魏芳

蘇聯(lián)教育家贊可夫說(shuō)過(guò)：“教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一生中最有價(jià)值的本錢。”會(huì)思考的學(xué)生是最具發(fā)展?jié)撡|(zhì)的，富有思考?xì)庀⒌恼n堂是靈動(dòng)飛揚(yáng)的。思維飛揚(yáng)的課堂，是一種活性的課堂，躍動(dòng)著智慧與生機(jī)；也是一種挑戰(zhàn)的課堂，充滿著碰撞與交鋒；還是一種層級(jí)的課堂，流淌著思維發(fā)展的軌跡。在這樣的課堂中，學(xué)生不僅能夠自主建構(gòu)起脈絡(luò)清晰的知識(shí)體系，獲得解決問題的策略，更重要的是能夠感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)的本源價(jià)值，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生已有的操作、探究、思考、綜合等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能激起學(xué)生思維的靈動(dòng)與飛揚(yáng)。同時(shí)，智慧寬廣的思維又有助于學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)完整的知識(shí)體系，積累更豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

一、相似的經(jīng)驗(yàn)——提領(lǐng)結(jié)構(gòu)，凸顯思想

1.縱向求同，把準(zhǔn)顯性結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容因其邏輯結(jié)構(gòu)而有序深化，學(xué)生的學(xué)習(xí)也因其結(jié)構(gòu)性引導(dǎo)而有序生長(zhǎng)?？v向梳理教材中相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展順序，以串聯(lián)的方式呈現(xiàn)內(nèi)容的顯性結(jié)構(gòu)，能使學(xué)生清晰地把握知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)，找準(zhǔn)新知的生長(zhǎng)點(diǎn)。新知的出現(xiàn)充分激活了學(xué)生原有相似的經(jīng)驗(yàn)理解，運(yùn)用探究和發(fā)現(xiàn)的方法，讓學(xué)生用自己的頭腦獲得知識(shí)。正如布魯納所說(shuō)：“學(xué)生掌握了結(jié)構(gòu)，就獲得了一個(gè)學(xué)科的基本概念的能力；然后，學(xué)生就可以利用這些基本概念把它們當(dāng)作認(rèn)識(shí)和攻克其他問題的基礎(chǔ)。”

2.縱橫交錯(cuò)，凸顯隱性思想

相鄰的概念具有“隱約的相似性”因素，從而使它們之間存在“隱約性”聯(lián)系。這些隱性的相似點(diǎn)包括知識(shí)結(jié)構(gòu)、思考方法、操作方式等。在探究新知時(shí)，可以通過(guò)對(duì)話、討論、演示和練習(xí)等多種渠道，創(chuàng)造恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)情景，啟發(fā)學(xué)生找到新識(shí)與舊知之間的聯(lián)系，挖掘隱藏在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法，從而將新知納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，以不斷完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。正如施瓦布主張的：“探究教學(xué)中，要讓兒童親自體驗(yàn)到學(xué)科知識(shí)和方法的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和差異，親自體驗(yàn)到學(xué)科實(shí)質(zhì)結(jié)構(gòu)的可修正性和多樣性。在學(xué)生體驗(yàn)學(xué)科結(jié)構(gòu)、科學(xué)知識(shí)的靈活性的同時(shí)，形成探究的靈活性?！?/p>

案例1：五年級(jí)下冊(cè)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”

（1）喚醒：用豎式計(jì)算。

[2 3 5

+ 8 9] [3. 6

- 1. 9]

（2）說(shuō)一說(shuō)：豎式計(jì)算時(shí)要注意什么？（相同數(shù)位對(duì)齊，從低位算起。）

（3）小結(jié)：整數(shù)、小數(shù)的計(jì)算，首先要相同數(shù)位對(duì)齊，也就是相同的計(jì)數(shù)單位相加減。

（4）出示例題：明橋小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形試驗(yàn)田，其中種黃瓜，種番茄。種黃瓜和番茄的一共占這塊地的幾分之幾？

