張利

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一.新課程的基本數(shù)學(xué)理念就是“倡導(dǎo)積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式，并注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與能力.”因此教師應(yīng)該注意展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過(guò)程和數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)探究的樂(lè)趣，進(jìn)而讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考并靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)去分析解決具體問(wèn)題.筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，從三個(gè)方面加以說(shuō)明。1 解題教學(xué)應(yīng)有解題途徑的探索過(guò)程.

在解題教學(xué)中，教師可通過(guò)啟發(fā)性的提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生探索解題途徑.下面是筆者的教學(xué)實(shí)錄：圖1問(wèn)題 如圖1，直線l：y=kx+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上有一點(diǎn)M使得B、M、A三點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，求證：AB平行于拋物線在M處的切線.

師：首先，我們的解題目標(biāo)是什么？

生：證明過(guò)M的切線與AB平行.

師：好，那如何證明兩直線為平行直線呢？

生：只要證明他們的斜率相同就可以了.

師：直線AB的斜率與拋物線在M點(diǎn)的切線斜率如何表示？

生：直線AB的方程為y=kx+2，kAB=k.拋物線在M點(diǎn)的切線斜率就是y=2x2在M點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，而y′=4x.由題意可知：xM=xA+xB2.聯(lián)立y=2x2，

y=kx+2. 得：2x2-kx-2=0，由韋達(dá)定理得：xA+xB=k2，故xM=k4，所以拋物線在M處切線斜率為k.

師：很好！這樣大家的解題目標(biāo)就實(shí)現(xiàn)了.在剛才的解題過(guò)程中，我們借助于韋達(dá)定理將點(diǎn)M的坐標(biāo)與k聯(lián)系起來(lái)，那么除了這種方式，我們還有沒(méi)有其它方法聯(lián)系k和M的坐標(biāo)呢？

生：設(shè)A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）（xA≠xB）.根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)算斜率公式可知：k=2x2B-2x2AxB-xA=2（xA+xB）=4xM，因此xM=k4.又因?yàn)閽佄锞€在M處切線斜率為：y′=4xM=k.所以拋物線在M處切線與AB平行.

師：對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們采用了兩種不同的方式，但殊途同歸，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)M處導(dǎo)數(shù)與直線AB的斜率k間的轉(zhuǎn)化。2 數(shù)學(xué)探究要有變式的探究過(guò)程.

探究課題的選擇是完成探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.課題的準(zhǔn)確選擇有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解、發(fā)揮學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力、養(yǎng)成探究問(wèn)題的意識(shí).筆者認(rèn)為，課題的選擇要有深度，但不要超出學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)范圍；同時(shí)，還要具有發(fā)散性，能發(fā)揮學(xué)生思維的廣度.還是依上題為例：在學(xué)生得出kAB=k切后我接著提出了以下問(wèn)題供學(xué)生思考：圖2思考1 如圖2，求△AOB面積的最小值.

探索：要想求最值，那首先應(yīng)該解決如何表示S△AOB這一問(wèn)題.

方法一 聯(lián)立y=2x2，

y=kx+2， 消元得2x2-kx-2=0，由韋達(dá)定理得：xA+xB=k2，

xA·xB=-1.根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得：

AB=1+k2·（xA+xB）2-4xAxB=121+k2·k2+16.

由點(diǎn)到直線的距離公式可知O到AB的距離為：d=21+k2.由以上討論S△AOB=12AB·d=k2+162.因此k=0時(shí)，S△AOB最小，最小值為2（因?yàn)棣?gt;；0，所以k∈R）.

方法二 如圖3，采用分割的思想，先將三角形分成以O(shè)M為底邊的兩個(gè)三角形再求和，會(huì)得到S△AOB=12OM·（xA+xB）=12OM·（xB-xA），由方程組y=2x2，

y=kx+2， 消元可得：2x2-kx-2=0.由xB-xA=（xA+xB）2-4xAxB，可得：

S△AOB=k2+162≥2，k=0時(shí)達(dá)到最小.

這樣就能讓學(xué)生體驗(yàn)S△AOB的表示方法及函數(shù)的思想，讓學(xué)生初步領(lǐng)略“解析”幾何.圖3 圖4思考2 證明拋物線在A、B兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是xA、xB的等差中項(xiàng).

