許 靜， 蘇燕玲

(對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，北京100029)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是一門研究和探索客觀世界隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科，它以隨機(jī)現(xiàn)象為研究對象, 在經(jīng)濟(jì)、管理、金融、保險等領(lǐng)域都有非常重要的作用.隨著計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，以及功能強(qiáng)大的統(tǒng)計軟件的開發(fā)，這門學(xué)科得到了蓬勃的發(fā)展，在自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個領(lǐng)域應(yīng)用越來越廣泛.然而在學(xué)習(xí)中，學(xué)生普遍學(xué)習(xí)目的不明確，感覺學(xué)習(xí)困難，尤其不清楚該門課的應(yīng)用領(lǐng)域.針對課程中的有關(guān)內(nèi)容，穿插講解一些應(yīng)用實例會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使教學(xué)內(nèi)容不再枯燥、抽象，并能幫助學(xué)生加深對書本知識的理解，拓寬知識面，為其后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).

1 頻數(shù)的應(yīng)用—洛倫茨曲線

圖1 洛倫茨曲線

在社會經(jīng)濟(jì)調(diào)查中，經(jīng)常得到的數(shù)據(jù)是頻數(shù)，洛倫茨曲線是累積頻數(shù)的典型應(yīng)用[1].將居民收入按從低到高排列，各收入等級的家庭的累積百分比為橫坐標(biāo)，與之相對應(yīng)的收入的累積百分比為縱坐標(biāo)，得到的曲線就是西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的洛倫茨(Lorentz M E)曲線，如圖1所示.

圖1中，直線OM為絕對平等線，在這條線上，每10%的人得到10%的收入，表明收入分配完全平等.OPM表明收入分配極度不平等，全部收入集中在1個人手中，稱為絕對不平等線.介于二線之間的實際收入分配曲線就是洛倫茨曲線.洛倫茨曲線與絕對平等線OM越接近，收入分配越平等；與絕對不平等線OPM越接近，收入分配越不平等.

基尼系數(shù)是20世紀(jì)初意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家基尼根據(jù)洛倫茨曲線提出的判斷分配平等程度的指標(biāo).設(shè)表示實際收入分配的洛倫茨曲線和收入分配的絕對平等線之間的面積為A，洛倫茨曲線右下方的面積為B，基尼系數(shù)是用A除以(A+B)的商，表示不平等程度.如果A為零，基尼系數(shù)為零，表示收入分配完全平等；如果B為零則基尼系數(shù)為1，收入分配絕對不平等，故該系數(shù)在0和1之間取值.收入分配越是趨向平等，洛倫茨曲線的弧度越小，基尼系數(shù)也越小. 反之，收入分配越是趨向不平等，洛倫茨曲線的弧度越大，那么基尼系數(shù)也越大.基尼系數(shù)的具體計算還應(yīng)參考有關(guān)文獻(xiàn)[2].

國際上通常用基尼系數(shù)來判定收入分配均等程度.市場經(jīng)濟(jì)國家衡量收入差距的一般標(biāo)準(zhǔn)為：基尼系數(shù)在0.2以下表示絕對平均；0.2-0.3之間表示比較平均；0.3-0.4之間表示較為合理；0.4-0.5之間表示差距較大；0.5以上說明收入差距懸殊.國際上通常把0.4作為收入分配差距的“警戒線”.一般發(fā)達(dá)國家的基尼指數(shù)在0.24到0.36之間.2013年1月，國家統(tǒng)計局發(fā)布了2003-2012年中國內(nèi)地居民收入的基尼系數(shù)，依次為0.479，0.473，0.485，0.487，0.484，0.491，0.490，0.481，0.477，0.474，均已超過0.4的警戒線.基尼系數(shù)過大會帶來一系列的社會問題，應(yīng)引起各方面的關(guān)注.基尼系數(shù)在經(jīng)濟(jì)工作中可以作為一個綜合經(jīng)濟(jì)參數(shù)納入國家的計劃管理和宏觀調(diào)控之中.