讓學(xué)生獨(dú)立思考，可以借助折一折、畫一畫、算一算等方法。

生1：化成小數(shù)。+=0.5+0.25=0.75=。

生2：通分相加。+=+ =。

師：同學(xué)們用不同的方法探索出了+的算理，這些方法有什么共同之處呢？

生：把不能直接相加的分?jǐn)?shù)，想辦法轉(zhuǎn)化成小數(shù)或同分母分?jǐn)?shù)，再相加。

師：用你最喜歡的方法來(lái)試一試：+=？（學(xué)生研究的時(shí)間稍長(zhǎng)）

生：先通分再相加：+=+=。（絕大多數(shù)的學(xué)生選用了這種方法）

師：為什么你們都選用通分的方法？

生：我覺得還是通分的方法比較通用，無(wú)論怎樣的兩個(gè)分?jǐn)?shù)都可以轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)。

師：那讓我們一起再來(lái)重點(diǎn)研究這種“先通用，再計(jì)算”的方法。

學(xué)生在學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，“分?jǐn)?shù)單位不同，不能直接相加減”的矛盾引發(fā)了學(xué)生思維的不平衡。教師先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“整數(shù)與小數(shù)”的豎式計(jì)算方法，并追問計(jì)算時(shí)的注意點(diǎn)，喚醒了學(xué)生對(duì)算理的回憶，及時(shí)提煉算法。這些已有的相似經(jīng)驗(yàn)的激活與溝通，為學(xué)生主動(dòng)探索新知提供了基礎(chǔ)。學(xué)生借助算法的相似經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)將新內(nèi)容納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)其進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化?！爱媹D表示”喚起學(xué)生頭腦里的圖示經(jīng)驗(yàn)，借助直觀形象的長(zhǎng)方形理解算理；“化成小數(shù)”喚起學(xué)生頭腦里的小數(shù)加法經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略與思想來(lái)探究結(jié)果；“通分相加”則喚起學(xué)生“統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位”的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)異分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行加工轉(zhuǎn)化。學(xué)生思維的角度不同，也帶來(lái)了學(xué)生運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)解決問題時(shí)的差異。接著，教師組織學(xué)生探究更復(fù)雜的異分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算，學(xué)生在研究中自主自覺地將方法聚焦于通分，實(shí)現(xiàn)了自主優(yōu)化的目的，也體現(xiàn)出“先通分再計(jì)算”的普遍適用性。

二、干擾的經(jīng)驗(yàn)——本質(zhì)辨析，修正偏頗

1.突出主干，建構(gòu)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)

學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)建構(gòu)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定影響，這就是遷移的作用。正遷移的積極作用會(huì)推動(dòng)學(xué)生建構(gòu)，而負(fù)遷移的消極作用則會(huì)阻礙學(xué)生對(duì)新知的建構(gòu)。突出概念的主干，能把新問題與過(guò)去所熟悉的知識(shí)進(jìn)行分析、類比、聯(lián)想，有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用遷移的積極作用幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵，以點(diǎn)帶面地建構(gòu)起知識(shí)結(jié)構(gòu)。只有以數(shù)學(xué)的基本概念、基本原理及其規(guī)律和聯(lián)系為要素，把知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)教給學(xué)生，才能使學(xué)生達(dá)到知識(shí)、能力、態(tài)度的遷移，從而提高學(xué)習(xí)效率。

