梁明軒，袁惠群,，蔡穎穎

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819；2.東北大學(xué) 理學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

旋轉(zhuǎn)機(jī)械的廣泛應(yīng)用使得滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究和振動(dòng)分析顯得越來(lái)越重要，為了滿足滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速與高精度設(shè)計(jì)要求，轉(zhuǎn)子偏置位置、圓盤擺振以及軸承游隙變化逐漸成為不可忽視的影響因素。

滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模過(guò)程中最基礎(chǔ)的一步在于對(duì)軸承非線性分析模型的建立。Yamamoto等[1-2]研究了滾動(dòng)軸承VC振動(dòng)，將對(duì)稱剛性轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化為受旋轉(zhuǎn)載荷作用的滾動(dòng)軸承，對(duì)軸承徑向游隙引起非線性振動(dòng)進(jìn)行了研究；Harris[3]完善并發(fā)展了滾動(dòng)軸承的擬動(dòng)力學(xué)分析理論，成為目前絕大多數(shù)滾動(dòng)軸承非線性分析模型的首選；Jedrzejewski等[4]亦在Harris的基礎(chǔ)上，著重分析了離心力和陀螺效應(yīng)對(duì)角接觸球軸承剛度及變形的影響規(guī)律。張耀強(qiáng)等[5]利用滾動(dòng)軸承-Jeffcott剛性轉(zhuǎn)子模型研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應(yīng)；陳果[6-7]重點(diǎn)研究了含多故障的滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性；鄧四二等[8]建立了航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承耦合動(dòng)力學(xué)模型，考慮了低壓轉(zhuǎn)子與高壓轉(zhuǎn)子之間的中介軸承游隙以及支承軸承參數(shù)，運(yùn)用Newmark有限元法求解了系統(tǒng)響應(yīng)。然而，這些研究主要側(cè)重于軸承VC振動(dòng)以及轉(zhuǎn)子非線性響應(yīng)，忽略了轉(zhuǎn)子偏置和圓盤擺振的影響。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合振動(dòng)方面，沈松等[9]考慮圓盤擺振的影響，研究了非穩(wěn)態(tài)油膜力支承下的非對(duì)稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速的分岔規(guī)律；李永強(qiáng)等[10]研究了滑動(dòng)軸承支承下的碰摩轉(zhuǎn)子彎扭擺耦合非線性振動(dòng)，但未考慮轉(zhuǎn)子偏置引起的系統(tǒng)剛度變化；袁惠群等[11]通過(guò)對(duì)磁懸浮軸承非線性力的線性化，建立了磁懸浮軸承彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)非線性電流控制模型。然而這些轉(zhuǎn)子模型中雖然計(jì)入了圓盤擺振因素，但沒(méi)有深入分析不同圓盤偏置位置對(duì)系統(tǒng)渦擺耦合振動(dòng)的影響規(guī)律，且大多為滑動(dòng)軸承支承或者對(duì)軸承非線性力做線性化處理，有的則直接采用剛性支承模型。

基于上述原因，本文通過(guò)引入轉(zhuǎn)子偏置量和圓盤擺振，推導(dǎo)了滾動(dòng)軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，基于滾動(dòng)軸承非線性赫茲接觸力模型，對(duì)不同偏置量下系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與比較，結(jié)合非線性理論，詳細(xì)討論了轉(zhuǎn)子偏置、圓盤擺振和滾動(dòng)軸承游隙之間的相互影響規(guī)律。該研究可為滾動(dòng)軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速與高精度設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 滾動(dòng)軸承-偏置轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模

考慮轉(zhuǎn)子圓盤偏置引起的陀螺效應(yīng)和滾動(dòng)軸承非線性力，基于Jeffcott轉(zhuǎn)子建立滾動(dòng)軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，忽略軸的質(zhì)量，軸長(zhǎng)為l，直徑為d，偏置剛性薄圓盤距左軸承A的距離為a，設(shè)a為轉(zhuǎn)子偏置量，圓盤質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為md、Jp和Jd，質(zhì)量偏心距為e，所受重力為W，兩端滾動(dòng)軸承A和B的集中質(zhì)量分別為mA和mB。

圖1 滾動(dòng)軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖2 歐拉角示意圖

以轉(zhuǎn)子左側(cè)支承的靜平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxyz，轉(zhuǎn)子軸向方向?yàn)镺z軸，垂直方向?yàn)镺y軸，水平方向?yàn)镺x軸。在轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，兩支承中心坐標(biāo)分別為(xA,yA)和(xB,yB)，圓盤形心坐標(biāo)為O’(x,y)，質(zhì)心為O’e，當(dāng)轉(zhuǎn)軸變形后，圓盤軸線與支點(diǎn)AB連線的夾角為ψ，圓盤繞x，y軸的偏擺角分別為β和α，設(shè)轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)角速度為ω，渦動(dòng)角速度為Ω，則圓盤的陀螺力矩為[12]：

Mg=JpωΩsinψ

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，E為轉(zhuǎn)軸彈性模量，I為轉(zhuǎn)軸截面慣性矩，則Kc=a-1。

