汪道林

一、問題提出

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005年第1—2合刊第54頁有這樣一道選擇題：

已知a>1，則函數(shù)f（x）=logax的圖象與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖象 （ ）

A.不可能有公共點(diǎn)

B.不可能只有一個公共點(diǎn)

C.最多只有一個公共點(diǎn)

D.最多只有兩個公共點(diǎn)

本人把這道題給某市示范學(xué)校高二年級的學(xué)生做，70%的學(xué)生不假思索地選擇了A答案，我也曾把這道題在數(shù)學(xué)教育碩士班與同行們交流，也有不少老師感到疑惑和棘手。

二、問題解決

1.建立模型

我們先利用幾何畫板4.05繪制可改變底數(shù)a大小的y=ax的圖象，同時作出關(guān)于直線y=x對稱的函數(shù)圖象，即y=logax圖象。建立步驟如下：

（1）建立平面直角坐標(biāo)系并隱藏網(wǎng)格；

（2）利點(diǎn)工具構(gòu)造菜單畫出與y軸垂直的任意長線段BD；

（3）分別選中點(diǎn)D和x軸上任一點(diǎn)E，利用度量橫坐標(biāo)命令，分別度量出D、E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并分別將標(biāo)簽記為a和x；

（4）利用“圖表繪制點(diǎn)（x，y）”命令，繪制點(diǎn)F（x，ax）；

（5）同時選中點(diǎn)E和點(diǎn)F，利用“構(gòu)造軌跡”命令，構(gòu)造出函數(shù)y=ax的圖象；

（6）在同一坐標(biāo)中，很容易再構(gòu)造出關(guān)于y=x對稱的y=logax圖象。

2.觀察分析

三、解后反思

從以上分析可知，答案應(yīng)該選D，這原本是一道常識性問題，但大多數(shù)學(xué)生卻很陌生，經(jīng)過分析，可能有以下一些原因。

1.中學(xué)教材的編寫有時也有問題，現(xiàn)行教材上一提到指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象時，總是把它們畫成不相交的情形，也沒有作出說明。

2.廣大的一線老師在教學(xué)過程中對教材缺乏深入研究，沒有對教材進(jìn)行深加工和再創(chuàng)造，教學(xué)過程往往是照搬課本。

3.從某種程度上講，大多數(shù)學(xué)生不會學(xué)習(xí)，不能發(fā)現(xiàn)問題，做練習(xí)往往還是就題論題，不反思，不會舉一反三，沒有從題海中走出來。

4.多媒體教學(xué)還沒有真正走進(jìn)課堂，教師和學(xué)生利用現(xiàn)代化教學(xué)手段比較薄弱，對于多媒體的強(qiáng)大功能、，特別是它的動態(tài)效果，在知識建構(gòu)上的作用還缺乏足夠的認(rèn)識。

參考文獻(xiàn)：

繆亮.幾何畫板輔助數(shù)學(xué)教學(xué).清華大學(xué)出版社，2004.