2.比較辨析，修正錯(cuò)誤偏差

比較常能使模糊變清晰，錯(cuò)誤變正確。新知學(xué)習(xí)的過(guò)程既是對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)的擴(kuò)充完善，更是運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)解決新問題的探索再造。錯(cuò)誤是有意義的學(xué)習(xí)所必需的。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中犯些錯(cuò)誤不僅是應(yīng)該的，而且是有益的，可以使學(xué)生通過(guò)自我調(diào)節(jié)而達(dá)到認(rèn)知平衡。錯(cuò)誤也會(huì)引導(dǎo)學(xué)生順應(yīng)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并把觀察到的結(jié)果同化到修正過(guò)了的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去。當(dāng)學(xué)生的思維受阻或發(fā)生偏差時(shí)，給予學(xué)生時(shí)間和機(jī)會(huì)，在比較辨析中不斷修正錯(cuò)誤或偏頗的認(rèn)識(shí)，形成科學(xué)正確的數(shù)學(xué)概念與理解，經(jīng)歷多次循環(huán)往復(fù)的錘煉，學(xué)生的思維會(huì)更科學(xué)、簡(jiǎn)潔，積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)才會(huì)具有數(shù)學(xué)味，具有無(wú)窮的張力。

案例2：三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)幾分之一”endprint

每份是這盤桃的 每份是這盤桃的

生1：左邊的每一份可以用表示，右邊的每一份可以用表示。

生2：我覺得右邊的每一份應(yīng)該用表示。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種不同的結(jié)論，你們是怎樣想的呢？

生1：左邊有4個(gè)桃，平均分成4份，每份就是。右邊有4個(gè)桃，平均分成2份，每份就是。

生2：我覺得右邊是把4個(gè)桃平均分成了2份，每一份就是。

師：他們兩位同學(xué)爭(zhēng)論的焦點(diǎn)在于“看個(gè)數(shù)”，還是“看平均分的份數(shù)”。其他同學(xué)呢？

生：我認(rèn)為分?jǐn)?shù)的分母表示平均分成了幾份，分子表示取了其中的幾份。右邊是把4個(gè)桃平均分成了2份，其中的1份就是這盒桃的。

生4：我發(fā)現(xiàn)看圖寫分?jǐn)?shù)，要看平均分的份數(shù)。

師：是的，我們?cè)谘芯糠謹(jǐn)?shù)的時(shí)候，關(guān)鍵要看平均分成了幾份，其中的1份就是幾分之一。像這里，同樣是把4個(gè)桃看成一個(gè)整體，但平均分的份數(shù)不同，那么其中的一份所表示的分?jǐn)?shù)就不同。當(dāng)然，我們到五年級(jí)還會(huì)學(xué)習(xí)，其實(shí)和是大小相等的，但意義不同。

生1：哦，我明白了。平均分成了4份，分母就是4，平均分成了2份，分母就是2。

學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了“把一個(gè)物體平均分成幾份，每份是這個(gè)物體的幾分之一”，本課是在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“把一些物體看成一個(gè)整體，平均分成幾份，每份是這個(gè)整體的幾分之一”。“整體的幾分之一”是認(rèn)知的難點(diǎn)，需要打破學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“一個(gè)物體的幾分之一”對(duì)學(xué)生建構(gòu)新知造成的干擾。學(xué)生往往停留在“幾個(gè)物體就是幾份”的原始認(rèn)知上，不能用原有的認(rèn)知圖式同化新知，需要對(duì)原有圖式進(jìn)行修改或重建，以適應(yīng)新知的變化，不斷達(dá)到認(rèn)知平衡。

三、斷裂的經(jīng)驗(yàn)——果敢介入，設(shè)置階梯

1.提供腳手架，找準(zhǔn)最近發(fā)展區(qū)

當(dāng)學(xué)生應(yīng)用原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不能解決新問題時(shí)，除了給予學(xué)生充分的時(shí)間討論與思考外，教師要及時(shí)干預(yù)指導(dǎo)，為學(xué)生的思考提供適度的“腳手架”，讓他們“跳一跳，能摘到果子”。適時(shí)適度的幫助使學(xué)生的思維跳出了原有的定勢(shì)，走出了暫時(shí)的困境，實(shí)現(xiàn)了思維上的飛躍，感受到了另一種思路的別有洞天之處。

2.拓展延伸，明晰思維層級(jí)

