鄧曉飛

動點問題是我們在生活中經(jīng)常遇見的問題，也是教材和各類考試中的難題.所以，動點問題一直是初中數(shù)學(xué)考試的重點，對學(xué)生來說，這類問題始終是一個難點，這主要因為解決這類問題需要分類，學(xué)生往往考慮不周全，或者學(xué)生理不清頭緒，思路混亂.因此，動點試題能很好地展示學(xué)生的分析、探究能力，考查數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，為具備較強探究能力，邏輯推理能力，以及靈活運用數(shù)學(xué)知識的能力的學(xué)生，提供展示自我的空間，本文就初中數(shù)學(xué)中的一些動點問題作探討，供大家參考.

例1：已知：線段AB=28cm.

（1）如圖1，點P沿線段AB自點A以2cm/秒的速度向點B運動，點P出發(fā)2秒后，點Q沿線段BA自點B以3cm/秒的速度向點A運動，問再經(jīng)過幾秒后P、Q相距4cm？

（2）如圖2，AO=8cm，PO=4cm，∠POB=60°，點P繞著點O以60度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周停止，同時點Q沿直線BA自點B向點A運動.設(shè)點P、Q運動的時間為t（秒）.

①當(dāng)t=？搖？搖？搖 ？搖？搖時，∠AOP=90°；

②假若點P、Q兩點能相遇，求點Q運動的速度.

解答：（1）設(shè)再經(jīng)過ts后，點P、Q相距5cm，①P、Q未相遇前相距5cm，依題意可列2（t+2）+3t=20-5，解得t=11/5；②P、Q相遇后相距5cm，依題意可列2（t+2）+3t=20+5，解得t=21/5.答：經(jīng)過11/5s或21/5s后，點P、Q相距5cm.

（2）點P，Q只能在直線AB上相遇，則點P旋轉(zhuǎn)到直線AB上的時間為120/60=2s或（120+180）/60=5s.

設(shè)點Q的速度為ym/s，

當(dāng)2秒時相遇，依題意得2y=20-2=18，解得y=9.

當(dāng)5秒時相遇，依題意得5y=20-6=14，解得y=2.8.

答：點Q的速度為9m/s或2.8m/s.

思考題1：如圖2，AO=8cm，PO=4cm，∠POB=60°，點P繞著點O以x度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周停止，同時點Q沿直線BA自點B以ycm/秒的速度向點A運動，當(dāng)點Q到達點A時，∠POQ恰好等于90°，則x∶y=？搖？搖 ？搖？搖？搖.

例2：如圖3，已知線段AB=12cm，點C為AB上的一個動點，點D、E分別是AC和BC的中點.

（1）若點C恰好是AB中點，則DE=？搖？搖？搖 ？搖？搖cm；（2）若AC=4cm，求DE的長；（3）試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，說明不論AC取何值（不超過12cm），DE的長不變；（4）知識遷移：如圖4，已知∠AOB=120°，過角的內(nèi)部任一點C畫射線OC，若OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，試說明∠DOE=60°與射線OC的位置無關(guān).

解答：

（1）∵AB=12cm，點D、E分別是AC和BC的中點，C點為AB的中點，

∴AC=BC=6cm，∴CD=CE=3cm，∴DE=6cm，

（2）∵AB=12cm，∴AC=4cm，∴BC=8cm，

∵點D、E分別是AC和BC的中點，∴CD=2cm，CE=4cm，∴DE=6cm.

（3）設(shè)AC=acm，∵點D、E分別是AC和BC的中點，

∴DE=CD+CE=12（AC+BC）=12AB=6cm，

∴不論AC取何值（不超過12cm），DE的長不變.

（4）∵OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，

∴∠DOE=∠DOC+∠COE=12（∠AOC+∠COB）=12∠AOB，

∵∠AOB=120°，∴∠DOE=60°，∴∠DOE的度數(shù)與射線OC的位置無關(guān).

思考題2：如圖5，線段AB的長為4，O是線段AB上的點，點C、D分別是線段OA、OB的中點，小明很輕松地求得線段CD的長為2.他在反思過程中突發(fā)奇想：若點O運動到線段AB的延長線上，原有的結(jié)論是否仍然成立？請幫小明畫圖分析，并說明理由.

思考題3：如圖6，點B是線段AC的中點，D為AC延長線上的一個動點，記△PDA的面積為S1，△PDB的面積為S2，△PDC的面積為S3.試探索S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

例3：如圖7，∠AOB的邊OA上有一動點P，從距離點O18cm的點M處出發(fā)，沿線段MO，射線OB運動，速度為2cm/s；動點Q從點O出發(fā)，沿射線OB運動，速度為1cm/s.P，Q同時出發(fā)，設(shè)運動時間是t（s）.

