林濤濤，陳 雋1,，李 想，張曉琴

(1.土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實驗室，上海 200092； 2.同濟(jì)大學(xué)，上海 200092)

風(fēng)致結(jié)構(gòu)疲勞是細(xì)長高聳鋼制結(jié)構(gòu)如天線、電視塔、燈柱、桅桿等重要的設(shè)計問題。據(jù)統(tǒng)計，既有結(jié)構(gòu)80%以上的破壞由疲勞產(chǎn)生[1]。結(jié)構(gòu)風(fēng)致疲勞分析方法主要有時域法、頻域法和時-頻域法。時域法通過結(jié)構(gòu)動力分析首先獲得考察點(diǎn)處的應(yīng)力響應(yīng)時程，再由循環(huán)計數(shù)法(如雨流法)來確定損傷值，計算可靠但效率低。頻域法基于隨機(jī)振動理論直接獲得關(guān)鍵點(diǎn)應(yīng)力響應(yīng)的統(tǒng)計特性，常用的有等效窄帶法[2]和上下限法[3]，計算效率較高。時-頻域法綜合了時域法的精確性和頻域法的高計算效率[4]，先通過隨機(jī)振動理論得到關(guān)鍵點(diǎn)的應(yīng)力響應(yīng)功率譜，再用Monte Carlo方法模擬應(yīng)力過程，最后由雨流計數(shù)法獲得損傷值。

已有研究表明，風(fēng)向的分布對結(jié)構(gòu)疲勞壽命的預(yù)測有重要影響，忽略風(fēng)向會低估結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。目前一般采用風(fēng)速風(fēng)向分離的離散區(qū)格方式考慮風(fēng)向的影響，即先將風(fēng)向分為若干區(qū)間(如常用的16風(fēng)向區(qū)間)，區(qū)間內(nèi)再按風(fēng)速大小分為若干區(qū)格。區(qū)格內(nèi)采用一般算法計算風(fēng)致疲勞損傷值，并以區(qū)格內(nèi)風(fēng)速發(fā)生概率作為損傷權(quán)重系數(shù)，再將區(qū)格損傷值累加得到總的損傷值。這種處理方式雖然考慮了風(fēng)向的影響，然而各區(qū)格之間的風(fēng)速函數(shù)在交界處不連續(xù)，同時區(qū)格大小(數(shù)量)的劃分受風(fēng)速資料多少的限制。這些都會影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。因而，如何在風(fēng)致結(jié)構(gòu)疲勞壽命計算中更合理準(zhǔn)確地考慮風(fēng)速風(fēng)向的聯(lián)合作用是一個值得深入研究問題。

本文利用對風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)(Joint Probability Density Function of wind speed and wind direction，簡稱JPDF)的研究成果[5]，并結(jié)合等效窄帶法，將區(qū)格離散型的疲勞損傷累加求和公式推廣為連續(xù)型積分公式，理論上使得風(fēng)致疲勞壽命計算更為合理和精確。通過將該方法用于一個圓形鋼質(zhì)天線模型的風(fēng)致疲勞壽命計算,證明了方法的可行性。

1 基于連續(xù)型JPDF的風(fēng)振疲勞頻域分析方法

本節(jié)通過將JPDF和等效窄帶法結(jié)合，推導(dǎo)新的風(fēng)致疲勞壽命計算方法。

1.1 微分區(qū)間的損傷值

如前所述，目前一般在風(fēng)速風(fēng)向區(qū)間間隔(v

圖1 微分區(qū)間和區(qū)間間隔處理方式比較示意圖

根據(jù)等效窄帶法的假定，疲勞驗算點(diǎn)處的應(yīng)力過程S(t)為零均值、窄帶平穩(wěn)高斯過程，則微分區(qū)間(v

(1)

式中，S是應(yīng)力范圍；σSv,θ是相應(yīng)于微分區(qū)間(v

NSm=K

(2)

式中，m、K是和材料有關(guān)的常數(shù)；N是相應(yīng)于常應(yīng)力范圍S時直到發(fā)生疲勞破壞的循環(huán)次數(shù)。

相應(yīng)于微分區(qū)間(v

(3)

(4)

