李芳

［摘要］ 已知三角形的一角及其對邊，滿足條件的三角形不唯一確定，已知角的頂點可以在已知邊為弦的圓周上運動，因此可用圓的基本性質(zhì)來解題. 本文試圖通過一些典型例題來培養(yǎng)學生的觀察能力以及認真思考的習慣.

［關(guān)鍵詞］ 圓的基本性質(zhì)；解三角形；典型例題；培養(yǎng)觀察能力

初中數(shù)學中，一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素. 已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形. 解三角形時，三角函數(shù)是最常用的知識. 若已知三角形的一角及其對邊，進行有關(guān)計算，學生往往會思維定式，想到三角函數(shù)，想到添加高線，但這樣只會走進死胡同，一籌莫展. 回過頭來思考，已知三角形的一角及其對邊，滿足條件的三角形是不唯一確定的，已知角的頂點可以在已知邊為弦的圓周上運動，如圖1所示，△ABC和△ABD都是滿足條件的三角形，這樣我們就可用圓的基本性質(zhì)來解題了.

這類問題往往出現(xiàn)在填空和解答壓軸題中，先看典型的一例.

例1 如圖2所示，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（5，0），C（6，3），D（0，3），點P為線段CD上一點，且∠APB=45°，則點P的坐標為______.

解析?搖 問題可歸結(jié)到△ABP中，AB=4，AB的對角∠APB=45°，則點P在以AB為弦且AB所對圓心角為90°的⊙F上，因為點P為線段CD上一點，所以點P為⊙F與線段CD的交點.可用圓的基本知識構(gòu)造如圖3的圖形，連結(jié)AF，BF，PF，過點F作FE⊥AB，垂足為點E，延長EF交CD于點G. 因為∠APB=45°，所以∠AFB=90°，得△ABF為等腰直角三角形. 由AB=4可求得AE=EF=■AB=2，PF=AF=AB·sin45°=2■，所以O(shè)E=3，F(xiàn)G=1. 在Rt△GFP中，由勾股定理可得PG=■，所以DP=DG+PG=OE+PG=3+■，DP ′=DG-GP ′=OE-PG=3-■，這就確定了點P的橫坐標，從而得滿足條件的點P的坐標為（3+■，3）或（3-■，3）.

弄清楚這類問題的實質(zhì)，掌握了解決方法后，用同樣的方法來解2012年浙江省義烏市卷16題，填空最后一道壓軸題，就比較輕松了.

例2?搖 如圖4，點A（0，2），B（2■，2），C（0，4），過點C向右作平行于x軸的射線，點P是射線上的動點，連結(jié)AP，以AP為邊在其左側(cè)作等邊三角形APQ ，連結(jié)PB，BA. 若四邊形ABPQ為梯形，則：

（1）當AB為梯形的底時，點P的橫坐標是______.

（2）當AB為梯形的腰時，點P的橫坐標是______.

解析?搖 在參考答案中，只有符合題意的三個特殊圖形，特別是第（2）小題，有兩個答案，如何理性地分析不遺漏答案呢？

根據(jù)題意分析，問題（1）轉(zhuǎn)化為PQ∥AB，如圖5所示，因為△APQ為等邊三角形，所以∠PAB=∠APQ=60°，即∠PAC=30°. 在Rt△APC中，AC=2，∠PAC=30°，由三角函數(shù)得PC=ACtan30°=■，即點P的橫坐標為■.

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問題（2）轉(zhuǎn)化為BP∥AQ，則∠APB=60°. 在△APB中已知∠APB=60°及其對邊AB=2■，用例1同樣的方法用圓的基本知識構(gòu)造如圖6所示的圖形，點P在以AB為弦的⊙E上，且點P是射線上的動點，則點P為⊙E與射線CP的交點，連結(jié)AE，BE，PE，過點E作ED⊥AB，垂足為點D，延長DE交CP于點F. 因為∠APB=60°，所以∠AEB=120°，∠AED=60°，AD=■AB=■. 在Rt△ADE中，由三角函數(shù)可得AE=2，DE=1，所以EF=1. 而EP=AE=2（此題較上題特殊，A，E，P三點在同一直線上），在Rt△EFP中，由勾股定理可得PF=■，從而CP=CF+PF=AD+PF=2■，從而確定了點P的橫坐標，不難求得滿足條件的另一個點P的橫坐標為0，即點C. 這樣看清了問題的本質(zhì)，就能理性地分析問題而不遺漏答案.

最后再來看一例能用同樣方法解決的綜合壓軸題.

例3?搖 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）.

（1）求二次函數(shù)的解析式.

（2）判斷△ABC是否是直角三角形，并說明理由.

（3）M（x，y）是拋物線上的一個動點（不與A，B重合）.

①如圖7所示，△ACM的內(nèi)心在坐標軸上，求點M的坐標；

②如圖8所示，當∠AMB≤45°時，請直接寫出點M橫坐標的取值范圍.

解析?搖 此題的前幾小題與本文的中心內(nèi)容無關(guān)，這里不再累述，直接看最后一問，問題又是在△ABM中，AB=5，與以上兩例所不同的是，AB的對角變?yōu)樾∮诘扔?5°，我們先考慮臨界情況，即AB的對角等于45°的情況，則點M在以AB為弦且AB所對圓心角為90°的圓上，如圖9所示，設(shè)臨界情況時△ABM外接圓的圓心為P，由AB=5，∠APB=90°得P■，■，AP=■■，點M在拋物線y=■x 2-■x-2上，可設(shè)Mx，■x 2-■x-2，在Rt△PEM中由勾股定理可得x-■■+■x 2-■x-2-■■=■■■，解得x=-2或x=5. 再由圓外角小于圓周角可得當∠AMB≤45°時，x≤-2或x≥5.

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