鄧軍民

從廣東高考數(shù)學(xué)考試說明以及近幾年廣東高考數(shù)學(xué)題來看，統(tǒng)計(jì)與概率是交相輝映的，而統(tǒng)計(jì)的核心是在數(shù)據(jù)處理能力考查的背景下重點(diǎn)關(guān)注統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征，以及與此相關(guān)的數(shù)字特征和簡(jiǎn)單的概率計(jì)算.在當(dāng)前的高考要求下，很難有別具一格的突破，未來高考對(duì)這一塊的考查，應(yīng)該會(huì)保持當(dāng)前的模式，適度追求應(yīng)用特征，更加突出統(tǒng)計(jì)概率在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值. “統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例”主要會(huì)從如下幾個(gè)方向進(jìn)行考查.

考向一、抽樣方法與總體分布的估計(jì)

預(yù)測(cè)考點(diǎn)1：抽樣方法

【例1】將參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生編號(hào)為001，002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003. 這600名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到300在第Ⅰ營(yíng)區(qū)，從301到495在第Ⅱ營(yíng)區(qū)，從496到600在第Ⅲ營(yíng)區(qū)，三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次為（ ）

A. 26， 16， 8 B. 25， 17， 8 C. 25， 16， 9 D. 24， 17， 9

答案：B.

解題感悟：（1）系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)——機(jī)械抽樣，又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對(duì)應(yīng)的號(hào)碼就是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)就是第1組所抽取樣本的號(hào)碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號(hào)碼.（2）系統(tǒng)抽樣時(shí)，如果總體中的個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可以先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行.

【練習(xí)1】（1）某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取 所學(xué)校，中學(xué)中抽取 所學(xué)校.

（2）用系統(tǒng)抽樣法要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1～160編號(hào)，按編號(hào)順序平均分成20組（1～8號(hào)，9～16號(hào)，…，153～160號(hào)），若第16組抽出的號(hào)碼為123，則第2組中應(yīng)抽出個(gè)體的號(hào)碼是 .

（2）由題意可知，系統(tǒng)抽樣的組數(shù)為20，間隔為8，設(shè)第1組抽出的號(hào)碼為x，則由系統(tǒng)抽樣的法則可知，第n組抽出個(gè)體的號(hào)碼應(yīng)該為x+（n-1）×8，所以第16組應(yīng)抽出的號(hào)碼為x+（16-1）×8=123，解得x=3，所以第2組中應(yīng)抽出個(gè)體的號(hào)碼為3+（2-1）×8=11.

答案 （1）18，9；（2）11.

預(yù)測(cè)考點(diǎn)2：頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用

【例2】某校從參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生，將其物理成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；

（2）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)本次考試中的平均分.

思維啟迪：利用各小長(zhǎng)方形的面積和等于1求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，再補(bǔ)齊頻率分布直方圖.

解析：（1）設(shè)分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，有（0.010+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示.

（2）平均分為x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（分）.

【練習(xí)2】某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)[25，55]歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念，稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）求n，a，p的值.

【例3】甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：

甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.

（1）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

（2）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的方差；

（3）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，估計(jì)一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰(shuí)更好一些.

又∵ s2 甲>s2 乙，說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動(dòng)大，因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定.

解題感悟：平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大小.

【練習(xí)3】（1）如右圖是某電視臺(tái)綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（ ）

A. 84， 4.84 B. 84， 1.6 C. 85 ，4 D. 85， 1.6

（2）在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82，84，84， 86，86，86，88，88，88，88. 若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是（ ）

A. 眾數(shù) B. 平均數(shù) C. 中位數(shù) D. 標(biāo)準(zhǔn)差

（2）對(duì)樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)非零常數(shù)時(shí)不改變樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生改變.

答案：（1）D；（2）D.

考向二、變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例

預(yù)測(cè)考點(diǎn)1：兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系

【例4】5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

畫出散點(diǎn)圖，并判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系.

解析：以x軸表示數(shù)學(xué)成績(jī)，y軸表示物理成績(jī)，可得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示.

由散點(diǎn)圖可知，各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)大致在一條直線附近，所以兩者之間具有相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān).endprint

解題感悟：判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，一種簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖很容易看出兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)性，是不是存在線性相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，相關(guān)關(guān)系是強(qiáng)還是弱.

【練習(xí)4】對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，10），得散點(diǎn)圖（1）；對(duì)變量u、v有觀測(cè)數(shù)據(jù)（ui，vi）（i=1，2，…，10），得散點(diǎn)圖（2）.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（ ）

A. 變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)

B. 變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C. 變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)

D. 變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

解析：由圖（1）可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)；由圖（2）可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān). 答案為C.