式中，α0v,θ、α2v,θ分別是相應(yīng)于微分區(qū)間(v

由式(3)和式(4)，可得到相應(yīng)于風(fēng)速風(fēng)向的聯(lián)合微分區(qū)間(v

(5)

則當(dāng)應(yīng)力范圍區(qū)間為(0,+∞)時，窄帶過程的損傷值為：

(6)

將式(1)代入式(6)，則相應(yīng)于微分區(qū)間(v

(7)

式中，Γ(*)為Gamma函數(shù)。

1.2 寬帶修正

對于寬帶高斯應(yīng)力過程采用式(7)時需對損傷預(yù)測值進(jìn)行修正。根據(jù)文獻(xiàn)[2]，可由實際應(yīng)力功率譜的譜矩確定一個經(jīng)驗上的寬帶修正系數(shù)λv,θ，以此來修正窄帶過程而得到寬帶過程的損傷值：

(8)

式中，λv,θ是相應(yīng)于微分區(qū)間(v

λv,θ=a+(1-a)(1-εv,θ)b

(9)

式中，a,b是與材料有關(guān)的參數(shù)，其分別由式(10)和式(11)確定；εv,θ是相應(yīng)微分區(qū)間(v

a=0.926-0.033m

(10)

b=1.587m-2323

(11)

(12)

1.3 全部風(fēng)速風(fēng)向區(qū)間內(nèi)的累積損傷計算

結(jié)合風(fēng)速風(fēng)向JPDF，在風(fēng)速風(fēng)向微分區(qū)間(v

Pv,θ=fV,Θ(v,θ)dvdθ

(13)

式中，fV,Θ(v,θ)為風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)。

則在全風(fēng)速風(fēng)向區(qū)間(0

(14)

令D=1，由式(14)可得連續(xù)積分形式的疲勞壽命計算公式為：

(15)

在文獻(xiàn)[7]給出了公式(1)-(15)的全部推導(dǎo)過程和細(xì)節(jié)。

1.4 與離散區(qū)格公式的區(qū)別及聯(lián)系

以上推導(dǎo)時若采用風(fēng)速風(fēng)向區(qū)間間隔(v

(16)

對于式(16)，令D=1，可得求和累加形式的疲勞壽命計算公式為：

(17)

比較式(14)和(16)，式(15)和(17)可知，由于引入了JPDF函數(shù)，損傷計算的區(qū)格累加形式變成了整個風(fēng)速風(fēng)向空間上的連續(xù)積分形式，使得疲勞損傷和疲勞壽命的計算在理論上更加合理。雙重連續(xù)積分形式在數(shù)值計算中可以任意設(shè)置數(shù)值離散積分間隔，可以達(dá)到滿意的精度；而雙重累加形式和風(fēng)速風(fēng)向頻度統(tǒng)計有關(guān)，要想達(dá)到滿意的精度，又需要重新統(tǒng)計風(fēng)速風(fēng)向頻度資料。此外，區(qū)隔累加形式的風(fēng)速上限值為實測統(tǒng)計資料中的最大風(fēng)速，而JPDF可選用任何合理的形式，從而包括更大風(fēng)速情況的影響。以上這些特點(diǎn)都可提高疲勞損傷計算的精度。

2 JPDF的選取

文獻(xiàn)[5]對現(xiàn)有的風(fēng)速風(fēng)向的聯(lián)合分布函數(shù)模型以及它們的適用性進(jìn)行了詳細(xì)地討論。主要模型包括：經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀^(qū)間模型、雙高斯模型、角-線性模型、Farilie-Gumbel-Morgensternmoxign (FGM)模型和Simple C-Type Distribution (SC模型)等。本文采用文獻(xiàn)[5]推薦的FGM模型。

2.1 FGM模型

直接引入風(fēng)速隨機(jī)變量V和風(fēng)向隨機(jī)變量Θ，根據(jù)文獻(xiàn)[9]的研究，F(xiàn)GM模型的通用表達(dá)式為：

FV,Θ(v,θ)=FV(v)×

FΘ(θ)[1+δ(1-FV(v))(1-FΘ(θ))]

(18)

