廖順喬

（金渡鎮(zhèn)華僑初級中學(xué)，廣東 高要 526108）

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

廖順喬

（金渡鎮(zhèn)華僑初級中學(xué)，廣東 高要 526108）

數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸和分類討論，是常見的重要數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合分為以形助數(shù)、以數(shù)助形以及數(shù)形互化，它有直觀性，可使抽象問題形象化，復(fù)雜問題簡單化。通過圖形和數(shù)之間的關(guān)系，達到數(shù)、形互化，從而提高學(xué)生的分析問題，解決問題的能力。

初中教學(xué)；數(shù)形結(jié)合；以形助數(shù)；以數(shù)助形；互化

初中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容可分為兩部分，一部分是數(shù)，一部分是形，它們之間是互相聯(lián)系的。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離”。數(shù)形結(jié)合和函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論，是常見的重要數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合思想可使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化，有助于把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于數(shù)與形的信息相互傳遞。使用數(shù)形結(jié)合的思想方法，不但可以開拓學(xué)生的思維和視野，還可以培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思想意識，達到胸中有圖，見數(shù)想圖的境界。數(shù)結(jié)形合的思想在初中多個章節(jié)都有充分的體現(xiàn)。

一、以形助數(shù)，使數(shù)量關(guān)系形象化

（一）由數(shù)變形，數(shù)量關(guān)系的幾何意義

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，由數(shù)轉(zhuǎn)化為形，構(gòu)造出圖形，用它的幾何意義分析其代數(shù)意義。在實數(shù)中，實數(shù)與數(shù)軸是密不可分的，是數(shù)和形的結(jié)合體。利用數(shù)軸的直觀性獲得答案，可以體會數(shù)形結(jié)合的作用，認識到數(shù)與形是一種對應(yīng)關(guān)系。

例1a、b在數(shù)軸上的位置(圖1)所示，那么化簡的結(jié)果是( )。

圖1

A、2a-b;B、b;C、-b;D、-2a+b.

分析：先由數(shù)軸判斷實數(shù)a、b的正負，對a、b進行大小比較，由數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，認識到數(shù)與形一種對應(yīng)關(guān)系得知a＞0,b＞0,得a＞b,再判斷a-b的正負，即a-b＞0,并根據(jù)絕對值的幾何意義化簡，最后合并同類項。所以

有理數(shù)的大小比較，相反數(shù)的幾何意義，絕對值的幾何意義，無理數(shù)的幾何意義等，可利用數(shù)軸充分顯示數(shù)與形結(jié)合起來產(chǎn)生的作用，抽象與形象的結(jié)合，能使學(xué)生的思維清晰。實數(shù)的有關(guān)數(shù)量問題比較抽象，難以把握，如果依賴“形”的直觀性優(yōu)點解決問題，問題就變得簡單了。

（二）以形助數(shù)，數(shù)量關(guān)系向圖形轉(zhuǎn)化

把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀圖形是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用方法之一。若無“形”，可通過構(gòu)造或聯(lián)想，正確繪制圖形，反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，減少紛繁復(fù)雜的計算。初中數(shù)學(xué)教材中的方程、不等式都與函數(shù)知識有直接的聯(lián)系，可以利用數(shù)形結(jié)合的思維方法，處理函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的關(guān)系。方程、不等式與函數(shù)間的抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題借助了形的直觀，就可以體會到數(shù)與式之間的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化。

例2是否存在這樣的實數(shù)k，使二次方程x2+(2k-1)x+(3k+2)=0，有兩個實根且兩根都在2，4之間？如果有，試確定k的取值范圍。

利用數(shù)形結(jié)合思想分析，設(shè)二次函數(shù)y=x2+(2k-1)x+(3k+2),題中方程兩實根介于2和4之間，即所設(shè)函數(shù)的圖象與x軸的兩交點位于（2，0）（4，0）之間。畫出滿足題意的拋物線的草圖（圖2）是關(guān)鍵，該圖象成立須滿足條件如下：(1)△≥0;(2)當x＜2時，y＞0;（3）當x＞4時，y＞0;(4)對稱軸應(yīng)滿足。由以上四個條件便可確定k的取值范圍。

圖2

此題運用了二次函數(shù)的圖象討論了一元二次方程實根的分布，探求參數(shù)的取值范圍，其過程滲透了轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想。

數(shù)形結(jié)合的思想，我們還可以通過函數(shù)圖象得到不等式組、方程組的解集，即函數(shù)圖象中的交點坐標，利用數(shù)形結(jié)合，在“形”中找到“數(shù)”。在解決一些數(shù)學(xué)問題時，充分運用數(shù)學(xué)知識的輔助圖形，將數(shù)量問題形象化、直觀化，使抽象問題一目了然。把問題通過數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個圖形去解決，往往能迅速地較為簡單地得到解題思路和方法。

