（重慶工商大學計算機與信息工程學院，重慶 400067）

（重慶工商大學計算機與信息工程學院，重慶 400067）

利用投影技巧改進Mann迭代方法,建立了一個新的逼近有限個k-嚴格偽壓縮映象公共不動點的迭代方法,并在一定條件下證明了該方法所產生的迭代序列的強收斂定理。

k-嚴格偽壓縮映象；改進的Mann迭代；公共不動點；強收斂；半閉原理

0 引 言

設H為一個實Hilbert空間，其內積和范數分別表示為＜.，.＞和‖.‖.設K為一個H中的非空閉凸子集，T為一個非線性算子。稱T：K→H為k-嚴格偽壓縮映象，如果存在常數k∈［0，1）滿足

當k=0時，稱T為非擴張映象，即‖Tχ-Ty‖≤‖χ-y‖，?χ，y∈K。當k=1時，稱T為偽壓縮映象，如果存在一個常數λ∈（0，1）使得T+λI為壓縮映象，則稱T為強偽壓縮映象。顯然，k-嚴格偽壓縮映象是介于非擴張映象和偽壓縮映象之間的一類映象形式，并且獨立于強偽壓縮映象而存在［1，2］。

1953年，Mann［3］介紹了一個逼近非線性算子不動點的迭代方法（Mann迭代）：

其中，序列｛αn｝?（0，1）并滿足適當的控制條件。此后，非擴張映象和k-嚴格偽壓縮映象的不動點逼近及其應用被許多學者廣泛深入研究，并獲得了一系列很好地收斂結果［4-10，12］。然而，在無限維Hilbert空間中，通常的Mann迭代只能得到逼近非線性算子不動點的弱收斂定理，即使對非擴張映象也必須改進Mann迭代才能得到相應的強收斂定理。最近，Zhou［10］介紹了一個改進的Mann迭代方法，利用投影技巧研究k-嚴格偽壓縮映象T：K→H的不動點逼近問題。設給定點u∈K，序列｛αn｝，｛βn｝?（0，1），該方法定義｛χn｝：

并在適當的控制條件下證明了迭代序列｛χn｝強收斂到k-嚴格偽壓縮映象T的不動點。

1 預備知識

設H為一個實Hilbert空間，K為一個H中的非空閉凸子集。本文以F（T）表示映象T的不動點集，PK表示H在K的投影，并以“”和“→”分別表示序列的弱收斂和強收斂。

引理1［10］設T：K→H為k-嚴格偽壓縮映象，則F（T）為閉凸集。

引理2［10］設T：K→H為k-嚴格偽壓縮映象且F（T）≠φ，則F（PKT）=F（T）。

引理3［6］設H為一個實Hilbert空間，則對任意的χ，y∈H，有

引理4［2，12］設T：K→H為k-嚴格偽壓縮映象，如果Sχ=λχ+（1-λ）Tχ，?χ∈K，且λ∈［k，1），則S是非擴張映象且F（S）=F（T）。

引理5［10］（半閉原理） 設T：K→H為k-嚴格偽壓縮映象，則I-T在任意點y∈H半閉。

引理6［6］設K為H的一個非空有界閉凸子集。對給定的χ∈H，z∈K，則z=PKχ的充分必要條件是＜χz，z-y＞≥0，?y∈K。

引理7［11］設｛an｝為一個非負實數列，且｛γn｝?（0，1），如果an+1≤（1-γn）an+γnδn，n≥0，并滿足條件：

2 主要結果

［1］BROWDER F.Convergence of Approximants to Fixed Points of Nonexpansive Nonlinear Mappings in Banach spaces［J］.Arch Ration Mech Anal，1967（24）：82-90

［2］BROWDER F.PETRYSHYNW.Construction of Fixed Points of Nonlinear Mappings in Hilbert Space［J］.JMath Anal App l，1967（20）：197-228

［3］MANNW.Mean Value Methods in Iteration［J］.Proc Amer Math Soc，1953（4）：506-510

［4］聞道君，鄧磊.漸近非擴張映射的粘滯逼近方法［J］.西南師范大學學報：自然科學版，2010，35（3）：32-36

［5］聞道君，鄧磊.有限簇非擴張映射的不動點定理及逼近算法［J］.數學物理學報，2012，32A（3）：540-546

［6］MARINO G，XU H.Weak and Strong Convergence Theorems for MYMkMYM-strict Pseudo-contractions in Hilbert spaces［J］. JMath Anal Appl，2007，329：336-349

［7］劉敏.廣義平衡問題與無限族k-嚴格偽壓縮映象的強收斂定理［J］.四川師范大學學報：自然科學版，2011，34（1）：63-70

［8］KIM T H，XU H K.Strong Convergence of Modified Mann Iterations［J］.Nonlinear Anal，2005（61）：51-60

［9］馬樂榮，高興慧.Hilbert空間中閉的擬嚴格偽壓縮映像的收縮投影方法（英文）［J］.四川師范大學學報：自然科學版，2011，34（6）：780-783

［10］ZHOU H.Convergence Theorems of Fixed Points for Pseudo-contractions in Hilbert Spaces［J］.Nonlinear Anal，2008（69）：456-462

［11］XU H K.An Iterative Approach to Quadratic Optim ization［J］.JOptim Theory App l，2003，116：659-678

［12］ACEDOG L，XU H K.Iteration Methods for Strict Pseudo-contractions in Hilbert Spaces［J］.Nonlinear Anal，2007（67）：2258-2271.

k-嚴格偽壓縮映象簇公共不動點的強收斂定理*

龔黔芬

Strong Convergence Theorem for Common Fixed Point of k-strict Pseudo-Contraction Mapping Family

GONG Qian-fen

（School of Computer Science and Information Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

By using Mann iteration method modified by projection technique，this paper sets up a new iteration method for common fixed-pointof the approximation to a finite k-strict pseudo-contractionmapping family and gives the proofs for the strong convergence theorem of the iterative sequence produced by this method under certain condition.

k-strict pseudo-contraction mapping；modified Mann iteration；common fixed-point；strong convergence；semi-closed principle

代小紅

O177.91

A

1672-058X(2014)02-0008-05

2013-06-04;

2013-09-06.

重慶市自然科學基金（CSTC 2012jjA00039，CSTC2013jcyjA00031）；重慶市教委科技研究項目（KJ130712，KJ130731）.

龔黔芬（1977-），女，四川梓潼人，碩士，講師，主要從事計算機應用與算法研究.