預(yù)測(cè)考點(diǎn)2：線性回歸分析

【例5】某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得：

L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20x2+330x-1000=-20（x-8.25）2+361.25.

當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時(shí)，L取得最大值. 故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn).

解題感悟：回歸直線過樣本點(diǎn)中心（x，y）是一條重要性質(zhì)；利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).

【練習(xí)5】為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x（單位：小時(shí)）與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：

小李這5天的平均投籃命中率為 ；用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為 .

答案：0.5；0.53.

預(yù)測(cè)考點(diǎn)3：獨(dú)立性檢驗(yàn)

【例6】在調(diào)查男女乘客是否暈機(jī)的事件中，已知男乘客暈機(jī)為28人，不暈機(jī)的也是28人，而女乘客暈機(jī)為28人，不暈機(jī)的為56人.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為暈機(jī)與性別有關(guān)系？

P（K2≥3.841） = 0.05. 所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為暈機(jī)與性別有關(guān)系.

解題感悟：解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，首先要根據(jù)題目條件列出兩個(gè)變量的2×2列聯(lián)表，通過計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，依據(jù)臨界值與犯錯(cuò)誤的概率得出結(jié)論.注意觀測(cè)值的臨界值與概率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【練習(xí)3】某學(xué)生對(duì)其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù).（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主）

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表：

（2）能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡(jiǎn)要分析.

解析：（1）2×2列聯(lián)表如下：

預(yù)測(cè)考點(diǎn)4：統(tǒng)計(jì)與概率交相輝映

【例7】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

（1）根據(jù)已知條件完成下面2×2的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你有多

（2）大把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？

（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X. 若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）.

解題感悟：這是一道典型的把統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率知識(shí)中的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算相綜合的高考題，題目設(shè)計(jì)中規(guī)中矩，考點(diǎn)的考查全面、巧妙，將高考概率統(tǒng)計(jì)的多個(gè)考點(diǎn)如此完美地綜合在一起，可謂一道很漂亮的統(tǒng)計(jì)與概率融合的解答題.

【練習(xí)8】“行通濟(jì)”是廣東佛山一帶在元宵節(jié)期間舉行的游玩祈?；顒?dòng)，每到這一天，家家戶戶都會(huì)扶老攜幼，自清晨到夜幕，舉著風(fēng)車、搖著風(fēng)鈴、拎著生菜浩浩蕩蕩地由北到南走過通濟(jì)橋，祈求來年平平安安、順順利利. 為了了解不同年齡層次的人對(duì)這一傳統(tǒng)習(xí)俗的參與度，現(xiàn)隨機(jī)抽取年齡在20～80歲之間的60人，并按年齡層次[20， 30）， [30， 40），[40， 50）， [50， 60）， [60， 70）， [70， 80）繪制頻率分布直方圖如圖所示，其中參與了2014年“行通濟(jì)”活動(dòng)的人數(shù)如下表.若規(guī)定年齡分布在[20， 60）歲的為“中青年人”，60歲以上（含60歲）為“老年人”.

（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“老年人”比“中青年人”更認(rèn)同“行通濟(jì)”這一民俗？

（2）用樣本估計(jì)總體，從全佛山市民中隨機(jī)抽取3人，記抽到“老年人”的人數(shù)為？孜，求隨機(jī)變量？孜的分布列和數(shù)學(xué)期望.

從近幾年廣東高考數(shù)學(xué)卷來看，統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例相關(guān)的高考試題主要是以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，但是從全國(guó)各地的高考題來看，這個(gè)章節(jié)的高考題也有可能以解答題的形式出現(xiàn)，并且很有可能是以統(tǒng)計(jì)與概率相結(jié)合的形式呈現(xiàn)，當(dāng)然，按照考試大綱的要求，這部分試題難度不會(huì)很大，多以知識(shí)立意為主，設(shè)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)主要是抽樣方法、頻率分布直方圖、線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)以及分布列、期望與方差的計(jì)算等，譬如2014年高考廣東理科數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)概率解答題就考查了頻率分布表、頻率分布直方圖以及隨機(jī)變量的概率計(jì)算問題.我們只要掌握好本文中的上述考點(diǎn)，就能在高考考場(chǎng)上運(yùn)籌帷幄，讓統(tǒng)計(jì)概率考題迎刃而解.

（作者單位：廣州市第二中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)endprint

解題感悟：判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，一種簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖很容易看出兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)性，是不是存在線性相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，相關(guān)關(guān)系是強(qiáng)還是弱.

【練習(xí)4】對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，10），得散點(diǎn)圖（1）；對(duì)變量u、v有觀測(cè)數(shù)據(jù)（ui，vi）（i=1，2，…，10），得散點(diǎn)圖（2）.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（ ）

A. 變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)

B. 變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C. 變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)

D. 變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

解析：由圖（1）可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)；由圖（2）可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān). 答案為C.

