段 明，田玉艷

（中航工業(yè)試飛中心 改裝部，陜西 西安 710089）

0 引言

1965年Niordson關(guān)于振動(dòng)梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化文獻(xiàn)的問世，開創(chuàng)了結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化的先河。在此之后的幾十年中，結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化越來越引起了人們的關(guān)注，已涉及到結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論、方法、建模、敏度分析、軟件設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用等諸多方面。結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性優(yōu)化是結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化研究的一個(gè)重要分支，它包括結(jié)構(gòu)的固有頻率、振型、剛度和質(zhì)量分布等諸多方面，其中，以結(jié)構(gòu)固有頻率為目標(biāo)或約束的優(yōu)化是其中研究最早和成果相對(duì)較多的一個(gè)方面。目前，結(jié)構(gòu)頻率優(yōu)化的對(duì)象主要為桁架、梁、剛架和薄板等單一類型的結(jié)構(gòu)。

機(jī)載設(shè)備安裝支架不同于一般地面設(shè)備支架，設(shè)計(jì)過程中一方面要使支架的固有頻率遠(yuǎn)離機(jī)體結(jié)構(gòu)的固有頻率，避免共振破壞；同時(shí)，一些靈敏的機(jī)載電子設(shè)備，如雷達(dá)天線、采集器、記錄器、慣導(dǎo)設(shè)備、振動(dòng)傳感器等對(duì)支架的動(dòng)力特性尤其是低階固有頻率有著特殊的要求，一般表現(xiàn)為要求支架一階固有頻率大于某一特定值，才能保證設(shè)備可靠工作。因此，可以說機(jī)載設(shè)備安裝支架動(dòng)力特性的優(yōu)劣關(guān)乎機(jī)體的結(jié)構(gòu)安全和設(shè)備工作的可靠性。

在保證結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度的條件下，減輕結(jié)構(gòu)自重，增加有效載荷對(duì)飛行器有著極其重要的意義。本文對(duì)一種壁板結(jié)構(gòu)機(jī)載設(shè)備安裝支架進(jìn)行了動(dòng)力特性優(yōu)化。

1 結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)方程及其求解方法

1．1 結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)方程

典型的多自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)方程為：

其中：M，K，X分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及位移向量。

令X＝Aeωt，則式（1）可以轉(zhuǎn)化為矩陣M 和K 的廣義特征值問題：

其中：ω為結(jié)構(gòu)的固有頻率；特征向量A表示結(jié)構(gòu)的主振型。

因?yàn)锳≠0，由式（2）可得：

1．2 MSC．Nastran特征值求解方法

對(duì)于特征值和特征向量的求解，MSC．Nastran提供了3種算法：跟蹤法（Tracking method）、變換法（Transformation method）以 及 蘭 索 士 法 （lanczons method）。跟蹤法的實(shí)質(zhì)是迭代法，變換法是通過矩陣變換的方法求解特征值，蘭索士法是一種將跟蹤法和變換法結(jié)合起來的新的特征值解法。其中，跟蹤法又分為逆冪法（INV）和移位逆冪法（SINV）；變換法又分為HOU法、GIV法以及修正的HOU法（MHOU）、修正的GIV法（MGIV）。

3種求解方法的使用范圍、求解特性、求解選項(xiàng)和計(jì)算量級(jí)的比較如表1所示。其中，N為剛度矩陣的維數(shù)，B為半帶寬，E為特征值個(gè)數(shù)。

由于蘭索士法的求解范圍大、不會(huì)存在丟根現(xiàn)象等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)考慮支架計(jì)算量不大以及只計(jì)算結(jié)構(gòu)低階固有頻率等工程實(shí)際特點(diǎn)，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中本文選擇蘭索士法求解固有頻率，這也是MSC．Nastran推薦和默認(rèn)的求解方法。

表1 特征值求解方法比較

2 優(yōu)化模型

2．1 結(jié)構(gòu)簡介

設(shè)計(jì)如圖1所示的加筋壁板結(jié)構(gòu)形式的機(jī)載設(shè)備安裝支架，在壁板周緣和內(nèi)部布置“井”字形加強(qiáng)筋，以提高壁板剛度。在壁板左前位置開設(shè)方形孔，用以機(jī)載設(shè)備的地面維護(hù)。支架采用7070－T7451預(yù)拉伸硬鋁合金板材機(jī)加工成形，通過周邊的8個(gè)M6螺栓與機(jī)體連接。

圖1 機(jī)載設(shè)備安裝支架結(jié)構(gòu)簡圖

2．2 設(shè)計(jì)變量

加筋壁板結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)主要有壁板長度L、寬度W、高度H、筋條的數(shù)量及布置形式、底板壁厚t1、周邊緣條壁厚t2、內(nèi)部縱向筋條壁厚t3和橫向筋條壁厚t4等。

由于機(jī)體結(jié)構(gòu)接口尺寸的限制及機(jī)載設(shè)備布局要求，壁板的L、W、H、R通常是確定的參數(shù)即為常量，同時(shí)，設(shè)計(jì)方案已經(jīng)確定了筋條的數(shù)量和布置形式，本文不涉及結(jié)構(gòu)的形狀或拓?fù)鋬?yōu)化，因此選擇t1，t2，t3和t4作為設(shè)計(jì)變量。