在探究中讓學(xué)生觀察圖形、猜想、討論總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生以“形”助“數(shù)”的數(shù)學(xué)能力。因此，靈活地運用數(shù)形結(jié)合思想,使本來難解決的問題通過它的“形”，快捷、準確地得到它的“數(shù)”，提高了效率。

二、以數(shù)助形，圖形關(guān)系數(shù)量化

（一）由形變數(shù)，位置關(guān)系數(shù)量化

由形變數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想中一個非常重要的方面。數(shù)形結(jié)合的思想，可用“數(shù)”作為解決“形”的輔助工具，將圖形問題數(shù)字化。基本圖形在初中幾何中起著重要的作用，許多基本圖形是借助數(shù)形結(jié)合來解決的。圓的有關(guān)位置關(guān)系在教學(xué)中凸現(xiàn)這一數(shù)學(xué)思想滲透的案例。

在“直線與圓的位置關(guān)系(圖3)”這一節(jié)課中，我們可以比較圓心o到線的距離d與圓半徑r

圖3

兩者的大小,或直線和圓的公共點個數(shù)，可確定直線和圓有三種位置關(guān)系，相離、相切和相交，得出直線與圓的位置關(guān)系的幾何特征與種類，進一步深化“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。在探究直線與圓的位置關(guān)系時，通過“數(shù)”與“形”的結(jié)合，形成了用代數(shù)法解決幾何問題，這種能力使學(xué)生以后探究數(shù)學(xué)問題時，可習(xí)慣地使用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題?？梢?，在圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題時，利用代數(shù)方法的一般性，解決文題過程的程序化，可操作性強，把有關(guān)圖形的性質(zhì)通過數(shù)量關(guān)系來描述和計算，通過合理簡捷的運算解決問題。

（二）以數(shù)助形，圖形屬性精確化

數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，它可以借助數(shù)的精確性來闡明形的屬性，也就是以數(shù)作為手段，形作為目的。三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽,創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,他用幾何圖形的截、割、拼、補這種動手操作的方法來證明直角三角形三邊間的相等關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想方法，得出了勾股定理，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點。在這幅“勾股圓方圖”（圖4）中，以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成的。每個直角三角形的面積為,中間的小正方形邊長為(b-a),則面積為(b-a)2。于是便可得如下的式子：

圖4

對幾何圖形的探究，往往需借助于線段或角的數(shù)量去分析研究，在探索勾股定理的過程中，正確地引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的思想，使他們的思路開闊，方法簡便、快捷。說明以“數(shù)”助“形”，可使所探究的問題由難變易。

三、數(shù)形互化，優(yōu)勢互補，尋求解決問題方案

數(shù)形互化指通過數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化來研究并解決問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，建立數(shù)形互化思想并加以運用，尋求解決問題方案，優(yōu)勢互補。初中數(shù)學(xué)函數(shù)主要學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、及二次函數(shù)等內(nèi)容，函數(shù)知識突出的重點與特色就是數(shù)學(xué)建模與數(shù)形結(jié)合的思想。

在“二次函數(shù)y=a(x-h)2圖象及其性質(zhì)”教學(xué)時，利用多媒體演示，觀察、比較幾個不同的二次函數(shù):。我們可以從不同的角度把兩個函數(shù)與函數(shù)進行對比，得到左右平移的結(jié)論。括號內(nèi)是(x+1)，圖象向x軸的負方向平移；括號內(nèi)是(x-1)，圖象向x軸的正方向平移（圖5）。通過數(shù)的變化得到平移的形，通過形的平移得到變化的數(shù)，把這種類型的二次函數(shù)寫成y=a(x-h)2的形式。當h＞0時，將拋物線y=ax2向右平移h個單位；當h＜0時，將拋物線y=ax2向左平移h個單位。由此可見，數(shù)和形互相支撐，可以靈活互化。在初步建立二次函數(shù)表達式與圖象之間的聯(lián)系中，從對圖形性質(zhì)的研究而抽象為代數(shù)的函數(shù)，而對函數(shù)圖象性質(zhì)的研究又能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律，還可以體會到“數(shù)”與“形”的互相轉(zhuǎn)化，互相依賴，以及數(shù)學(xué)的內(nèi)在美感。

圖5

總之，數(shù)與形是數(shù)學(xué)的基本研究對象,它們之間的既對立又統(tǒng)一的關(guān)系，揭示了數(shù)形結(jié)合思想在解決問題時的重要作用,以及數(shù)形結(jié)合的意義。數(shù)形結(jié)合是通過圖形和數(shù)之間的關(guān)系，達到數(shù)、形互補，從而提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。由于數(shù)形結(jié)合具有化抽象為形象，直觀性強，學(xué)生易于接受的優(yōu)點，我們要把這種數(shù)學(xué)思想充分滲透到初中數(shù)學(xué)的各個環(huán)節(jié)，多渠道向?qū)W生傳授數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

(責任編輯：李方滿)

廖順喬，女，廣東省高要市金渡鎮(zhèn)華僑初級中學(xué)，數(shù)學(xué)中學(xué)一級教師。