嵇斗 王向軍 柳懿

摘要：動(dòng)態(tài)電路分析是電路原理教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容之一。以脈沖分壓電路在換路后的響應(yīng)求解這一問題為例，分析了課堂教學(xué)過(guò)程中學(xué)生在電路階數(shù)、響應(yīng)形式以及求解方法等方面容易發(fā)生理解錯(cuò)誤的原因，并采用時(shí)域、復(fù)頻域兩種分析方法推導(dǎo)獲得該電路動(dòng)態(tài)響應(yīng)的表達(dá)式，最后通過(guò)電路仿真軟件進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)演示，獲得了較好的課堂教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：脈沖分壓電路;動(dòng)態(tài)響應(yīng);教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-0079（2014）32-0098-02

“電路原理”課程是工科電類相關(guān)專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課，課程對(duì)于學(xué)生掌握電路的基本原理和分析方法、培養(yǎng)學(xué)生分析解決電路問題的實(shí)際應(yīng)用能力具有重要作用。[1，2]動(dòng)態(tài)電路的分析涉及較多的理論推導(dǎo)和數(shù)學(xué)計(jì)算，歷來(lái)是課程教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容。[3，4]本文以脈沖分壓電路的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析為例開展課堂教學(xué)進(jìn)行討論，逐一分析學(xué)生易發(fā)生理解錯(cuò)誤的原因，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用多種方法解決動(dòng)態(tài)電路響應(yīng)的問題，加深了對(duì)課程重要知識(shí)點(diǎn)的理解，提高了綜合分析問題的能力，提高教學(xué)的針對(duì)性和教學(xué)效果。

一、脈沖分壓電路

脈沖電路是通信、電子、電氣等領(lǐng)域一種常見的基本電路。[5]在脈沖電路中，常將脈沖信號(hào)經(jīng)過(guò)電阻分壓后輸出，而在輸出電路中一般會(huì)存在著各種形式的電容，就相當(dāng)于在輸出端接上一個(gè)等效電容，該電容導(dǎo)致輸出電壓不能跟隨輸入電壓同步變化，從而引起了輸出信號(hào)的畸變。為了改善輸出波形，使輸出電壓能緊跟隨輸入電壓一起變化，一般采用RC脈沖分壓電路，如圖1所示。

圖1中電阻R1和R2構(gòu)成分壓電路，C2為輸出端等效電容，在電阻R1上并聯(lián)一個(gè)電容C1。圖1中，如果選擇合適的C1值就可以克服等效電容C2的影響，使輸出波形緊跟輸入波形變化，C1稱為加速電容。本文的目的并非討論脈沖分壓電路的加速電容C1應(yīng)如何取值，而是以該電路為例討論一般情況下電壓和電流動(dòng)態(tài)響應(yīng)的問題。

二、脈沖分壓電路動(dòng)態(tài)響應(yīng)的時(shí)域分析

在動(dòng)態(tài)電路的響應(yīng)這一內(nèi)容的教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，學(xué)生常常在電路階數(shù)的判斷、響應(yīng)形式以及求解方法等方面的問題上容易發(fā)生一些理解上錯(cuò)誤和偏差。為了解決這一問題，在課堂教學(xué)中筆者舉例如下：

例：直流電源E作用下脈沖分壓電路如圖1所示，t=0時(shí)開關(guān)K閉合，開關(guān)閉合前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，求電容電壓和電流的響應(yīng)。

這是一個(gè)典型的動(dòng)態(tài)電路響應(yīng)分析的問題，圖1所示電路中開關(guān)K閉合前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，則電容C1和C2的電壓為：