2．3 目標(biāo)函數(shù)和約束條件

建立的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是在滿足結(jié)構(gòu)一階固有頻率的約束條件下，使結(jié)構(gòu)重量極小化?？紤]機(jī)體結(jié)構(gòu)和機(jī)載設(shè)備對(duì)支架固有頻率的要求，約束條件設(shè)計(jì)為支架的一階固有頻率在145Hz～150Hz之間，同時(shí)考慮機(jī)械加工的工藝性，對(duì)設(shè)計(jì)變量的下限作了約束，即最小設(shè)計(jì)壁厚均取為1．5mm。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可簡記為：

其中：G（X）為支架結(jié)構(gòu)自重函數(shù)；A1，A2，A3，A4分別表示支架底板面積、周邊緣條截面積、縱向筋條截面積、橫向筋條截面積；ρ為材料密度；ω1為支架的一階固有頻率。

3 基于MSC．Patran／Nastran的動(dòng)力特性優(yōu)化計(jì)算

3．1 計(jì)算流程和有限元模型

基于MSC．Patran／Nastran進(jìn)行動(dòng)力特性優(yōu)化計(jì)算，在求解前首先在Patran中創(chuàng)建結(jié)構(gòu)的有限元模型，并定義結(jié)構(gòu)的材料、單元屬性和邊界條件等；然后，定義結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量并賦初值，定義設(shè)計(jì)變量的區(qū)間范圍，定義優(yōu)化分析的目標(biāo)函數(shù)、約束條件和迭代次數(shù)等；最后，設(shè)置求解參數(shù)和分析類型，調(diào)用Nastran動(dòng)力優(yōu)化模塊SOL 200進(jìn)行求解，并提取計(jì)算結(jié)果文件在Patran中進(jìn)行后處理。動(dòng)力特性優(yōu)化分析典型的有限元求解流程如圖2所示。

圖2 動(dòng)力特性優(yōu)化的有限元求解流程圖

在MSC．Patran中建立的加筋壁板結(jié)構(gòu)支架的有限元模型如圖3所示。模型共包含1 620個(gè)節(jié)點(diǎn)、1 482個(gè)四節(jié)點(diǎn)四邊形殼單元。邊界約束條件是對(duì)8處與機(jī)體連接的節(jié)點(diǎn)作固結(jié)約束。

3．2 計(jì)算結(jié)果

計(jì)算采用 MSC In House Optimizer，優(yōu)化算法選擇為 Mod．Method Feasible Dir．（MMFD），設(shè)計(jì)變量初值均賦為4，最大迭代設(shè)計(jì)次數(shù)設(shè)置為30。設(shè)計(jì)變量經(jīng)過各次迭代的取值如表2所示，圖4為設(shè)計(jì)變量變化曲線，目標(biāo)函數(shù)即支架結(jié)構(gòu)自重變化曲線如圖5所示。

表2 設(shè)計(jì)變量變化值

3．3 計(jì)算結(jié)果的校核

以設(shè)計(jì)變量經(jīng)過5次迭代后的最優(yōu)值作為分析參數(shù)，結(jié)構(gòu)的材料特性、單元特性、邊界條件及網(wǎng)格劃分不變，校核結(jié)構(gòu)的固有頻率。計(jì)算結(jié)果表明：優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的一階固有頻率為145．59Hz，在頻率約束區(qū)間范圍內(nèi)，并接近區(qū)間下限。

圖4 設(shè)計(jì)變量變化曲線

圖5 目標(biāo)函數(shù)變化曲線

4 結(jié)論

（1）在結(jié)構(gòu)形式確定的情況下，對(duì)一種壁板結(jié)構(gòu)機(jī)載設(shè)備安裝支架的動(dòng)力特性進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，快速而準(zhǔn)確地確定了支架的底板壁厚、周邊筋條壁厚及內(nèi)部筋條壁厚等結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)，不但使結(jié)構(gòu)低階固有頻率滿足要求，而且此時(shí)結(jié)構(gòu)自重最輕，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)，較好地解決了工程實(shí)際問題。

（2）以設(shè)計(jì)變量經(jīng)過迭代后的最優(yōu)值作為分析參數(shù)，校核結(jié)構(gòu)的一階固有頻率，確認(rèn)了優(yōu)化結(jié)果的可信性，本文可作為同類結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的參考。

［1］ 陳建軍，車建文，崔明濤．結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)述評(píng)與展望［J］．力學(xué)進(jìn)展，2001，31（2）：181－192．

［2］ 錢令希．工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)［M］．北京：水利電力出版社，1983．

［3］ 田利思，李相輝，馬越峰，等．MSC Nastran動(dòng)力分析指南［M］．北京：中國水利水電出版社，2012．

［4］ 薛運(yùn)虎．基于演化算法的結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)研究［D］．北京：北京郵電大學(xué)，2011：3－7．