預(yù)測(cè)考點(diǎn)2：線性回歸分析

【例5】某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得：

L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20x2+330x-1000=-20（x-8.25）2+361.25.

當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時(shí)，L取得最大值. 故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn).

解題感悟：回歸直線過樣本點(diǎn)中心（x，y）是一條重要性質(zhì)；利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).

【練習(xí)5】為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x（單位：小時(shí)）與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：

小李這5天的平均投籃命中率為 ；用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為 .

答案：0.5；0.53.

預(yù)測(cè)考點(diǎn)3：獨(dú)立性檢驗(yàn)

【例6】在調(diào)查男女乘客是否暈機(jī)的事件中，已知男乘客暈機(jī)為28人，不暈機(jī)的也是28人，而女乘客暈機(jī)為28人，不暈機(jī)的為56人.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為暈機(jī)與性別有關(guān)系？

P（K2≥3.841） = 0.05. 所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為暈機(jī)與性別有關(guān)系.

解題感悟：解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，首先要根據(jù)題目條件列出兩個(gè)變量的2×2列聯(lián)表，通過計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，依據(jù)臨界值與犯錯(cuò)誤的概率得出結(jié)論.注意觀測(cè)值的臨界值與概率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【練習(xí)3】某學(xué)生對(duì)其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù).（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主）

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表：

（2）能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡(jiǎn)要分析.

解析：（1）2×2列聯(lián)表如下：

預(yù)測(cè)考點(diǎn)4：統(tǒng)計(jì)與概率交相輝映

【例7】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

（1）根據(jù)已知條件完成下面2×2的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你有多

（2）大把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？

（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X. 若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）.

解題感悟：這是一道典型的把統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率知識(shí)中的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算相綜合的高考題，題目設(shè)計(jì)中規(guī)中矩，考點(diǎn)的考查全面、巧妙，將高考概率統(tǒng)計(jì)的多個(gè)考點(diǎn)如此完美地綜合在一起，可謂一道很漂亮的統(tǒng)計(jì)與概率融合的解答題.

【練習(xí)8】“行通濟(jì)”是廣東佛山一帶在元宵節(jié)期間舉行的游玩祈?；顒?dòng)，每到這一天，家家戶戶都會(huì)扶老攜幼，自清晨到夜幕，舉著風(fēng)車、搖著風(fēng)鈴、拎著生菜浩浩蕩蕩地由北到南走過通濟(jì)橋，祈求來年平平安安、順順利利. 為了了解不同年齡層次的人對(duì)這一傳統(tǒng)習(xí)俗的參與度，現(xiàn)隨機(jī)抽取年齡在20～80歲之間的60人，并按年齡層次[20， 30）， [30， 40），[40， 50）， [50， 60）， [60， 70）， [70， 80）繪制頻率分布直方圖如圖所示，其中參與了2014年“行通濟(jì)”活動(dòng)的人數(shù)如下表.若規(guī)定年齡分布在[20， 60）歲的為“中青年人”，60歲以上（含60歲）為“老年人”.

（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“老年人”比“中青年人”更認(rèn)同“行通濟(jì)”這一民俗？

（2）用樣本估計(jì)總體，從全佛山市民中隨機(jī)抽取3人，記抽到“老年人”的人數(shù)為？孜，求隨機(jī)變量？孜的分布列和數(shù)學(xué)期望.

從近幾年廣東高考數(shù)學(xué)卷來看，統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例相關(guān)的高考試題主要是以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，但是從全國(guó)各地的高考題來看，這個(gè)章節(jié)的高考題也有可能以解答題的形式出現(xiàn)，并且很有可能是以統(tǒng)計(jì)與概率相結(jié)合的形式呈現(xiàn)，當(dāng)然，按照考試大綱的要求，這部分試題難度不會(huì)很大，多以知識(shí)立意為主，設(shè)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)主要是抽樣方法、頻率分布直方圖、線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)以及分布列、期望與方差的計(jì)算等，譬如2014年高考廣東理科數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)概率解答題就考查了頻率分布表、頻率分布直方圖以及隨機(jī)變量的概率計(jì)算問題.我們只要掌握好本文中的上述考點(diǎn)，就能在高考考場(chǎng)上運(yùn)籌帷幄，讓統(tǒng)計(jì)概率考題迎刃而解.

（作者單位：廣州市第二中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)endprint

解題感悟：判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，一種簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖很容易看出兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)性，是不是存在線性相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，相關(guān)關(guān)系是強(qiáng)還是弱.