證明 如圖4，由（1）可知y′=4x.設(shè)A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）.由題意AM，BM不垂直于x軸，

AM：y-2x2A=4xA（x-xA），

BM：y-2x2B=4xB（x-xB），兩式相減可得交點(diǎn)坐標(biāo)：xM=xA+xB2.更進(jìn)一步可得，yM=4xA·xA+xB2-2x2A=2xAxB=-2.由此說(shuō)明A、B兩點(diǎn)處的切線交點(diǎn)恒在y=-2上.

思考3 由思考2得，過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)恒在y=-2上.基于此我們能不能大膽的猜想：任意直線l：y=kx+m與拋物線x2=2py交于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)恒都是xA、xB的等差中項(xiàng)，且點(diǎn)M都在直線y=-m上呢？下面我們?cè)囎C明一下：

一般地，由y′=xp，可得：AM：y=x1px-x212p，

BM：y=x2px-x222p. 求解方程組得：xM=x1+x22，

yM=x1·x22p.

又M點(diǎn)滿足方程組：x2=2py，

y=kx+m，消y得x2-2pkx-2pm=0，因此yM=x1·x22p=-m.

這樣我們就證明了我們的猜想.而由思考二到思考三的過(guò)程就是一個(gè)由個(gè)別到一般的歸納證明過(guò)程，這也是我們由感性感知問(wèn)題升華到縝密理性邏輯思維的過(guò)程.

思考4 剛才的問(wèn)題反過(guò)來(lái)，即過(guò)直線y=-m上任一點(diǎn)M，作x2=2py的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，是否有xA+xB=2xM且直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，m）呢？

設(shè)M（xM，-m），則y′=xp.設(shè)A（xA，x2A2p），B（xB，x2B2p），可得：AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），

BM：y-x2B2p=xBp（x-xB），求交點(diǎn)得：xM=xA+xB2.將M（xA+xB2，-m）帶入方程AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），可得xA·xB=-2pm.直線AB斜率k=yB-yAxB-xA=12p（xA+xB），直線AB方程是y-x2A2p=12p（xA+xB）（x-xA）.整理得：

y=12p（xA+xB）·x-xA·xB2p=12p（xA+xB）·x+m，即直線必過(guò)點(diǎn)（0，m）.思考四是思考三逆向探求的結(jié)果.3 要對(duì)探究過(guò)程進(jìn)行知識(shí)和方法的總結(jié).

對(duì)于上例，我們可以在最后形成一般性結(jié)論，在拋物線x2=2py的對(duì)稱軸上任取一點(diǎn)（0，m）作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)處切線的交點(diǎn)為（xA+xB2，-m）反之也成立.

上述結(jié)論形成對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是分析探索的發(fā)現(xiàn)，是合情推理和演繹推理相結(jié)合的結(jié)晶.變式研究要以學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，通過(guò)變式探究有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行更深刻、系統(tǒng)的理解和掌握，要適時(shí)、適度地把握時(shí)機(jī)，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生參與變式問(wèn)題的提出過(guò)程，才能讓學(xué)生在變式研究的過(guò)程中，體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一.新課程的基本數(shù)學(xué)理念就是“倡導(dǎo)積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式，并注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與能力.”因此教師應(yīng)該注意展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過(guò)程和數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)探究的樂(lè)趣，進(jìn)而讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考并靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)去分析解決具體問(wèn)題.筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，從三個(gè)方面加以說(shuō)明。1 解題教學(xué)應(yīng)有解題途徑的探索過(guò)程.

在解題教學(xué)中，教師可通過(guò)啟發(fā)性的提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生探索解題途徑.下面是筆者的教學(xué)實(shí)錄：圖1問(wèn)題 如圖1，直線l：y=kx+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上有一點(diǎn)M使得B、M、A三點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，求證：AB平行于拋物線在M處的切線.

師：首先，我們的解題目標(biāo)是什么？

生：證明過(guò)M的切線與AB平行.

師：好，那如何證明兩直線為平行直線呢？

生：只要證明他們的斜率相同就可以了.

師：直線AB的斜率與拋物線在M點(diǎn)的切線斜率如何表示？

生：直線AB的方程為y=kx+2，kAB=k.拋物線在M點(diǎn)的切線斜率就是y=2x2在M點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，而y′=4x.由題意可知：xM=xA+xB2.聯(lián)立y=2x2，

y=kx+2. 得：2x2-kx-2=0，由韋達(dá)定理得：xA+xB=k2，故xM=k4，所以拋物線在M處切線斜率為k.