（1）請用含t的代數(shù)式表示下列線段長度：當(dāng)點P在MO上運動時，MP=？搖？搖？搖 ？搖？搖cm，PO=？搖？搖？搖 ？搖？搖cm.

（2）當(dāng)點P在MO上運動時，t為何值，能使PO=OQ？

（3）若點Q運動到距離點O距離16cm的點N處停止，在點Q停止運動前，點P能否追上點Q？如果能，求出t的值；如果不能，請說出理由.

解答：

（1）∵P點運動速度為：2cm/s，MO=18cm，

∴當(dāng)點P在MO上運動時，MP=2tcm，PO=（18-2t）cm，∴答案為：2t，（18-2t）.

（2）當(dāng)OP=OQ則18-2t=t，解得：t=6，即t=6時，能使PO=OQ.

（3）不能；理由：設(shè)當(dāng)t秒時點P追上點Q，則2t=t+18，解得t=18，

∵點P追上點Q需要18s，此時點Q已經(jīng)停止運動.

思考題4：如圖8，動點A從原點出發(fā)向數(shù)軸負方向運動，同時動點B也從原點出發(fā)向數(shù)軸正方向運動，2秒后，兩點相距16個單位長度.已知動點A、B的速度比為1∶3（速度單位：1個單位長度/秒）.

（1）求兩個動點運動的速度；

（2）在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點從原點出發(fā)運動2秒時的位置；

（3）若表示數(shù)0的點記為O，A、B兩點分別從（2）中標(biāo)出的位置同時向數(shù)軸負方向運動，再經(jīng)過多長時間，OB=2OA.

思考題5：如圖9，A、B、C是數(shù)軸上的三點，點C表示的數(shù)是6，BC=4，AB=12.

（1）寫出數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)；

（2）動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動.設(shè)運動時間為t（t>0）秒，t為何值時，原點O與點P、Q中，有一點恰好是另外兩點所連線段的中點.

例4：如圖10，△ABC和△ADC都是每邊長相等的等邊三角形（每個角都是60°），點E、F同時分別從點B、A出發(fā)，各自沿BA、AD方向運動到點A、D停止，運動的速度相同，連接EC、FC.

（1）在點E、F運動過程中∠ECF的大小是否隨之變化？請說明理由.

（2）在點E、F運動過程中，以點A、E、C、F為頂點的四邊形的面積變化了嗎？請說明理由.

（3）連接EF，在圖中找出和∠ACE相等的所有角，并說明理由.

（4）若點E、F在射線BA、射線AD上繼續(xù)運動下去，（1）小題中的結(jié)論還成立嗎？（直接寫出結(jié)論，不必說明理由）

解答：（1）∠ECF不變?yōu)?0°理由如下：

∵△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形，∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°.

又∵E、F兩點運動時間、速度相等，∴BE=AF，∴△BCE≌△ACF（SAS），

∴∠ECB=∠FCA，∴∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°.

（2）不變化.理由如下：

∵四邊形AECF的面積=△AFC的面積+△AEC的面積，△BCE≌△ACF，

∴△AEC的面積+△BEC的面積=△ABC的面積.

（3）證明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形，

∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，∴∠AFE=∠FCD，

∴∠ACE=∠FCD=∠AFE.

例4：如圖11，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.點P從A點出發(fā)沿A-C-B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿B-C-A路徑向終點運動，終點為A點.點P和Q分別以1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F.問：點P運動多少時間時，△PEC與QFC全等？請說明理由.

解答：如圖12，設(shè)運動時間為t秒時，△PEC≌△QFC，

∵△PEC≌△QFC，∴斜邊CP=CQ，

有四種情況：

（1）P在AC上，Q在BC上，CP=6-t，CQ=8-3t，∴6-t=8-3t，∴t=1.

（2）P、Q都在AC上，此時P、Q重合，∴CP=6-t=3t-8，∴t=3.5.

（3）P在BC上，Q在AC時，此時不存在；理由是：8÷3<6，Q到AC上時，P應(yīng)也在AC上.

（4）當(dāng)Q到A點（和A重合），P在BC上時，∵CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6，∴t-6=6∴t=12，∵t<14∴t=12，符合題意.

答：點P運動1或3.5或12秒時，△PEC與△QFC全等.

思考題6：如圖13，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.當(dāng)△APQ是等腰三角形時，運動的時間是多少秒？動點問題常用的公式有路程=速度×?xí)r間，速度=路程÷時間，時間=路程÷速度，面積公式S=1/2×底邊×高，一般求動點的路徑的長、求動點的時間、求動點的速度.考察的數(shù)學(xué)思想方法主要有：方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想，運動變化思想，分類思想，從特殊到一般的思想，等等.