（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川遂寧 629000）

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川遂寧 629000）

給出了特征值估計(jì)中Schur不等式的一個(gè)改進(jìn)結(jié)果及其應(yīng)用,并通過(guò)數(shù)值算例顯示了所得結(jié)果的優(yōu)越性.

特征值；估計(jì)；Schur不等式；應(yīng)用

0 引 言

1909年，Schur給出矩陣特征值模平方和的一個(gè)上界（即Schur不等式）［1，2］

其中λi表示矩陣A的特征值，‖A‖F(xiàn)表示矩陣A的Frobenius范數(shù).隨后Kress等［3］得到

文獻(xiàn)［4］對(duì)矩陣M分塊如下

得到

此處得到一個(gè)新的改進(jìn)結(jié)果，在某些情況下能得到比式（4）更為精確的估計(jì).文中Cn×n表示所有n階復(fù)方陣組成的集合，lαl2表示向量α的2范數(shù).

1 Schur不等式的一個(gè)改進(jìn)結(jié)果

下面給出對(duì)Schur不等式的一個(gè)改進(jìn).

定理1 設(shè)A∈Cn×n，設(shè)αi，αj為其任意兩行，βi，βj為對(duì)應(yīng)的兩列，則

由于B與矩陣A相似，故有相同的特征值，設(shè)λ1，λ2，…，λn為A的特征值，結(jié)合式（1），式（6），式（7）便知定理1成立，證畢.

同時(shí)由定理1中i，j的任意性，故可將定理1進(jìn)一步寫(xiě)成如下形式.

定理2 設(shè)A∈Cn×n，設(shè)αi，αj為其任意兩行，βi，βj為對(duì)應(yīng)的兩列，則

其中，h，k如定理1所示.

實(shí)際上，還可將定理1，定理2進(jìn)一步推廣，即

定理3 設(shè)A∈Cn×n，設(shè)αi，αj為其任意兩行，βi，βj為對(duì)應(yīng)的兩列，則

顯然，當(dāng)p=1時(shí)，定理3即為定理1.在某些情況下，若定理1中l(wèi) h l＜k，可運(yùn)用定理3，適當(dāng)選取p值，滿(mǎn)足l p l＜1，將l h l和k同時(shí)減小.由于l p l＜1，且k中p次數(shù)更高，故k減小更快，當(dāng)p足夠小則可能使l hpl＞kp.當(dāng)然最壞的情況即p=0，此時(shí)退化為式（1）.

2 改進(jìn)不等式之應(yīng)用

Schur不等式可用于矩陣秩的估計(jì)、特征值分布范圍估計(jì)等［4-6］.因此結(jié)合定理1、定理2及定理3，可得到文獻(xiàn)［4-6］中相應(yīng)估計(jì)結(jié)果的改進(jìn)，這里僅列出部分相應(yīng)結(jié)果，證明過(guò)程與文獻(xiàn)［4-6］類(lèi)似，不再贅述.

3 數(shù)值算例

［1］HORN R A，JOHNSON H R.Matrix Analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1985

［2］詹興致.矩陣論［M］.北京：高等教育出版社，2008

［3］RAINER K，HANSL，DE VIRESR，et al.On Nonnormal Matrices［J］.Linear Algebra Appl，1974，8（2）：109-120［4］屠伯勛.矩陣秩的下界與方陣的非奇異性［J］.復(fù)旦大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1982，21（4）：416-422

［5］胡興凱，鄒黎敏.矩陣秩和特征值的估計(jì)［J］.西南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，31（12）：99-102

［6］胡興凱.矩陣特征值不等式［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，29（4）：23-26

Schur不等式的改進(jìn)及應(yīng)用*

廖 平，王 龍**

On Improvement of Schur Inequality and Its Application

LIAO Ping，WANG Long

（Department of Applied Mathematics and Economics，Sichuan Vocational and Technical College，Sichuan Suining 629000，China）

This paper gives an improved result of Schur inequality in eigenvalue estimate and its application and demonstrates the advantage of the obtained result by numerical examples.

eigenvalue；estimate；Schur inequality；application

李翠薇

O151.2

A

1672-058X(2014)02-0016-03

2013-06-11;

2013-07-27.

四川省教育廳青年基金項(xiàng)目（13ZB0033）.

廖平（1983-），男，四川自貢人，助教，碩士，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

**通訊作者：王龍（1983-），男，四川遂寧人，助教，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.