趙斌華

《植樹問題》是人教版實(shí)驗(yàn)教材四年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，教材安排了三個(gè)例題：一條線段的植樹問題并且兩端都要栽樹的情況、兩端都不栽的情形，封閉曲線（方陣）中的植樹問題。在一次余姚市教研室主辦的校際聯(lián)動(dòng)教研活動(dòng)中，三位老師分別對“植樹問題”例1的內(nèi)容進(jìn)行了不同的演繹，有“小坡度式”只研究“兩端都栽”一種情況的，也有“開放式”同時(shí)研究三種情況的，但在課堂的某些環(huán)節(jié)中，均有發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)不同程度的“卡殼”現(xiàn)象，這是什么原因？是學(xué)生不理解還是沒有掌握好呢？由此也引發(fā)了筆者以下的思考：

一、學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)在哪兒

“植樹問題”在課改前是作為“培優(yōu)”題讓學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練的，新課標(biāo)實(shí)施后，數(shù)學(xué)教材中增加了“數(shù)學(xué)廣角”這一領(lǐng)域，目的是通過“數(shù)學(xué)廣角”來進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想、方法，加強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力，逐步提高解決問題的能力。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)除法，對于平均分也已經(jīng)有了感性的認(rèn)識和理解，能為理解株距奠定較好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，同時(shí)也有了植樹時(shí)樹與樹之間應(yīng)該有間隔的生活經(jīng)驗(yàn)。但對于數(shù)學(xué)意義上的間隔和間隔數(shù)，學(xué)生的認(rèn)知卻很淺。

【片斷一】

師開門見山式揭示課題，引出例題：同學(xué)們在全長200米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共需要多少棵樹苗？

生：200÷5=40（棵）。

師：還有不同的答案嗎？

生“卡殼”，不知怎么回答。

師：有什么辦法可以驗(yàn)證下？

在老師的引導(dǎo)下，化繁為簡，先從20米開始研究。

師：你能通過畫線段圖的方式把它表示出來嗎？

生畫，師挑選作品并展示，只有“└┴┴┴┘”這一種情況而且部分學(xué)生沒有完成。

師：還有不一樣的答案嗎？

生再次“卡殼”，搖搖頭。

師只好給出自己的另兩種植樹情況：只種一端，兩端都不種。

學(xué)生第一次“卡殼”，原因有二：一是這里的學(xué)生多數(shù)都是外來務(wù)工子女，相對于城區(qū)的孩子，基礎(chǔ)肯定要差些，而且這些孩子在課外基本沒接觸過此類題型，所以答不出老師想要的加1、減1的答案；二是針對這一問題情境，缺少了一個(gè)“猜一猜”的環(huán)節(jié)，在學(xué)生看來，這樣的問題解決式的答案是唯一的，用除法做也是順理成章的，他們并沒有意識到從題目出發(fā)，還需要考慮多種情況的。學(xué)生第二次“卡殼”，首先是因?yàn)樵瓉砭蜎]考慮到植樹的多種情況，所以也不太會(huì)在畫圖中體現(xiàn)出來；其次是這里的孩子沒有畫線段圖的基礎(chǔ)，他們在畫的時(shí)候，還需要考慮總長、株距、比例尺等一系列因素，因此更加無暇去思考植樹的不同情況了。

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，應(yīng)該充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，從學(xué)生出發(fā)。面對不同的學(xué)生，教師也應(yīng)該相應(yīng)地調(diào)整自己的教學(xué)起點(diǎn)，幫助學(xué)生架構(gòu)生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)之間的橋梁，讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂。

二、學(xué)生的思維層次到哪兒

瑞士教育家裴斯泰洛齊說：“教學(xué)的主要任務(wù)不是積累知識，而是發(fā)展思維。”學(xué)生的思維能力主要是在他們獲取知識的過程中、在知識的掌握過程中發(fā)展起來的。數(shù)學(xué)是思維的體操，可以鍛煉學(xué)生的思維能力，使其不斷地發(fā)展。而思維又是一種隱性的心理活動(dòng)，只有在具體的活動(dòng)或操作中得以顯現(xiàn)。

【片斷二】

師：通過剛才的探究活動(dòng)，并觀察這些算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)每個(gè)算式都要+1。

生：我發(fā)現(xiàn)棵數(shù)都要比間隔數(shù)多1。

師：非常好！在植樹問題兩端都種的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

師：為什么要+1呢？

生：你看在圖上，每一棵樹都對著一個(gè)間隔，到最后還多出一棵樹，所以棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。

師：你說得真清楚！那下面這道植樹問題，你們能解決嗎？

出示教材P118“做一做”：園林工人沿公路一側(cè)植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵。從第一棵到最后一棵的距離有多遠(yuǎn)？