開關(guān)K閉合后瞬間，由基爾霍夫電壓定律（KVL），電容C1和C2的電壓之和等于電壓源電壓，即：

（1）

顯然換路前后，電容電壓發(fā)生了躍變，由電荷守恒定律可知，在圖1中節(jié)點(diǎn)A上：

（2）

由（1）、（2）可知，t=0+時(shí)刻可以求解出兩個(gè)電容電壓：

（3）

課堂教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)上述分析后出現(xiàn)了兩種典型的問題。問題一：有些學(xué)生認(rèn)為本例中電容電壓發(fā)生強(qiáng)迫躍變后就已經(jīng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)了，因此式（3）給出的就是該電路換路后的響應(yīng)。問題二：有些學(xué)生認(rèn)為由于本電路存在兩個(gè)電容，電路屬于二階電路，需要通過(guò)列寫二階微分方程進(jìn)行討論，而不能采用一階電路的三要素法求解。這里首先針對(duì)這兩種典型的意見分別討論。

對(duì)于第一個(gè)問題，學(xué)生顯然把本題中兩個(gè)電容看成是簡(jiǎn)單的串聯(lián)連接，事實(shí)上，從圖1中容易看出，兩個(gè)電容并非串聯(lián)結(jié)構(gòu)。課堂教學(xué)中筆者采用反向思維，假定換路后本電路立即處于新的穩(wěn)定狀態(tài)，那么根據(jù)穩(wěn)態(tài)電路中電容相當(dāng)于開路這一結(jié)論，由電阻電路的分壓公式易得兩個(gè)電容兩端電壓的穩(wěn)態(tài)值分別為：

（4）

顯然，在一般情況下，式（4）和式（3）的求解結(jié)果并不相等，可見電路換路后還要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)渡過(guò)程才能到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，式（3）求解的只是電壓響應(yīng)的初始值。

對(duì)于第二個(gè)問題，學(xué)生認(rèn)為本題中含有兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件，因此是二階電路，這顯然是對(duì)電路階數(shù)定義的概念理解不深入。本例中，雖然存在兩個(gè)電容，但并非二階電路。課堂教學(xué)中通過(guò)列寫電路微分方程的方法分析這一問題。圖1電路中，C1、R1并聯(lián)，C2、R2并聯(lián)，然后串聯(lián)，其電流代數(shù)和相等，即：

（5）

由把式（1）代入式（5）并整理可得：

（6）

式（6）是關(guān)于uC2的一階微分方程，同理也可得到關(guān)于uC1的一階微分方程。動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)與描述電路的微分方程的最高階數(shù)相等[6]，可見，雖然本例中含有兩個(gè)電容元件，但電路是仍然是一階電路，可以采用三要素法求解。

這里又產(chǎn)生了第三個(gè)問題，本例在利用三要素法求解電路的響應(yīng)時(shí)，由于存在兩個(gè)電阻、電容并聯(lián)的結(jié)構(gòu)，學(xué)生普遍認(rèn)為電路中應(yīng)該存在兩個(gè)時(shí)間常數(shù)，即τ1=R1C1和τ2=R2C2，但是這種說(shuō)法顯然與“一階電路中時(shí)間常數(shù)τ值唯一”的結(jié)論矛盾。發(fā)生這個(gè)問題的原因在于，學(xué)生機(jī)械地搬用了單個(gè)電容電路中時(shí)間常數(shù)求解公式，未能理解時(shí)間常數(shù)這一參數(shù)的來(lái)源。課堂教學(xué)中，筆者從式（6）入手推導(dǎo)了該一階微分方程解的形式（限于篇幅，略去過(guò)程），該方程的特征根p2為：

式中，R、C分別是并聯(lián)等效電阻和電容值，。

同理可以得到關(guān)于uC1的一階微分方程的特征根p1為：

可以看出，描述電路的兩個(gè)微分方程的特征根是相同的，根據(jù)時(shí)間常數(shù)的定義，τ值為：

（7）

可見，本例中時(shí)間常數(shù)是唯一的。

在上述分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)式（3）、（4）和（7）的結(jié)果以及一階電路三要素公式可得：

