(xué)生的回答很豐富，除了本課需要掌握的知識(shí)點(diǎn)外，還深刻地感受到了三角形有三條高且交于一點(diǎn)；三角形的高會(huì)隨著頂點(diǎn)的變化而變化；知道三角形與其他圖形是有關(guān)系的……

師：你們說得對，三角形確實(shí)與其他圖形有著密切的關(guān)系。你看，要是知道了這個(gè)三角形的高，我就可以知道這些圖形的高了?。ㄕn件出示圖19）

三、分析結(jié)果

為了有效分析兩種不同教學(xué)的結(jié)果狀況，筆者對兩次教學(xué)進(jìn)行了后測對比研究。

（一）數(shù)據(jù)整理

1.學(xué)生對三角形概念、高和特性的理解應(yīng)用。

2.準(zhǔn)確做出三角形指定底邊上高的能力。

從表中可以看出，對銳角三角形和直角三角形指定邊上作高，兩種教學(xué)結(jié)果沒有明顯差異，但對于準(zhǔn)確作出鈍角三角形的高，變易理論指導(dǎo)下的教學(xué)效果比原教法有顯著提高。

3.準(zhǔn)確畫出不同三角形三條高的能力（三角形外高教材中并不做要求）。

從表中看出，兩次教學(xué)后，學(xué)生能準(zhǔn)確畫出不同三角形三條高的能力有顯著提高。在變易理論指導(dǎo)下的教學(xué)更具潛力和發(fā)展的可持續(xù)性。

（二）反思剖析

兩次不同的教學(xué)實(shí)踐證明：變易理論指導(dǎo)下的“分離—變異—對比”教學(xué)模式，便于教師找到新舊知識(shí)間的連接點(diǎn)，將數(shù)學(xué)本質(zhì)特征向?qū)W生的思維深處推進(jìn)，有利于學(xué)生理解接受和建構(gòu)知識(shí)。

1. 運(yùn)用分離手法，準(zhǔn)確地把握了知識(shí)的關(guān)鍵屬性。

所謂“分離”就是教育者和學(xué)習(xí)者在諸多的變化和干擾的因素中，將注意集中于事物、概念和現(xiàn)象的某一個(gè)特定維度上。對于教師來說，就是在諸多的知識(shí)屬性中找到關(guān)鍵的屬性，以便于學(xué)生更好地建構(gòu)。根據(jù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)觀點(diǎn)：“學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果能在心理上組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么才說明是理解了。”換而言之，就是建立了恰當(dāng)?shù)男屡f知識(shí)間的聯(lián)系，就可以使概念的心理表現(xiàn)建立得比較準(zhǔn)確，使之與其他概念表現(xiàn)聯(lián)系更合理，也更豐富和緊密。

2.運(yùn)用對比手法，有效地促進(jìn)了學(xué)生的自主感悟。

對比指的是通過設(shè)置不同的特征值來關(guān)注某一個(gè)事物、概念或現(xiàn)象在某個(gè)維度上不同值或特征的變化。也就是把一些事物和現(xiàn)象放在一起進(jìn)行比較的思維過程。對比可以幫助學(xué)生把握易錯(cuò)、易混概念的本質(zhì)，強(qiáng)化基本概念；可以幫助學(xué)生克服消極思維定勢，排除負(fù)遷移；有利于實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，幫助學(xué)生獲得新知；通過多種方式的對比練習(xí)還有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。在新教法的教學(xué)實(shí)踐中教師就多次運(yùn)用了對比這種變易手法，讓學(xué)生在觀察、辨析中很好地得到自主感悟。

3.運(yùn)用聯(lián)系手法，完美地形成了知識(shí)的整體架構(gòu)。

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的特點(diǎn)具有發(fā)展性。比如“高的概念”要經(jīng)歷這樣一個(gè)過程：點(diǎn)到直線的距離→平行四邊形的高→梯形的高→三角形的高→長方體的高→圓柱的高→圓錐的高→……這就是概念的發(fā)展性。而小學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的過程有兩種不同的形式，分別是概念同化和概念形成，概念形成一般要經(jīng)歷感知具體對象、嘗試建立表象、抽象本質(zhì)屬性、符號(hào)表征、概念內(nèi)化這五個(gè)階段。概念同化一般要經(jīng)歷喚起認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念、進(jìn)一步抽象形成新概念、分離新概念的關(guān)鍵屬性、運(yùn)用并強(qiáng)化概念理解四個(gè)階段。分析本課的三角形和高的概念因?yàn)橐延辛似叫兴倪呅?、梯形的高的概念做基礎(chǔ)，應(yīng)該屬于概念同化。新教法的教學(xué)中教師就非常合理地運(yùn)用了聯(lián)系的手法，溝通新舊知識(shí)間整體連接，實(shí)現(xiàn)了有效同化。

4. 運(yùn)用動(dòng)態(tài)教學(xué)，靈動(dòng)地拓展了學(xué)生的知識(shí)空間。

動(dòng)態(tài)教學(xué)就是用變化的觀點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)情境，想象操作，借助媒體技術(shù)，讓靜止的圖形動(dòng)起來，在這種運(yùn)動(dòng)變化中，揭示圖形的本質(zhì)特征和圖形間的關(guān)系。它可以幫助學(xué)生更好地理解幾何概念、圖形屬性，更好地理解概念與概念間的關(guān)系，有利于學(xué)生構(gòu)建良好的圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)，拓展空間觀念。

（浙江省臨海市回浦實(shí)驗(yàn)小學(xué) 317000）endprint