王志成+姚東根

數學基本活動經驗，即學生在經歷和感悟、探究和構建等數學基本活動過程中積淀而成的具有個體認知特征的思維模式。那么，中職數學課程教學如何幫助學生積累和提升數學基本活動經驗呢？本文以“線性規(guī)劃問題的有關概念”這一內容的兩個不同教學方案為例，通過具體教學環(huán)節(jié)探討促進學生獲得數學基本活動經驗的策略與途徑。

一、建立“情景設置——信息表征——方法歸納——經驗提升”的模式

1.感受現實情景，聯系已有經驗

教師可根據教學內容向學生呈現背景熟悉、問題陌生的兩個情景，這兩個情景分別包含目標函數求最大值或最小值，決策變量是整數或非整數，約束條件“不少于”“不多于”等信息。

例1.某房地產公司建造居民小區(qū)，若建一棟普通的住宅樓需投入資金300萬元，并占地200m2，可獲利潤70萬元；若建一棟別墅需投入資金200萬元，并占地300 m2，可獲利潤60萬元。該公司現有資金9 000萬元，拍得土地11 000m2。問：應怎樣投資，才能獲利最多？請嘗試用數學語言表達研究的問題。

例2.某點心店要做甲、乙兩種饅頭，甲種饅頭的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙種饅頭的主要原料是每4份面粉加1份玉米粉。這個點心店每天可買進面粉50kg、玉米粉20kg。做1kg甲種饅頭的利潤是5元，做1kg乙種饅頭的利潤是4元。問：這個點心店每天做甲、乙兩種饅頭各多少，才能獲利最多？

針對上述兩個情景，教師引導學生自主探究，即要求學生讀題、審題，教師啟發(fā)、指點，使學生回歸生活，并從自身的經歷和經驗中尋找解決問題的方法。

2.通過數學建模，獲得信息經驗

數學建模的關鍵在于：理解相應的背景，并對背景中的關系進行恰當的表征，即運用數學方法研究問題，也就是，進行數據整理和重新組織，這個過程正如荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾說的“數學化”。數學建模的過程有兩個。其一，學生根據已有的生活經驗與知識經驗，對問題背景進行整體感知，聚焦要解決的問題。其二，學生展示問題解決過程，并在討論交流中修正和完善認知結構。

3.體會概念形成，獲得歸納思維

數學概念的形成過程既是學生生活常識的精致化過程，又是學生思維開拓的過程，它一般遵循由特殊到一般、由具體到抽象的認知過程，因此，源于生活的數學概念一般采用歸納的思維方式進行加工，正如弗賴登塔爾指出的，在實際生活中，許多概念并不是通過定義學到的，而是接觸了大量實例，經反復觀察、對比體會后歸納出來的。有了前面的背景材料和問題解決過程，“線性規(guī)劃”的概念就有了參考的經驗現象和歸納的基礎，概念的形成就水到渠成。在之后的鞏固練習中，教師可通過正反例比較幫助學生補充、修改和完善概念表象，以理解形成的概念。

4.構建解決模式，提升活動經驗

例3.某運輸公司有8輛載重6t的A型卡車，4輛載重10t的B型卡車，并有9名駕駛員。在建造某段高速公路時，公司承包了每天至少運輸瀝青180t的任務。已知每輛卡車每天往返次數為A型4次，B型6次，派出每輛卡車每天的成本為A型120元，B型200元。每天應派出A型和B型卡車各多少輛，才能使公司總成本最低？

教師可通過上述例題幫助學生積累“做數學”的豐富經驗，既獲得知識，又找到解決問題的策略。由于認識活動是一個“意義賦予”的過程，因此，只有借助已有的經驗和概念進行自我構建，才能獲得對嶄新概念的完整理解，所以，在教學中，教師要為學生設置情景，并注重師生或生生之間的討論與合作，以歸納“線性規(guī)劃”問題構建解決模式的三個步驟。

二、建立“信息搜集——自主構建——規(guī)范操作——模式檢驗”的模式

1.通過自主閱讀，獲得初始經驗

學生往往帶著對世界的看法走進課堂，而教學又必須在學生的最近發(fā)展區(qū)進行，所以，經驗自然成為數學教學的邏輯起點。由于中職生個體間的差異較大，而教師確立的起點難免或高或低，有時甚至遠離學生的認知經驗，因此，起點的確立須考慮兩個問題。其一，學生在課前必須彌合水平的差異，即通過問題的指引閱讀教材，獲取信息，以初步整理信息，從而獲得初始經驗。其二，課前的教材閱讀，其重點應放在對陳述性知識的了解和發(fā)現問題方面，也就是說，要求學生通過閱讀，將已有經驗、知識與嶄新知識相聯系，并聚焦問題（什么叫做“線性規(guī)劃”問題，一個“線性規(guī)劃”問題的數學模型有哪些共同特征），這樣，學生便能根據個人生活經驗和已有知識進行初步的自主構建，從而為課堂生成做準備。

2.通過問題導引，自主構建概念

本課涉及的主要是陳述性知識。例如，“線性規(guī)劃”問題的定義，記號“max”和“min”，“線性規(guī)劃”問題分類，目標函數、決策變量和約束條件，“線性規(guī)劃”問題的數學模型特征，“線性規(guī)劃”數學模型的一般形式，等等。在傳統(tǒng)數學教學中，上述陳述性知識總是由教師講解，結果學生只機械地記住了這些知識，卻沒有對它們形成個性化的理解。而在富有創(chuàng)見的數學教學中，即使是陳述性知識或常規(guī)性概念，也要通過適當的活動，讓學生自主構建概念。針對“線性規(guī)劃問題的有關概念”這一內容，教師可采用讓學生整理、舉例、闡釋、辨析和比較等方式，這樣，學生不僅能獲得知識，更能習得獲取知識的經驗和方法。