設(shè)圓盤各方向阻尼互不耦合，大小為c，滾動(dòng)軸承在x和y方向的阻尼為cb，圓盤與兩端支承總耗散能為

(5)

穩(wěn)態(tài)渦動(dòng)時(shí)滾動(dòng)軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有8個(gè)自由度，由Lagrange方程得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性有阻尼渦擺耦合運(yùn)動(dòng)微分方程

(6)

Q為轉(zhuǎn)子不平衡力向量，F(xiàn)為軸承非線性赫茲接觸力向量，W為重力場(chǎng)向量。

2 滾動(dòng)軸承非線性赫茲接觸力模型

圖3 滾動(dòng)球軸承動(dòng)力學(xué)模型

滾動(dòng)球軸承動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示，假設(shè)軸承滾動(dòng)體等距排列且做純滾動(dòng)，外圈滾道半徑為Ro，內(nèi)圈滾道半徑為Ri，軸承游隙為μ0，滾動(dòng)體數(shù)目為Nb，外圈角速度為ωout，內(nèi)圈角速度為ωin，保持架角速度為ωcage。由軸承的運(yùn)動(dòng)關(guān)系得ωout=0，ωin=ω，則

(7)

設(shè)φj為任意t時(shí)刻第j個(gè)滾動(dòng)體角位置

(8)

式中，j=1,2,3…Nb，φ0為滾動(dòng)體初始角位置，取φ0=0。滾動(dòng)體的接觸變形量可表示為

δj=xAcosφj+yAsinφj-μ0

(9)

根據(jù)滾動(dòng)軸承非線性赫茲接觸理論[3]，滾動(dòng)體與滾道發(fā)生接觸時(shí)產(chǎn)生的非線性接觸力為

(10)

式中，kb為滾動(dòng)體與滾道之間的赫茲接觸剛度，λ為滾動(dòng)體與滾道接觸類型相關(guān)的系數(shù)，點(diǎn)接觸λ取3/2，線接觸λ取10/9?？紤]到接觸力的非負(fù)性，當(dāng)δj≤0時(shí)，表示無(wú)接觸力產(chǎn)生，當(dāng)δj>0時(shí)表示有接觸力產(chǎn)生。軸承A非線性赫茲接觸力表示為

(11)

式中，H(·)表示亥維塞函數(shù)

3 滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦擺耦合振動(dòng)特性分析

參數(shù)選取：md=34.6 kg，mA=mB=2 kg，e=30 μm，Jp=0.7 kg·m2，Jd=0.35 kg·m2，l=0.5 m，d=40 mm，E=2.09×105MPa，c=2 100 N·s/m，cb=1 050 N·s/m。滾動(dòng)球軸承的參數(shù)選取參考了文獻(xiàn)[2,7]，具體參數(shù)如表1所示。

表1 滾動(dòng)軸承主要參數(shù)

3.1 轉(zhuǎn)子偏置對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

圖4為轉(zhuǎn)子偏置量a=l/3，a=l/5和a=l/7時(shí)未考慮圓盤擺振和考慮圓盤擺振情況下圓盤x方向位移隨轉(zhuǎn)速ω的分岔圖。

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖

從圖4中各響應(yīng)圖可以看出，轉(zhuǎn)子在某一轉(zhuǎn)速附近都有位移響應(yīng)值突然增大的現(xiàn)象，此時(shí)對(duì)應(yīng)著轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速與共振峰值；通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，考慮圓盤擺振時(shí)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特征明顯增強(qiáng)，且轉(zhuǎn)子偏置程度越大(即a越小)，系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速下的非線性特征越明顯。

表2為a=l/7時(shí)未考慮圓盤擺振和考慮圓盤偏擺情況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)。

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)

圖5為轉(zhuǎn)子偏置量a=l/2和a=l/7時(shí)圓盤偏擺角α隨轉(zhuǎn)速ω響應(yīng)圖，可以看出轉(zhuǎn)子對(duì)稱放置(a=l/2)時(shí)受支承兩端不同非線性軸承力的影響，圓盤亦會(huì)產(chǎn)生小幅擺振；圓盤偏擺角隨轉(zhuǎn)速的響應(yīng)規(guī)律與圓盤位移的響應(yīng)規(guī)律相似。

圖5 圓盤偏擺角α分岔圖

圖6(a)、(b)和(c)為偏置量a=l/7情況下，轉(zhuǎn)速ω=780 rad/s，ω=2 200 rad/s和ω=2 255 rad/s的相圖與Poincaré圖，可以看出三種轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)分別處于周期2、擬周期和周期5運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

3.2 轉(zhuǎn)子偏置對(duì)系統(tǒng)頻率的影響

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中包含兩個(gè)不同基本頻率成分，一個(gè)是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，可表示為

(12)

另一個(gè)是滾動(dòng)軸承VC振動(dòng)頻率，這是由于滾動(dòng)體通過(guò)載荷區(qū)，軸承徑向剛度不相等造成的，可表示為

(13)

式中，BN為滾動(dòng)軸承VC振動(dòng)參數(shù)，可由軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)求出，本文中BN=3.47。