師：誰來說一說？

生：36×6=216（米）。

師：還有不一樣的想法嗎？

生：（36+1）×6=222（米）。

師：還有嗎？

生：（36-1）×6=210（米）。

師：你們同意哪一種算法？

只有少數(shù)學(xué)生同意最后一種算法，很明顯，學(xué)生“卡殼”了。

教師也覺得困惑了，剛才明明已經(jīng)把“+1”的難點(diǎn)解決了呀，而且學(xué)生都能說得很清楚了，為什么換一種角度，學(xué)生就“卡”住了呢？所以說，在課堂上，并不是教師的教學(xué)到哪兒，學(xué)生的思維也已經(jīng)跟到那兒了。在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生能夠步步緊跟著，但當(dāng)教師一放手，學(xué)生就會(huì)回到自己的思維起點(diǎn)，對于沒有完全理解的內(nèi)容，就會(huì)出現(xiàn)“卡殼”現(xiàn)象了。

因此，在課堂中，教師應(yīng)該時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的思維層次，充分暴露學(xué)生的思維，關(guān)注學(xué)生思維的障礙點(diǎn)，理清學(xué)生的思維脈絡(luò)。當(dāng)學(xué)生遇到思維障礙時(shí)，教師需要適時(shí)地加以疏導(dǎo)、點(diǎn)撥，可以先“扶一扶”，然后再逐步過渡、“由扶到放”，努力做到與學(xué)生的思維同步，從而真正促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

三、學(xué)生的模型建構(gòu)去哪兒

從數(shù)學(xué)角度講，數(shù)學(xué)建模是舍去無關(guān)緊要的東西，保留其數(shù)學(xué)關(guān)系，形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。而植樹問題在日常生活中會(huì)經(jīng)常遇到，如路旁植樹、插彩旗、花壇種花、安路燈、鋸木頭、上樓梯等都可以歸結(jié)為“植樹問題”，因此非常有必要幫助學(xué)生建立解決這一類問題的數(shù)學(xué)模型。

【片斷三】

師：今天這節(jié)課我們研究了植樹問題（只研究了兩端都種），也知道了棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。生活中也有許多這樣的例子，你能舉一個(gè)嗎？

生：路燈。

師：你能說一說分別把什么看作“棵數(shù)”、“間隔”和“間隔數(shù)”嗎？

生：路燈的盞數(shù)相當(dāng)于“棵數(shù)”，路燈之間的距離相當(dāng)于“間隔”，有幾個(gè)這樣的間隔就是“間隔數(shù)”。

師：說得非常好！

生：老師，我還有！你看，我們教師里一排排的座位，人是“間隔”，桌子是“樹”。

生：應(yīng)該是人是“樹”，桌子是“間隔”吧？

生：人是“樹”的話，前面沒人了？

生：那人是“間隔”的話，后面沒桌子了？

生爭論著，“卡殼”了。

其實(shí)很簡單，這就是植樹問題中只種一端的情況，無論人是“間隔”還是桌子是“間隔”都是一一對應(yīng)的，也就是不用+1的情況，“棵數(shù)=間隔數(shù)”的植樹類型。因?yàn)閷W(xué)生頭腦中的模型只有“兩端都種”這一種，想到的關(guān)系式也只有“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”，所以就一時(shí)轉(zhuǎn)不過彎了。

數(shù)學(xué)知識不是單一的，它應(yīng)該具有整體性、連貫性，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也應(yīng)是呈網(wǎng)絡(luò)狀的。心理學(xué)研究表明，整塊成片的知識網(wǎng)比零碎的知識點(diǎn)更容易讓人納入自己的原有認(rèn)知體系。所以，個(gè)人認(rèn)為，在一開始呈現(xiàn)植樹問題時(shí)，應(yīng)該給學(xué)生一個(gè)整體的結(jié)構(gòu)，即三種類型都要呈現(xiàn)，從知識的生成原理來看，這更有利于學(xué)生的建模。這樣相當(dāng)于先給了學(xué)生一個(gè)框架，然后本節(jié)課重點(diǎn)來研究其中一種，讓學(xué)生走向分支，再在分支中建立相應(yīng)的解決問題的模型結(jié)構(gòu)，當(dāng)學(xué)生遇到“岔路”時(shí)，能夠回到原有的整體框架，去尋找其他“分支”，從而真正達(dá)到完整的模型建構(gòu)。這樣以后再遇到“鋸木頭”、“敲鐘”和“方陣問題”等也都能選擇正確的植樹問題的模型結(jié)構(gòu)來應(yīng)對解決了。

課堂是一門遺憾的藝術(shù)，如果沒有了學(xué)生的這些“卡殼”現(xiàn)象，也就沒有了更深入的思考。只有通過不斷地反思，總結(jié)教學(xué)的得失與成敗，在反思中改進(jìn)，在反思中提高，才能不斷豐富自身素養(yǎng)，提升自我發(fā)展能力，逐步完善教學(xué)藝術(shù)。