李宗秀，吳 捷

(1.黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院基礎(chǔ)部，哈爾濱150025，2.黑龍江科技學(xué)院資源與環(huán)境工程學(xué)院，哈爾濱150027)

小值概率的研究屬于小偏差概率，有著較廣的適用性.在國外，對概率界的估計(jì)研究的歷史較長，能一直追溯到Chebyshev，他在給定一、二階矩的條件下，對概率進(jìn)行估計(jì)，并給出了切比雪夫不等式，概率估計(jì)這一問題在切比雪夫不等式這個(gè)結(jié)論產(chǎn)生之后，發(fā)生了質(zhì)的飛躍.后來Stieltjes解決了如何找到一個(gè)φ(x)使得它的各階矩∫∞0xkdφ(x)，k=0，1……，的值分別與給定的mk相等，其中φ(x)是定義在區(qū)間［+0，+∞)上有界的單調(diào)不減函數(shù).這為研究小偏差概率提供了一個(gè)非常有效的方法.Karlin·S和Isii·K分別獨(dú)立提出使用對偶理論處理矩問題，這為小偏差概率又提供了一種研究此問題的有效工具;Karlin·S改善了密度函數(shù)是單峰分布的截尾變量的切比雪夫不等式，使其應(yīng)用的范圍更加寬廣.由于經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域的需求，均值界的估計(jì)問題油然而生，尤其是在期權(quán)價(jià)格的估計(jì)中，均值界的估計(jì)問題被廣泛研究.Karlik Natarajan 和 Zhou Liyi［1］于 2007 年研究了三段線性函數(shù)均值的界，給出了任意隨機(jī)變量的計(jì)算結(jié)果.在國內(nèi)，對概率和均值界的研究處于起步階段，李文博和劉國慶做了大量的研究工作，研究成果較為顯著［3］.劉國慶，王敏慧［3］研究了二維變量的概率分布的估計(jì).張銀龍和劉國慶［4］在給定一、二階矩的條件下，對隨機(jī)變量分布函數(shù)上下界進(jìn)行了估計(jì).宋偉平［5］研究了隨機(jī)變量X∈(－∞，M］的三段截尾線性函數(shù)均值的上界，給出了精確的估計(jì).李宗秀，劉國慶［6］研究了隨機(jī)變量 X∈［a，+∞)三段截尾變量概率分布的上界，并給出使確界可達(dá)的分布.本文通過對三段截尾變量小值概率和均值上界的估計(jì)，明確了概率和均值變化的界限，使我們更精確地將其應(yīng)用于破產(chǎn)理論、金融學(xué)、風(fēng)險(xiǎn)投資、保險(xiǎn)學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域.

1 主要結(jié)果和證明

定理1:設(shè)隨機(jī)變量 C∈［－a，M －a］，a≥0，M＞0，且 EX=m1，EX2=m2，三段線性函數(shù) H(x)=max(0，x，mx－z)，其中 m ＞1，z＞0.當(dāng) M ＞max(m1，z/(m －1))時(shí)，有

1)當(dāng)t≤z/(m－1)時(shí)

且

而且當(dāng)X在?。璦，t，和M－a三個(gè)值時(shí)等式成立，并且具有

則

②若

則

證明 1)當(dāng)t≤z/(m－1)時(shí)，則P(H(X)≤t)=P(X+a≤t+a)，記 X+a=Y，t+a=d，Y∈［0，M］則P(H(X)≤t)=P(Y≤d)，基本想法是找到一個(gè)二次函數(shù) Q(y)=α+βy+γy2，使得示性函數(shù)I(Y≤d)≤Q(y)，于是

經(jīng)過計(jì)算和比較，當(dāng)

因此將 c1=m1+a，c2=m2+2am1+a2，Y=X+a，d=t+a代入，當(dāng)t≤z/(m－1)時(shí)，①得證.

②若

由對偶原理可知，必須找到一個(gè)非?！昂谩钡亩魏瘮?shù)最大程度的逼近示性函數(shù)，即找到滿足示性函數(shù)1Y≤d≤Q(y)的二次函數(shù) Q(y)= α + βy+ γy2，于是

分兩種情況討論:

當(dāng)γ≥0時(shí)，則二次函數(shù)Q(y)應(yīng)滿足

解方程組(8)得

所以

當(dāng)γ≤0時(shí)，則二次函數(shù)Q(y)應(yīng)滿足

解方程組(9)得

所以

經(jīng)過計(jì)算和比較，當(dāng)

Y∈［0，M］，則 P(H(X)≤t)=P(Y≤k)EY=m1+a=c1，EY2=E(X+a)2=m2+2am1+a2=c2證明方法與(1)類似，此不贅述.

2 結(jié)語

本文利用對偶的方法，構(gòu)造了控制函數(shù)，分別對三段截尾變量小值概率的上界進(jìn)行估計(jì).結(jié)果深化了對小值概率理論的原有認(rèn)識，并在金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和化學(xué)中有著很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

［1］NATARAJAN K，ZHOU Y L.A Mean－variance Bound for a Three－piece Linear Function［J］.Probability in the Engineering and Informational Sciences，2007，21(4):611 －621.

［2］LIU G Q，LI W V.Semiparametric Bounds of Mean and Variance for Exotic Options［J］.Science in China Series A:Mathematics Jul，2009，52(7):1 －14.

［3］LIU G Q，WANG M H.Bounds on Probability and Mean for Truncated Random Variables［J］.Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2010，2:19－21.

［4］張銀龍，劉國慶，王敏慧.兩類截尾變量的均值與方差的估計(jì)［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，15(5):74－77.

［5］宋偉平.截尾三段線性函數(shù)期望與方差的半?yún)?shù)界［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2011.

［6］李宗秀，劉國慶.三段截尾變量概率分布的上界［J］.高師理科學(xué)刊，2011，31(4):11－12.