圖7為偏置量a=l/7，ω=30 rad/s時(shí)轉(zhuǎn)子x方向響應(yīng)圖。可以看出由于轉(zhuǎn)速較低，轉(zhuǎn)子不平衡引起的轉(zhuǎn)軸彎曲程度很小，在頻譜圖中對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率幅值很小，此時(shí)系統(tǒng)頻率成分主要表現(xiàn)為軸承VC振動(dòng)頻率及其2倍頻。

圖6 相圖和Poincaré圖

圖7 轉(zhuǎn)子響應(yīng)圖

圖8(a)和(b)為a=l/7，ω=2 040 rad/s時(shí)未考慮圓盤偏擺和考慮偏擺情況下轉(zhuǎn)子響應(yīng)圖，此時(shí)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速較高，軸承VC振動(dòng)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸彎曲振動(dòng)小很多，系統(tǒng)頻率主要為轉(zhuǎn)動(dòng)頻率；但考慮圓盤擺振時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的分頻成分，可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)的周期3運(yùn)動(dòng)主要是由于圓盤偏擺造成的。

為了分析轉(zhuǎn)子偏置程度對(duì)系統(tǒng)中各頻率成分的影響，選取ω=150 rad/s，該轉(zhuǎn)速不同頻率成分在各偏置量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中均有體現(xiàn)。圖9為ω=150 rad/s，偏置量分別為a=l/2，a=l/3，a=l/5，a=l/7和a=l/9情況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)頻譜圖。

從圖9可以看出該轉(zhuǎn)速下不同偏置量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中同時(shí)存在轉(zhuǎn)動(dòng)頻率fω和軸承VC頻率fVC以及它們和或者差的組合頻率；通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，隨著偏置程度的增大，轉(zhuǎn)動(dòng)頻率幅值逐漸減小，VC頻率與轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的差頻率逐漸消失，而兩者的和頻率逐漸出現(xiàn)；當(dāng)a=l/9時(shí)，系統(tǒng)中又出現(xiàn)了2倍VC頻率與轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的和頻率。

3.3 軸承游隙對(duì)系統(tǒng)渦擺耦合振動(dòng)的影響

取軸承游隙μ0在-10-40 μm內(nèi)變化，分析軸承游隙對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦擺耦合振動(dòng)的影響規(guī)律。圖10為不同偏置量下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速ωn隨軸承游隙μ0的變化情況。

圖9 不同偏置量下頻譜圖

圖10 臨界轉(zhuǎn)速隨軸承游隙變化情況

從圖10可以看出，隨滾動(dòng)軸承游隙的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速呈遞減趨勢(shì)，且接近線性遞減。通過(guò)圖10可知不同偏置量下系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速隨軸承游隙的遞減速率，如表3所示。

表3 臨界轉(zhuǎn)速隨軸承游隙遞減速率

從表3可知，轉(zhuǎn)子偏置程度越大，系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速隨軸承游隙增加而遞減速率越大，表明臨界轉(zhuǎn)速對(duì)軸承游隙變化的敏感度越高，主要是由于增加軸承游隙相當(dāng)于減小了轉(zhuǎn)子的支承剛度，且圓盤偏置量越大，系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速受支承剛度的影響越大。圖11為不同偏置量下系統(tǒng)共振峰值X與圓盤最大偏擺角αmax隨滾動(dòng)軸承游隙μ0變化情況。

從圖11可以看出，隨滾動(dòng)軸承游隙的增加，對(duì)稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng) (a=l/2) 的共振峰值X并非單調(diào)變化，而是先增大后減小，圓盤最大偏擺角αmax呈增大趨勢(shì)；偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)(a=l/3，a=l/5，a=l/7) 的共振峰值X接近線性遞增，圓盤最大偏擺角αmax則先增大后減小。

4 結(jié) 論

為了分析轉(zhuǎn)子偏置，圓盤擺振以及軸承游隙等對(duì)滾動(dòng)軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，建立了滾動(dòng)軸承支承下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦擺耦合運(yùn)動(dòng)微分方程，通過(guò)對(duì)一定參數(shù)范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的對(duì)比分析，得出如下主要結(jié)論：

(1) 轉(zhuǎn)子偏置引起的圓盤擺振使系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性顯著增強(qiáng)，且偏置程度越大，圓盤擺振對(duì)系統(tǒng)非線性響應(yīng)的影響越明顯。

(2) 一定轉(zhuǎn)速下，不同偏置量下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在不同的頻率成分。隨著偏置程度的增大，轉(zhuǎn)動(dòng)頻率幅值會(huì)相對(duì)減小，軸承VC頻率與轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的差頻率逐漸消失，兩者的和頻率逐漸出現(xiàn)。

(3) 軸承游隙變化對(duì)不同偏置量的轉(zhuǎn)子渦擺耦合振動(dòng)規(guī)律的影響不同。轉(zhuǎn)子偏置程度越大，系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速對(duì)軸承游隙的敏感度越高；隨著軸承游隙的增加，對(duì)稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振峰值呈非單調(diào)性變化，而偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振峰值接近線性遞增。

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