（8）

需要說(shuō)明的是，對(duì)于實(shí)際使用的RC脈沖分壓電路，為了使輸出波形緊跟輸入波形變化，在設(shè)計(jì)電路時(shí)要選擇加速電容C1參數(shù)，使R1C1=R2C2時(shí)，在這種情況下式（8）可以寫為：

這說(shuō)明電路換路后，輸出電壓能夠跟隨輸入電壓變化而變化，不存在過(guò)渡過(guò)程，可見，實(shí)用的脈沖分壓電路的響應(yīng)只是動(dòng)態(tài)響應(yīng)的特例。

這里還需要提醒學(xué)生注意，由于式（8）并非電容電壓uC2全時(shí)域表達(dá)式，不能直接對(duì)其微分求解電容C2電流的表達(dá)式，這也是學(xué)生常發(fā)生錯(cuò)誤的問題。注意到t<0時(shí)，uC2=0，于是可得到：

（9）

按照同樣的方法也可獲得uC1響應(yīng)的形式。

由式（9）可以求解出電容C2上的電流響應(yīng)為：

（10）

從式（10）函數(shù)的表達(dá)式可以看出，電路中存在強(qiáng)度為EC1C2（C1+C2）的沖激電流，該沖激電流在換路瞬間作用于電容C1和C2，這就是導(dǎo)致電容電壓在換路前后發(fā)生躍變的原因。

三、動(dòng)態(tài)響應(yīng)的復(fù)頻域分析及電路仿真

上面給出的是例題的時(shí)域分析方法，在學(xué)完動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析法后，本例還可結(jié)合運(yùn)算等效電路的分析方法對(duì)該動(dòng)態(tài)電路的響應(yīng)進(jìn)行分析，并與時(shí)域分析方法進(jìn)行對(duì)比。圖1電路的運(yùn)算等效電路見圖2所示。圖2中R1和電容C1并聯(lián)結(jié)構(gòu)以及R2和電容C2并聯(lián)結(jié)構(gòu)運(yùn)算阻抗分別為：

根據(jù)分壓公式，可以求出電容運(yùn)算電壓為：

（11）

顯然，由式（11）經(jīng)過(guò)拉普拉斯反變換可以獲得與式（9）相同的求解結(jié)果。由式（11）還可得到電容C1上的運(yùn)算電流為：

（12）

對(duì)式（12）的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行拉普拉斯反變換，可以得到與式（10）相同的電流表達(dá)式。

上面用兩種分析方法都得到了脈沖分壓電路的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，課堂教學(xué)分析的過(guò)程使學(xué)生鞏固了已學(xué)知識(shí)。電路仿真軟件對(duì)于加深理解提高學(xué)習(xí)積極性有較大幫助。[7]在課堂教學(xué)過(guò)程中，筆者通過(guò)電路仿真軟件，現(xiàn)場(chǎng)搭建了仿真電路，向?qū)W生演示了仿真結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證上述時(shí)域和復(fù)頻域響應(yīng)的分析結(jié)果。

利用EWB軟件搭建如圖3（a）所示的仿真電路[8]，仿真電路運(yùn)行結(jié)果見圖3（b）所示，可以看出電路換路后電容電壓發(fā)生躍變，然后進(jìn)入過(guò)渡過(guò)程，電路仿真結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果一致。

四、結(jié)語(yǔ)

在電路課堂教學(xué)中，特別在講授較為復(fù)雜難于理解的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，要實(shí)時(shí)抓住學(xué)生的認(rèn)識(shí)疑點(diǎn)和誤區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論和思考，同時(shí)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，可采用多種不同分析方法加以推導(dǎo)論證，必要時(shí)還可進(jìn)行電路仿真分析和實(shí)驗(yàn)分析，可以更加直觀地表現(xiàn)出電路中各變量的變化特點(diǎn)，使理論分析的結(jié)果得到進(jìn)一步驗(yàn)證。這些對(duì)于提高課堂教學(xué)效果、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯分析能力是有較大幫助的。

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（責(zé)任編輯：王祝萍）