式中，v、θ是風(fēng)速值和角度值；FV,Θ(v,θ)是風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合累積分布函數(shù)(JCDF)；FV(v)是風(fēng)速累積分布函數(shù)(CDF)；FΘ(θ)是風(fēng)向CDF；δ是表示風(fēng)速、風(fēng)向之間聯(lián)合作用大小的相關(guān)性系數(shù)，其值在-1≤δ≤1之間，|δ|越小說明風(fēng)速、風(fēng)向之間的相關(guān)性越小，反之則越大。

式(18)兩邊分別對v和θ求偏導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過化簡整理，得到風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)(JPDF)的表達(dá)式為：

fΘ(θ){1+δ[1-2FV(v))(1-2FΘ(θ)]}

(19)

式中，fV,Θ(v,θ)是風(fēng)速風(fēng)向JPDF；fV(v)是風(fēng)速概率密度函數(shù)(PDF)；fΘ(θ)是風(fēng)向PDF。

2.2 風(fēng)速PDF模型和風(fēng)向PDF模型

上述計算中需要風(fēng)速和風(fēng)向的概率密度函數(shù)模型。其中風(fēng)速PDF模型取為正態(tài)-威布爾分布(Normal-Weibull distribution，NW模型)為：

φ1,φ2)+

-∞≤v≤∞

(20)

(21)

φ1,φ2)dv

(22)

式中，ω0為Normal分布模型所占的權(quán)重；α、β分別為Weibull分布模型中的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)；φ1、φ2是和隨機(jī)變量單位一致的參數(shù)。

風(fēng)向PDF取混合von Mises模型[10]：

0≤θ≤2π

(23)

(24)

I0(κj)=

(25)

式中，fΘ(θ)是風(fēng)向PDF；N是混合von Mises模型的組成個數(shù)，本文取N=5；ωj為第j個von Mises模型所占的權(quán)重，滿足式(24)；κj和μj是兩個參數(shù)，分別滿足κj≥0、0≤μj<2π；I0(κj)是0階修正的第1類Bessel函數(shù)。

3 實例分析

3.1 實例概況

分析實例采用文獻(xiàn)[11]D類地區(qū)某超高層建筑上的鋼質(zhì)天線結(jié)構(gòu)，該超高層結(jié)構(gòu)的頂部標(biāo)高(即天線底部標(biāo)高)為246 m，天線結(jié)構(gòu)總高為87 m，結(jié)構(gòu)分為三段，從下往上三段天線的長度分別為34 m、27 m、26 m，三段天線對應(yīng)的截面外徑分別為2.4 m、1.75 m、1 m，三段天線對應(yīng)的截面壁厚分別為3 cm、2.5 cm、2 cm(見圖2)。天線所用鋼材的質(zhì)量密度為7.85×103kg/m3；結(jié)構(gòu)阻尼采用Rayleigh阻尼，阻尼矩陣由質(zhì)量矩陣和剛度矩陣決定，即[C]=a[M]+b[K]，a,b為常數(shù)，對于鋼質(zhì)天線結(jié)構(gòu)，取前4階的阻尼比為0.01。結(jié)構(gòu)動力特性分析采用集中質(zhì)量法。在僅考慮順風(fēng)向荷載作用下，圓形截面結(jié)構(gòu)的風(fēng)致疲勞壽命較低的關(guān)鍵點(diǎn)(即最危險關(guān)鍵點(diǎn))往往出現(xiàn)在風(fēng)向發(fā)生頻度較高的位置(關(guān)于圓心對稱的關(guān)鍵點(diǎn)的疲勞壽命也較低)，則根據(jù)風(fēng)速風(fēng)向發(fā)生概率，所取關(guān)鍵點(diǎn)位置與X軸夾角分別為90°、120°、130°(見圖2)。順風(fēng)向脈動風(fēng)速譜采用Kaimal譜，順風(fēng)向空間相關(guān)函數(shù)采用Shiotani模型。

天線結(jié)構(gòu)的振動有X和Y兩個方向，且質(zhì)量和剛度關(guān)于X和Y兩個方向都是對稱的，這大大簡化了整個分析和計算過程。在此規(guī)定，奇數(shù)階振型和頻率是X方向的，偶數(shù)階振型和頻率是Y方向的。前6階頻率見表1。