學(xué)生的思維是在不斷豐富與拓展中逐步提升的，在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生不時(shí)會(huì)遇到挫折與坎坷。我們要做他們思維發(fā)展路途中的引路人，為他們創(chuàng)設(shè)更多具有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容與問題情境，在他們“夠得著”的思維區(qū)間里點(diǎn)撥、解惑，觸發(fā)學(xué)生的思維向更深更寬處延伸，經(jīng)歷豁然開朗的頓悟過(guò)程，為解決復(fù)雜問題提供更新更寬廣的思路。

案例3：五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”

[右圖中正方形的面積是8平方厘米，那么涂色部分的面積是多少平方厘米？] [O]

生1：求涂色部分的面積就是求個(gè)圓的面積，根據(jù)圓的面積計(jì)算公式S=πr2，就要知道半徑是多少。這里的半徑不知道，不太好解決……

生2：如果正方形的面積是9平方厘米的話，就好辦了。

（我聽出了學(xué)生的困惑所在，這正是解決問題的關(guān)鍵。于是，我順勢(shì)一改，把正方形的面積改成了9平方厘米。學(xué)生拿起筆算了起來(lái)。）

生3：9=3×3，π×r2=3.14×32=28.26（平方厘米）。

生4：現(xiàn)在的半徑是3厘米，圓的面積就好求啦。

（我在算式中把32框了出來(lái)：π [r2] =3.14×[32] =28.26（平方厘米），并在下面寫上9，及時(shí)追問：你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？）

生5：我發(fā)現(xiàn)了！其實(shí)，這個(gè)“半徑的平方”可以直接應(yīng)用，而不必去算出半徑是多少。原來(lái)那個(gè)問題可以解決了。

經(jīng)他這么一說(shuō)，其他同學(xué)慢慢地明白過(guò)來(lái)。再組織學(xué)生辨析、計(jì)算：π[r2] =3.14× [8] =25.12（平方厘米），涂色部分的面積是25.12÷4×3=18.84（平方厘米）。

在學(xué)生解決了問題后，組織學(xué)生回顧解決問題的過(guò)程：開始你為什么覺得難，甚至無(wú)從下手？后來(lái)得到了哪些幫助？有什么啟示？

當(dāng)學(xué)生面對(duì)稍復(fù)雜且高于原有認(rèn)知水平的問題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)畏難情緒，思路受阻，暫時(shí)找不到解決問題的方案。上例中，學(xué)生的思維受困于圓的面積計(jì)算公式，受困于半徑的長(zhǎng)度。面對(duì)學(xué)生的困惑與無(wú)奈，教師給予學(xué)生充分的思考時(shí)間，讓他們說(shuō)說(shuō)自己的想法和困難之處，學(xué)生在討論中得到啟發(fā)，思路慢慢暢通。正如一位學(xué)生所說(shuō)“如果正方形的面積是9平方厘米就好了”，教師緊緊抓住這一有效信息，果斷介入，順?biāo)浦鄣亍案念}”，實(shí)則是借助對(duì)比指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的“突破口”。最后，教師及時(shí)組織學(xué)生回顧解決問題的過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生反思解決這類特殊問題的思路，有效地幫助學(xué)生積累解決這類非常規(guī)問題的經(jīng)驗(yàn)。?

每份是這盤桃的 每份是這盤桃的

生1：左邊的每一份可以用表示，右邊的每一份可以用表示。

生2：我覺得右邊的每一份應(yīng)該用表示。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種不同的結(jié)論，你們是怎樣想的呢？