【練習(xí)4】對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，10），得散點(diǎn)圖（1）；對(duì)變量u、v有觀測(cè)數(shù)據(jù)（ui，vi）（i=1，2，…，10），得散點(diǎn)圖（2）.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（ ）

A. 變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)

B. 變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C. 變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)

D. 變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

解析：由圖（1）可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)；由圖（2）可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān). 答案為C.

預(yù)測(cè)考點(diǎn)2：線性回歸分析

【例5】某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得：

L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20x2+330x-1000=-20（x-8.25）2+361.25.

當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時(shí)，L取得最大值. 故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn).

解題感悟：回歸直線過樣本點(diǎn)中心（x，y）是一條重要性質(zhì)；利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).

【練習(xí)5】為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x（單位：小時(shí)）與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：

小李這5天的平均投籃命中率為 ；用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為 .

答案：0.5；0.53.

預(yù)測(cè)考點(diǎn)3：獨(dú)立性檢驗(yàn)

【例6】在調(diào)查男女乘客是否暈機(jī)的事件中，已知男乘客暈機(jī)為28人，不暈機(jī)的也是28人，而女乘客暈機(jī)為28人，不暈機(jī)的為56人.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為暈機(jī)與性別有關(guān)系？

P（K2≥3.841） = 0.05. 所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為暈機(jī)與性別有關(guān)系.

解題感悟：解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，首先要根據(jù)題目條件列出兩個(gè)變量的2×2列聯(lián)表，通過計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，依據(jù)臨界值與犯錯(cuò)誤的概率得出結(jié)論.注意觀測(cè)值的臨界值與概率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【練習(xí)3】某學(xué)生對(duì)其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù).（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主）

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表：

（2）能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡(jiǎn)要分析.

解析：（1）2×2列聯(lián)表如下：

預(yù)測(cè)考點(diǎn)4：統(tǒng)計(jì)與概率交相輝映

【例7】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

（1）根據(jù)已知條件完成下面2×2的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你有多

（2）大把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？

（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X. 若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）.

解題感悟：這是一道典型的把統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率知識(shí)中的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算相綜合的高考題，題目設(shè)計(jì)中規(guī)中矩，考點(diǎn)的考查全面、巧妙，將高考概率統(tǒng)計(jì)的多個(gè)考點(diǎn)如此完美地綜合在一起，可謂一道很漂亮的統(tǒng)計(jì)與概率融合的解答題.

【練習(xí)8】“行通濟(jì)”是廣東佛山一帶在元宵節(jié)期間舉行的游玩祈?；顒?dòng)，每到這一天，家家戶戶都會(huì)扶老攜幼，自清晨到夜幕，舉著風(fēng)車、搖著風(fēng)鈴、拎著生菜浩浩蕩蕩地由北到南走過通濟(jì)橋，祈求來年平平安安、順順利利. 為了了解不同年齡層次的人對(duì)這一傳統(tǒng)習(xí)俗的參與度，現(xiàn)隨機(jī)抽取年齡在20～80歲之間的60人，并按年齡層次[20， 30）， [30， 40），[40， 50）， [50， 60）， [60， 70）， [70， 80）繪制頻率分布直方圖如圖所示，其中參與了2014年“行通濟(jì)”活動(dòng)的人數(shù)如下表.若規(guī)定年齡分布在[20， 60）歲的為“中青年人”，60歲以上（含60歲）為“老年人”.

（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“老年人”比“中青年人”更認(rèn)同“行通濟(jì)”這一民俗？

（2）用樣本估計(jì)總體，從全佛山市民中隨機(jī)抽取3人，記抽到“老年人”的人數(shù)為？孜，求隨機(jī)變量？孜的分布列和數(shù)學(xué)期望.

從近幾年廣東高考數(shù)學(xué)卷來看，統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例相關(guān)的高考試題主要是以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，但是從全國(guó)各地的高考題來看，這個(gè)章節(jié)的高考題也有可能以解答題的形式出現(xiàn)，并且很有可能是以統(tǒng)計(jì)與概率相結(jié)合的形式呈現(xiàn)，當(dāng)然，按照考試大綱的要求，這部分試題難度不會(huì)很大，多以知識(shí)立意為主，設(shè)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)主要是抽樣方法、頻率分布直方圖、線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)以及分布列、期望與方差的計(jì)算等，譬如2014年高考廣東理科數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)概率解答題就考查了頻率分布表、頻率分布直方圖以及隨機(jī)變量的概率計(jì)算問題.我們只要掌握好本文中的上述考點(diǎn)，就能在高考考場(chǎng)上運(yùn)籌帷幄，讓統(tǒng)計(jì)概率考題迎刃而解.

（作者單位：廣州市第二中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)endprint