計算步驟：①整理風(fēng)速風(fēng)向?qū)崪y數(shù)據(jù)；②使用Mathcad軟件擬合風(fēng)速PDF和風(fēng)向PDF模型參數(shù)，獲得模型表達(dá)式；③使用Matlab軟件擬合JPDF模型中的相關(guān)性系數(shù)，獲得JPDF表達(dá)式；④分析實例的動力特性；⑤選擇控制截面及控制點(diǎn)；⑥編程計算疲勞壽命。

圖2 鋼天線模型

表1 前6階頻率表

JPDF模型參數(shù)的計算數(shù)據(jù)為上海龍華氣象站1956年1月1日至1990年12月31日全部12784天10米高度處的日最大風(fēng)速值(10分鐘平均時距)和相應(yīng)的風(fēng)向記錄的統(tǒng)計結(jié)果。為了避免不同樣本值之間的相關(guān)性，按照階段極值抽樣方法，抽取8天時間間隔的極值風(fēng)速組成極值子樣[12]。

采用Mathcad軟件進(jìn)行風(fēng)速PDF和風(fēng)向PDF各參數(shù)的擬合，采用Matlab軟件進(jìn)行相關(guān)性系數(shù)δ的擬合。需要注意的是參數(shù)擬合屬于最優(yōu)化問題，當(dāng)擬合初值不同時，參數(shù)擬合結(jié)果會有所不同，但擬合優(yōu)度R2接近。

風(fēng)速PDF和風(fēng)向PDF各參數(shù)的擬合結(jié)果分別見表2和表3。FGM模型中的相關(guān)性系數(shù)δ的擬合結(jié)果為0.0993125。擬合優(yōu)度達(dá)到0.970350，可見FGM模型的精度是相當(dāng)令人滿意的。圖3和圖4分別是實測的JPDF和擬合的JPDF,比較看出，擬合效果相當(dāng)好。

表2 風(fēng)速PDF模型參數(shù)擬合值

表3 風(fēng)向PDF模型參數(shù)擬合值

圖3 實測的JPDF

圖4 擬合的JPDF

圖5 第二變截面關(guān)鍵點(diǎn)2處不同風(fēng)速風(fēng)向角下的應(yīng)力功率譜

3.3 疲勞壽命估算

在數(shù)值計算時，風(fēng)向角度間隔取為15°，10 m高度處的風(fēng)速間隔取1 m/s；風(fēng)速的上限值取10 m高度處對應(yīng)的20 m/s，此上限值已經(jīng)足夠滿足數(shù)值積分的精度要求；根據(jù)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范 GB 50017-2003》，假定構(gòu)件類別為第8類，則參數(shù)K取值為4.1×1011，參數(shù)m取值為3。

根據(jù)風(fēng)速風(fēng)向JPDF的分布形式，考慮風(fēng)向發(fā)生概率等綜合因素，所選取的疲勞分析關(guān)鍵點(diǎn)位置為天線結(jié)構(gòu)最外邊緣，且與X軸方向夾角分別為90°、120°、130°。計算截面分別為底部截面、第一變截面、第二變截面，如圖2所示。

圖5給出了天線結(jié)構(gòu)底部截面和第二變截面關(guān)鍵點(diǎn)2處在不同風(fēng)速風(fēng)向角下的應(yīng)力功率譜圖，風(fēng)速是10 m高度處的風(fēng)速，從圖中可以看出隨著風(fēng)速的增大，應(yīng)力功率譜值是增大的；在結(jié)構(gòu)對應(yīng)的自振頻率處，其功率譜值達(dá)到峰值。

根據(jù)連續(xù)積分形式的疲勞壽命計算公式(15)，計算得到底部截面、第一變截面和第二變截面各關(guān)鍵點(diǎn)的疲勞壽命，見表4。最終認(rèn)為頻域計算方法估算的疲勞壽命為：173.89年。

表4 關(guān)鍵點(diǎn)疲勞壽命(單位：年)

4 結(jié) 論

本文結(jié)合連續(xù)型的風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率密度函數(shù)(JPDF)，推導(dǎo)了基于等效窄帶法的連續(xù)積分形式的疲勞壽命計算公式，使得疲勞壽命的估算公式在理論上變得更加合理準(zhǔn)確。應(yīng)用于實例工程的疲勞壽命預(yù)測表明了連續(xù)積分形式計算公式的可行性。為更加精確的疲勞壽命估算提出了一條新思路。

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