鄭昌紅

摘 要 本文先從一個(gè)實(shí)際問題出發(fā)，引出離散型均勻分布的參數(shù)估計(jì)的合理性，進(jìn)而討論連續(xù)性均勻分布的參數(shù)估計(jì)的合理性，從而推出更一般的情況。

關(guān)鍵詞 參數(shù)估計(jì) 矩估計(jì) 均勻分布 無(wú)偏估計(jì)

中圖分類號(hào)：O212.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在二戰(zhàn)期間，德國(guó)坦克戰(zhàn)斗力優(yōu)于盟軍。為了知己知彼，了解德軍坦克數(shù)顯然可以幫助盟軍評(píng)估獲勝幾率和調(diào)整武器裝備。因此盟軍開始尋找方法進(jìn)行推算，他們最后找到了重要線索。盟軍發(fā)現(xiàn)德軍墨守成規(guī)，每輛坦克都有一個(gè)獨(dú)特的序列號(hào)，序列號(hào)有一個(gè)模式，代表了坦克生產(chǎn)訂單，而且每個(gè)號(hào)碼不會(huì)重復(fù)。那么怎么樣根據(jù)繳獲的德軍坦克的編號(hào)來(lái)估計(jì)德軍坦克數(shù)量呢？

觀察整個(gè)問題，最終需要估計(jì)德軍坦克的數(shù)量，這個(gè)數(shù)量是一個(gè)未知參數(shù)，其估計(jì)值要通過(guò)繳獲的坦克編號(hào)得到。

設(shè)總體表示繳獲的坦克的編號(hào)，德軍坦克數(shù)為。顯然繳獲每一輛坦克都是等可能的，則的分布律為：（ = ） = ，（ = 1，2，…，）其中分布律中德軍坦克數(shù)為未知參數(shù)。

這種分布不如可以理解成離散型的隨機(jī)變量的均勻分布，即取得每個(gè)可能取值的可能性是一樣的。

這里我們先給出第一種常規(guī)方法求出未知參數(shù)的矩估計(jì)。

根據(jù)總體的分布律，只有一個(gè)未知參數(shù)，所以只需求出其數(shù)學(xué)期望：

由于隨機(jī)變量的可能取值為1，2，…，，顯然這個(gè)估計(jì)量不能保證估計(jì)出來(lái)的坦克數(shù)比繳獲的坦克編號(hào)中最大的大，所以用這個(gè)來(lái)估計(jì)坦克數(shù)不合理。合理的估計(jì)值一定要大于等于繳獲的坦克編號(hào)中最大的，也就是說(shuō)我們關(guān)心的其實(shí)是取得的最大編號(hào)。為了滿足這個(gè)合理?xiàng)l件，我們通過(guò)編號(hào)最大值的分布來(lái)估計(jì)參數(shù)。

設(shè)總體表示繳獲坦克的編號(hào)的最大值，德軍坦克數(shù)為，繳獲的坦克數(shù)為，則的分布律為：

那么如何求呢？這要用到二項(xiàng)式系數(shù)的相關(guān)方法 。

顯然代數(shù)式 + + … + 中的系數(shù)為，經(jīng)過(guò)求和有 + + … + = ，所以其的系數(shù)即為分子的的系數(shù)，也就是說(shuō) = 。

進(jìn)一步可以得到： = = = ，從而 = ，所以矩估計(jì)為：。

首先一定滿足估計(jì)值大于等于繳獲坦克編號(hào)的條件。其次這個(gè)結(jié)果可以理解成估計(jì)值等于最大編號(hào)加上平均遺失的編號(hào)。

二戰(zhàn)結(jié)束后，盟軍通過(guò)德軍遺留下來(lái)的資料發(fā)現(xiàn)，德國(guó)在1940年夏天到1942年秋天期間，每月生產(chǎn)坦克255輛。根據(jù)戰(zhàn)后獲得的德國(guó)內(nèi)部統(tǒng)計(jì)數(shù)字，坦克的真實(shí)生產(chǎn)速度是每月256輛，僅僅差了一輛，用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)出來(lái)的坦克數(shù)量與實(shí)際坦克數(shù)量如此驚人的相似。這個(gè)結(jié)果比剛開始動(dòng)用傳統(tǒng)的情報(bào)收集方法：間諜活動(dòng)、攔截和破譯軸心國(guó)通訊，審訊俘虜這些手段估計(jì)出來(lái)的結(jié)果要準(zhǔn)確得多。

這實(shí)際上是一個(gè)離散均勻分布的參數(shù)估計(jì)問題。自然我們想到連續(xù)性均勻分布的參數(shù)估計(jì)問題。

設(shè)隨機(jī)變量～（），其中為未知參數(shù)。很容易求出的極大似然估計(jì)為：，即用樣本的最小值和最大值分別來(lái)估計(jì)。但是顯然估計(jì)偏大， 估計(jì)偏小。

下面我們用一般的矩估計(jì)的方法求的估計(jì)量。

的概率密度函數(shù)為：

則，解得：

所以的矩估計(jì)量為：

此估計(jì)量與上面的例子類似的存在缺點(diǎn)：對(duì)樣本（，，…，），記 = （，，…，）， = （，，…，），顯然對(duì)任意樣本觀察值都有≤≤≤，所以上述矩估計(jì)不能保證的估計(jì)值小于最小的，的估計(jì)值大于最大的這個(gè)條件，也就是說(shuō)這個(gè)估計(jì)量是不合理的。為了滿足合理性，我們更應(yīng)該關(guān)心樣本中的最大和最小值的情況。即，的情況。

由于，，…，相互獨(dú)立且同分布，設(shè)其分布函數(shù)為（），則

是，的線性組合，其估計(jì)的結(jié)果可以理解成：表示樣本的最小值減去樣本的平均距離，表示樣本的最大值加上樣本的平均距離，這個(gè)結(jié)果比起極大似然估計(jì)和一般的矩估計(jì)顯然更合理。

很容易證明分別是的無(wú)偏估計(jì)量，由文獻(xiàn)[3]還可以知道還是的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)量。

由上面的討論，我們可以把這個(gè)問題推廣到更一般的情況。若隨機(jī)變量的可能取值范圍受未知參數(shù)的控制，那么我們用常規(guī)的點(diǎn)估計(jì)的方法估計(jì)出來(lái)的結(jié)果可能不合理，這時(shí)我們可以用類似于上述的方法對(duì)估計(jì)方法進(jìn)行調(diào)整，使得估計(jì)量具有合理性。