2 正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用— 6σ管理

6σ(6SIGMA)管理，最早由摩托羅拉(Motorola)公司提出，后來由于通用電氣(GE)的積極推行，并取得市場價值第一的卓越業(yè)績，使6σ管理的理論逐漸完善，并且應(yīng)用實踐不斷推廣.

通常把生產(chǎn)流程或服務(wù)流程抽象為一條正態(tài)曲線[3]，設(shè)某質(zhì)量特性X～N(μ,σ2)，其特性值落在μ兩側(cè)各6σ之外的概率為

P{|X-μ| >6σ}=2-2Φ(6) =0.000000002

即十億分之二，這是一個小概率事件，通常在一次試驗中是不易發(fā)生的，一旦發(fā)生就認(rèn)為流程質(zhì)量發(fā)生了異常.通常當(dāng)考慮到1.5σ系統(tǒng)偏移[4](右偏或左偏)的影響后，質(zhì)量特性值超出規(guī)格上下限的不合格率就約等于百萬分之(ppm)3.4，即每百萬次機(jī)會中只有3.4個缺陷數(shù)，這正是6σ管理所采用的計算方法.作為一種衡量標(biāo)準(zhǔn)，σ的數(shù)量越多，質(zhì)量就越好.表1給出的是對美國企業(yè)的4σ質(zhì)量水平和6σ質(zhì)量水平的對比，可以看出從4σ質(zhì)量提高到6σ質(zhì)量的意義.

表1 4σ和6σ質(zhì)量水平的對比

6σ管理的基本原則是：提高顧客滿意度和降低資源成本,6σ管理逐步發(fā)展成為以顧客為主體來確定企業(yè)戰(zhàn)略目標(biāo)和產(chǎn)品開發(fā)設(shè)計的標(biāo)尺，追求持續(xù)進(jìn)步的一種質(zhì)量管理哲學(xué).

3 隨機(jī)變量函數(shù)分布的應(yīng)用—產(chǎn)生隨機(jī)樣本

對于一元連續(xù)型隨機(jī)變量有這樣的結(jié)論：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是F(x)，則隨機(jī)變量Y=F(X)服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布.

只要X是連續(xù)型隨機(jī)變量，無論服從什么分布，上述結(jié)論都是成立的.反之，若Y服從(0,1)上的均勻分布，對滿足條件的分布函數(shù)F(x) ，令X=F-1(Y)，則X的分布函數(shù)就是F(x) .這個結(jié)論在隨機(jī)模擬中起重要作用，只要能產(chǎn)生(0,1)上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)y，就能通過x=F-1(y) 產(chǎn)生服從分布函數(shù)為F(x)的隨機(jī)變量的樣本.

常用辦公軟件Excel的隨機(jī)數(shù)生成器可以生成均勻分布、正態(tài)分布、伯努利分布、二項分布、泊松分布的隨機(jī)數(shù)，卻無法生成其它一些常用分布的隨機(jī)數(shù)，而利用上面的概率知識能夠方便地得到諸如指數(shù)分布這樣的常用分布的隨機(jī)樣本.

例如，設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為

令Y=1-e-X，則Y服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布.若要隨機(jī)模擬X的一個容量為10的樣本，可以先用Excel的隨機(jī)數(shù)生成器產(chǎn)生服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布的一個容量為10的樣本，記做y1,y2,…,y10,如下

令xi=-ln(1-yi),i=1,2,…10,即得到服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的一個容量為10的樣本

利用這樣的模擬數(shù)據(jù)就可以進(jìn)行有關(guān)指數(shù)分布的研究了.