生1：左邊有4個(gè)桃，平均分成4份，每份就是。右邊有4個(gè)桃，平均分成2份，每份就是。

生2：我覺得右邊是把4個(gè)桃平均分成了2份，每一份就是。

師：他們兩位同學(xué)爭(zhēng)論的焦點(diǎn)在于“看個(gè)數(shù)”，還是“看平均分的份數(shù)”。其他同學(xué)呢？

生：我認(rèn)為分?jǐn)?shù)的分母表示平均分成了幾份，分子表示取了其中的幾份。右邊是把4個(gè)桃平均分成了2份，其中的1份就是這盒桃的。

生4：我發(fā)現(xiàn)看圖寫分?jǐn)?shù)，要看平均分的份數(shù)。

師：是的，我們?cè)谘芯糠謹(jǐn)?shù)的時(shí)候，關(guān)鍵要看平均分成了幾份，其中的1份就是幾分之一。像這里，同樣是把4個(gè)桃看成一個(gè)整體，但平均分的份數(shù)不同，那么其中的一份所表示的分?jǐn)?shù)就不同。當(dāng)然，我們到五年級(jí)還會(huì)學(xué)習(xí)，其實(shí)和是大小相等的，但意義不同。

生1：哦，我明白了。平均分成了4份，分母就是4，平均分成了2份，分母就是2。

學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了“把一個(gè)物體平均分成幾份，每份是這個(gè)物體的幾分之一”，本課是在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“把一些物體看成一個(gè)整體，平均分成幾份，每份是這個(gè)整體的幾分之一”?！罢w的幾分之一”是認(rèn)知的難點(diǎn)，需要打破學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“一個(gè)物體的幾分之一”對(duì)學(xué)生建構(gòu)新知造成的干擾。學(xué)生往往停留在“幾個(gè)物體就是幾份”的原始認(rèn)知上，不能用原有的認(rèn)知圖式同化新知，需要對(duì)原有圖式進(jìn)行修改或重建，以適應(yīng)新知的變化，不斷達(dá)到認(rèn)知平衡。

三、斷裂的經(jīng)驗(yàn)——果敢介入，設(shè)置階梯

1.提供腳手架，找準(zhǔn)最近發(fā)展區(qū)

當(dāng)學(xué)生應(yīng)用原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不能解決新問題時(shí)，除了給予學(xué)生充分的時(shí)間討論與思考外，教師要及時(shí)干預(yù)指導(dǎo)，為學(xué)生的思考提供適度的“腳手架”，讓他們“跳一跳，能摘到果子”。適時(shí)適度的幫助使學(xué)生的思維跳出了原有的定勢(shì)，走出了暫時(shí)的困境，實(shí)現(xiàn)了思維上的飛躍，感受到了另一種思路的別有洞天之處。

2.拓展延伸，明晰思維層級(jí)

學(xué)生的思維是在不斷豐富與拓展中逐步提升的，在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生不時(shí)會(huì)遇到挫折與坎坷。我們要做他們思維發(fā)展路途中的引路人，為他們創(chuàng)設(shè)更多具有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容與問題情境，在他們“夠得著”的思維區(qū)間里點(diǎn)撥、解惑，觸發(fā)學(xué)生的思維向更深更寬處延伸，經(jīng)歷豁然開朗的頓悟過(guò)程，為解決復(fù)雜問題提供更新更寬廣的思路。

案例3：五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”

[右圖中正方形的面積是8平方厘米，那么涂色部分的面積是多少平方厘米？] [O]

生1：求涂色部分的面積就是求個(gè)圓的面積，根據(jù)圓的面積計(jì)算公式S=πr2，就要知道半徑是多少。這里的半徑不知道，不太好解決……

生2：如果正方形的面積是9平方厘米的話，就好辦了。

（我聽出了學(xué)生的困惑所在，這正是解決問題的關(guān)鍵。于是，我順勢(shì)一改，把正方形的面積改成了9平方厘米。學(xué)生拿起筆算了起來(lái)。）

生3：9=3×3，π×r2=3.14×32=28.26（平方厘米）。

生4：現(xiàn)在的半徑是3厘米，圓的面積就好求啦。

（我在算式中把32框了出來(lái)：π [r2] =3.14×[32] =28.26（平方厘米），并在下面寫上9，及時(shí)追問：你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？）

生5：我發(fā)現(xiàn)了！其實(shí)，這個(gè)“半徑的平方”可以直接應(yīng)用，而不必去算出半徑是多少。原來(lái)那個(gè)問題可以解決了。