3.規(guī)范思維操作，獲得解決經驗

由于數學認知的核心是思維，因此，只有調動學生的思維，數學知識才能轉化為學生的知識。要做到這一點，最根本的一條就是：充分暴露數學思維活動的過程，把數學知識的教學變成數學活動的教學。針對“線性規(guī)劃問題的有關概念”這一內容，其核心在于：培養(yǎng)學生的信息處理能力，使他們學會數據整理和分析、規(guī)劃和統(tǒng)籌，即引導他們分析有關量間的局部關系，用表格描述數據關系，并討論相關問題（例如，要解決的問題是什么，“利潤”的含義是什么，買進的原料是不是要恰好用完，應從何處入手思考解決方案，等等），以使學生切身體驗，并獲得真正的理解。當然，在這一過程中，學生獲得的經驗可能是片面的、零碎的和膚淺的，所以，需要進一步歸納問題的解決過程，規(guī)范思維操作，也就是從實際優(yōu)化問題中抽象、識別“線性規(guī)劃”模型，設決策變量，寫目標函數，并列表描述數據，從而找出約束條件，以規(guī)劃寫法，這樣，便形成“抽象——識別——規(guī)劃”這一思維模式。endprint

4.探究與反思，檢驗思維模式

探究與反思問題的過程是檢驗思維模式的必要步驟。由于學生的初始經驗尚不牢固，因此，他們對建立“線性規(guī)劃”模型的思維方式還沒有形成應有的解題思路，并對問題分析方法的有效性存在疑慮，所以，只有通過獨立探究與解題反思，才能促使學生關注思維模式的細節(jié)，從而形成有效的活動經驗，并在實踐中獲得檢驗。

例4：某運輸公司有8輛載重6t的A型卡車，4輛載重10t的B型卡車，并有9名駕駛員。在建造某段高速公路時，公司承包了每天至少運輸瀝青180t的任務。已知每輛卡車每天往返次數為A型4次，B型6次，派出每輛卡車每天的成本為A型120元，B型200元。每天應派出A型和B型卡車各多少輛，才能使公司總成本最低？

針對上述例題，教師可提出相關問題（從哪入手，什么是總成本，目標函數是什么，約束條件是什么，有沒有考慮周全），并采用表格表征信息，以將問題的解決過程獨立而完整地表達出來。然后，教師修改題目（派出每輛卡車每天可得利潤為A型120元，B型200元，求每天應派出A型和B型卡車各多少輛，才能使公司利潤最大），并要求學生解答。教學完成后，反思：確立教學的關鍵，即“抽象、識別、規(guī)劃”的思維操作過程，明確“線性規(guī)劃”問題建模的三個步驟（設決策變量、定目標函數和列約束條件），建立“熟悉背景、表征信息”這一問題解決的通用策略。

三、促使學生獲得數學活動經驗的教學策略

美國組織行為學教授庫伯認為，學習“始于經驗，然后回歸于經驗”，學習是“改造或者轉化經驗、創(chuàng)造知識”的過程?？梢?，有效教學必以學生的已有經驗為基礎，并以經驗形成為宗旨?；仡櫳鲜鰞煞N教學方案，我們發(fā)現，促使學生獲取數學活動經驗的教學方法有其共同的教學規(guī)律。

1.構建有利于形成數學思維模式的教學路徑

通過參與具體活動，直接領悟、創(chuàng)造活動經驗，然后對所經歷的活動回顧、反思，內化為合乎邏輯的、抽象的經驗，并將之在新情景中進行證實和運用，重新領悟和創(chuàng)造新的經驗，即形成“情景——問題——活動——歸納——思維模式——實踐應用”的教學方式，其中，“情景”是邏輯起點，“問題”是導向，“活動”是載體，“歸納”是思維方式（是對活動的回顧與反思，是對本質一致的不同情景的類別劃分），“思維模式”是最后形成的經驗，“實踐應用”是對經驗有效性的檢驗和強化。

2.優(yōu)化有利于積淀數學活動經驗的數學過程

要優(yōu)化有利于積淀數學活動經驗的教學過程，就要做到四點。其一，優(yōu)化情景設計，使之成為積累數學活動經驗的載體，以利于學生的理解、參與，促使學生調動內部與外部的資源處理情景問題，并對行動過程和結果進行反思，最終從情景中獲得解決同類問題的思維模式。其二，優(yōu)化行為操作、語言操作、表象操作和思維操作，即以靈活的方式引領學生對同一數學對象進行多元化的數學操作活動，從而形成個體對數學對象的個性化理解。其三，優(yōu)化經驗獲得過程，做到有序性與提升性相融，即從初始經驗到嶄新經驗的生成，是不斷積累、積淀和創(chuàng)新的過程，只有經歷活動，并對活動進行及時回顧、觀察、反思和提煉，并在新的情景中驗證和應用，才能獲得完整的、條理化的經驗。其四，優(yōu)化“對話”過程，即讓學生成為學習責任的承擔者，一定要讓他們自己動手參與、探索、傾聽和質疑。

本文系江蘇省教育科學規(guī)劃2013年度重點研究課題：中職數學基本活動經驗及教學實踐研究（課題編號：B-a/2013/03/009）和江蘇省職業(yè)教育教學改革研究課題： 中職數學課堂教學生活化實踐研究（課題編號：ZYB37）研究成果之一。

（作者單位：江蘇省蘇州市太湖旅游中等專業(yè)學校）

（責任編輯：梁金）endprint