4 期望的應(yīng)用——最優(yōu)決策

數(shù)學(xué)期望刻畫了隨機(jī)變量取值的加權(quán)平均，是隨機(jī)變量的一個重要數(shù)字特征.最優(yōu)期望決策是一種常用的風(fēng)險決策，它根據(jù)各可選方案的收益(或損失)的期望值的大小選擇最優(yōu)方案.例如，某人有10萬元現(xiàn)金，有三種投資方式A，B，C，如想得到最大收益，他應(yīng)該選擇哪種投資方式？表2給出三種投資方式在一年中的投資成功的概率和獲利額，以及投資失敗的損失額.

表2 三種投資方式的對比

設(shè)A，B，C三種投資方式的收益分別為X，Y，Z，計算它們的數(shù)學(xué)期望，得

收益期望最大的是投資方式B，故應(yīng)該選擇B.

決定各方案取舍的決策標(biāo)準(zhǔn)不同，會產(chǎn)生不同的決策結(jié)果. 例如，有時需要控制損失量，就應(yīng)選擇損失的期望達(dá)到最小的方案.

5 置信區(qū)間的應(yīng)用——風(fēng)險價值

風(fēng)險價值VaR (Value at Risk)是指資產(chǎn)或負(fù)債暴露于風(fēng)險中的部分，是目前市場上最流行、最為有效的風(fēng)險管理技術(shù).其常規(guī)的定義是：在正常市場條件下和一定置信水平(如99%或95%)下計算出的給定時間段內(nèi)預(yù)期發(fā)生的最大價值損失量.VaR的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

P{X≥-VaR}=1-α，

其中X表示投資或證券組合在持有期t內(nèi)的收益，X不低于-VaR的概率是1-α，說明損失大于VaR的概率為α，即

P{X<-VaR}=α.

例如，MorganJ P公司1994年年報披露[5]，1994年該公司一天的95%的VaR是1500萬美元，其含義是，該公司可以以95%的概率保證，在1994年每一特定的時點上的證券組合在未來的24小時內(nèi)，由于市場波動而帶來的損失不會超過1500萬美元.

計算VaR需要三個量，置信水平1-α，持有期限t，收益X的概率分布函數(shù)F(x)，核心是確定F(x).一種確定F(x)的方法是參數(shù)法：假設(shè)X服從正態(tài)分布，然后估計其中的參數(shù)，從而確定X的分布.不同的方法，有不同的估計結(jié)果，可以參閱有關(guān)的文獻(xiàn).

VaR方法已經(jīng)在風(fēng)險度量、風(fēng)險控制、風(fēng)險監(jiān)管、績效評估等方面發(fā)揮著重要的作用，是企業(yè)進(jìn)行全面風(fēng)險管理和運用收益風(fēng)險比率進(jìn)行戰(zhàn)略決策的工具和方法.許多銀行、經(jīng)紀(jì)公司和基金公司都使用VaR去度量它們所面臨的市場風(fēng)險，金融監(jiān)管者也使用VaR作為其管理的標(biāo)準(zhǔn).

6 其 它

概率論與數(shù)理統(tǒng)計中還有很多內(nèi)容可以在教學(xué)中結(jié)合經(jīng)濟(jì)、管理、保險、金融等學(xué)科的例子進(jìn)行講解，例如證券投資的收益與風(fēng)險，證券組合的投資分析，保險中保額的統(tǒng)計分析，保費與理賠量的統(tǒng)計分析，經(jīng)濟(jì)、人口等的預(yù)測分析等.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 何曉群.現(xiàn)代統(tǒng)計分析方法與應(yīng)用[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，1998:21-22.

[2] 龔志民，胡志軍.基尼系數(shù)計算的誤差估計與中國居民收入差距分析[J].統(tǒng)計研究，2010,27(3):107-109.

[3] 何曉群.關(guān)于6Sigma與3Sigma的比較[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2006, 25(2): 175-177.

[4] 張建方，宗福季.關(guān)于6Sigma管理中的1．5Sigma系統(tǒng)偏移[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2004, 24(6): 10-18.

[5] 王春峰, 萬海暉, 張維.金融市場風(fēng)險測量模型—VaR[J].系統(tǒng)工程學(xué)報,2000，15(1):67-75.