經(jīng)他這么一說(shuō)，其他同學(xué)慢慢地明白過(guò)來(lái)。再組織學(xué)生辨析、計(jì)算：π[r2] =3.14× [8] =25.12（平方厘米），涂色部分的面積是25.12÷4×3=18.84（平方厘米）。

在學(xué)生解決了問題后，組織學(xué)生回顧解決問題的過(guò)程：開始你為什么覺得難，甚至無(wú)從下手？后來(lái)得到了哪些幫助？有什么啟示？

當(dāng)學(xué)生面對(duì)稍復(fù)雜且高于原有認(rèn)知水平的問題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)畏難情緒，思路受阻，暫時(shí)找不到解決問題的方案。上例中，學(xué)生的思維受困于圓的面積計(jì)算公式，受困于半徑的長(zhǎng)度。面對(duì)學(xué)生的困惑與無(wú)奈，教師給予學(xué)生充分的思考時(shí)間，讓他們說(shuō)說(shuō)自己的想法和困難之處，學(xué)生在討論中得到啟發(fā)，思路慢慢暢通。正如一位學(xué)生所說(shuō)“如果正方形的面積是9平方厘米就好了”，教師緊緊抓住這一有效信息，果斷介入，順?biāo)浦鄣亍案念}”，實(shí)則是借助對(duì)比指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的“突破口”。最后，教師及時(shí)組織學(xué)生回顧解決問題的過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生反思解決這類特殊問題的思路，有效地幫助學(xué)生積累解決這類非常規(guī)問題的經(jīng)驗(yàn)。?

每份是這盤桃的 每份是這盤桃的

生1：左邊的每一份可以用表示，右邊的每一份可以用表示。

生2：我覺得右邊的每一份應(yīng)該用表示。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種不同的結(jié)論，你們是怎樣想的呢？

生1：左邊有4個(gè)桃，平均分成4份，每份就是。右邊有4個(gè)桃，平均分成2份，每份就是。

生2：我覺得右邊是把4個(gè)桃平均分成了2份，每一份就是。

師：他們兩位同學(xué)爭(zhēng)論的焦點(diǎn)在于“看個(gè)數(shù)”，還是“看平均分的份數(shù)”。其他同學(xué)呢？

生：我認(rèn)為分?jǐn)?shù)的分母表示平均分成了幾份，分子表示取了其中的幾份。右邊是把4個(gè)桃平均分成了2份，其中的1份就是這盒桃的。

生4：我發(fā)現(xiàn)看圖寫分?jǐn)?shù)，要看平均分的份數(shù)。

師：是的，我們?cè)谘芯糠謹(jǐn)?shù)的時(shí)候，關(guān)鍵要看平均分成了幾份，其中的1份就是幾分之一。像這里，同樣是把4個(gè)桃看成一個(gè)整體，但平均分的份數(shù)不同，那么其中的一份所表示的分?jǐn)?shù)就不同。當(dāng)然，我們到五年級(jí)還會(huì)學(xué)習(xí)，其實(shí)和是大小相等的，但意義不同。

生1：哦，我明白了。平均分成了4份，分母就是4，平均分成了2份，分母就是2。

學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了“把一個(gè)物體平均分成幾份，每份是這個(gè)物體的幾分之一”，本課是在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“把一些物體看成一個(gè)整體，平均分成幾份，每份是這個(gè)整體的幾分之一”?！罢w的幾分之一”是認(rèn)知的難點(diǎn)，需要打破學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“一個(gè)物體的幾分之一”對(duì)學(xué)生建構(gòu)新知造成的干擾。學(xué)生往往停留在“幾個(gè)物體就是幾份”的原始認(rèn)知上，不能用原有的認(rèn)知圖式同化新知，需要對(duì)原有圖式進(jìn)行修改或重建，以適應(yīng)新知的變化，不斷達(dá)到認(rèn)知平衡。

三、斷裂的經(jīng)驗(yàn)——果敢介入，設(shè)置階梯

1.提供腳手架，找準(zhǔn)最近發(fā)展區(qū)

當(dāng)學(xué)生應(yīng)用原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不能解決新問題時(shí)，除了給予學(xué)生充分的時(shí)間討論與思考外，教師要及時(shí)干預(yù)指導(dǎo)，為學(xué)生的思考提供適度的“腳手架”，讓他們“跳一跳，能摘到果子”。適時(shí)適度的幫助使學(xué)生的思維跳出了原有的定勢(shì)，走出了暫時(shí)的困境，實(shí)現(xiàn)了思維上的飛躍，感受到了另一種思路的別有洞天之處。

2.拓展延伸，明晰思維層級(jí)

學(xué)生的思維是在不斷豐富與拓展中逐步提升的，在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生不時(shí)會(huì)遇到挫折與坎坷。我們要做他們思維發(fā)展路途中的引路人，為他們創(chuàng)設(shè)更多具有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容與問題情境，在他們“夠得著”的思維區(qū)間里點(diǎn)撥、解惑，觸發(fā)學(xué)生的思維向更深更寬處延伸，經(jīng)歷豁然開朗的頓悟過(guò)程，為解決復(fù)雜問題提供更新更寬廣的思路。

案例3：五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”

[右圖中正方形的面積是8平方厘米，那么涂色部分的面積是多少平方厘米？] [O]

生1：求涂色部分的面積就是求個(gè)圓的面積，根據(jù)圓的面積計(jì)算公式S=πr2，就要知道半徑是多少。這里的半徑不知道，不太好解決……

生2：如果正方形的面積是9平方厘米的話，就好辦了。

（我聽出了學(xué)生的困惑所在，這正是解決問題的關(guān)鍵。于是，我順勢(shì)一改，把正方形的面積改成了9平方厘米。學(xué)生拿起筆算了起來(lái)。）

生3：9=3×3，π×r2=3.14×32=28.26（平方厘米）。

生4：現(xiàn)在的半徑是3厘米，圓的面積就好求啦。

（我在算式中把32框了出來(lái)：π [r2] =3.14×[32] =28.26（平方厘米），并在下面寫上9，及時(shí)追問：你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？）

生5：我發(fā)現(xiàn)了！其實(shí)，這個(gè)“半徑的平方”可以直接應(yīng)用，而不必去算出半徑是多少。原來(lái)那個(gè)問題可以解決了。

經(jīng)他這么一說(shuō)，其他同學(xué)慢慢地明白過(guò)來(lái)。再組織學(xué)生辨析、計(jì)算：π[r2] =3.14× [8] =25.12（平方厘米），涂色部分的面積是25.12÷4×3=18.84（平方厘米）。

在學(xué)生解決了問題后，組織學(xué)生回顧解決問題的過(guò)程：開始你為什么覺得難，甚至無(wú)從下手？后來(lái)得到了哪些幫助？有什么啟示？

當(dāng)學(xué)生面對(duì)稍復(fù)雜且高于原有認(rèn)知水平的問題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)畏難情緒，思路受阻，暫時(shí)找不到解決問題的方案。上例中，學(xué)生的思維受困于圓的面積計(jì)算公式，受困于半徑的長(zhǎng)度。面對(duì)學(xué)生的困惑與無(wú)奈，教師給予學(xué)生充分的思考時(shí)間，讓他們說(shuō)說(shuō)自己的想法和困難之處，學(xué)生在討論中得到啟發(fā)，思路慢慢暢通。正如一位學(xué)生所說(shuō)“如果正方形的面積是9平方厘米就好了”，教師緊緊抓住這一有效信息，果斷介入，順?biāo)浦鄣亍案念}”，實(shí)則是借助對(duì)比指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的“突破口”。最后，教師及時(shí)組織學(xué)生回顧解決問題的過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生反思解決這類特殊問題的思路，有效地幫助學(xué)生積累解決這類非常規(guī)問題的經(jīng)驗(yàn)。?