師：很好！這樣大家的解題目標(biāo)就實(shí)現(xiàn)了.在剛才的解題過(guò)程中，我們借助于韋達(dá)定理將點(diǎn)M的坐標(biāo)與k聯(lián)系起來(lái)，那么除了這種方式，我們還有沒(méi)有其它方法聯(lián)系k和M的坐標(biāo)呢？

生：設(shè)A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）（xA≠xB）.根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)算斜率公式可知：k=2x2B-2x2AxB-xA=2（xA+xB）=4xM，因此xM=k4.又因?yàn)閽佄锞€在M處切線斜率為：y′=4xM=k.所以拋物線在M處切線與AB平行.

師：對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們采用了兩種不同的方式，但殊途同歸，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)M處導(dǎo)數(shù)與直線AB的斜率k間的轉(zhuǎn)化。2 數(shù)學(xué)探究要有變式的探究過(guò)程.

探究課題的選擇是完成探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.課題的準(zhǔn)確選擇有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解、發(fā)揮學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力、養(yǎng)成探究問(wèn)題的意識(shí).筆者認(rèn)為，課題的選擇要有深度，但不要超出學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)范圍；同時(shí)，還要具有發(fā)散性，能發(fā)揮學(xué)生思維的廣度.還是依上題為例：在學(xué)生得出kAB=k切后我接著提出了以下問(wèn)題供學(xué)生思考：圖2思考1 如圖2，求△AOB面積的最小值.

探索：要想求最值，那首先應(yīng)該解決如何表示S△AOB這一問(wèn)題.

方法一 聯(lián)立y=2x2，

y=kx+2， 消元得2x2-kx-2=0，由韋達(dá)定理得：xA+xB=k2，

xA·xB=-1.根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得：

AB=1+k2·（xA+xB）2-4xAxB=121+k2·k2+16.

由點(diǎn)到直線的距離公式可知O到AB的距離為：d=21+k2.由以上討論S△AOB=12AB·d=k2+162.因此k=0時(shí)，S△AOB最小，最小值為2（因?yàn)棣?gt;；0，所以k∈R）.

方法二 如圖3，采用分割的思想，先將三角形分成以O(shè)M為底邊的兩個(gè)三角形再求和，會(huì)得到S△AOB=12OM·（xA+xB）=12OM·（xB-xA），由方程組y=2x2，

y=kx+2， 消元可得：2x2-kx-2=0.由xB-xA=（xA+xB）2-4xAxB，可得：

S△AOB=k2+162≥2，k=0時(shí)達(dá)到最小.

這樣就能讓學(xué)生體驗(yàn)S△AOB的表示方法及函數(shù)的思想，讓學(xué)生初步領(lǐng)略“解析”幾何.圖3 圖4思考2 證明拋物線在A、B兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是xA、xB的等差中項(xiàng).

證明 如圖4，由（1）可知y′=4x.設(shè)A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）.由題意AM，BM不垂直于x軸，

AM：y-2x2A=4xA（x-xA），

BM：y-2x2B=4xB（x-xB），兩式相減可得交點(diǎn)坐標(biāo)：xM=xA+xB2.更進(jìn)一步可得，yM=4xA·xA+xB2-2x2A=2xAxB=-2.由此說(shuō)明A、B兩點(diǎn)處的切線交點(diǎn)恒在y=-2上.

思考3 由思考2得，過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)恒在y=-2上.基于此我們能不能大膽的猜想：任意直線l：y=kx+m與拋物線x2=2py交于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)恒都是xA、xB的等差中項(xiàng)，且點(diǎn)M都在直線y=-m上呢？下面我們?cè)囎C明一下：

一般地，由y′=xp，可得：AM：y=x1px-x212p，

BM：y=x2px-x222p. 求解方程組得：xM=x1+x22，

yM=x1·x22p.

又M點(diǎn)滿足方程組：x2=2py，

y=kx+m，消y得x2-2pkx-2pm=0，因此yM=x1·x22p=-m.

這樣我們就證明了我們的猜想.而由思考二到思考三的過(guò)程就是一個(gè)由個(gè)別到一般的歸納證明過(guò)程，這也是我們由感性感知問(wèn)題升華到縝密理性邏輯思維的過(guò)程.

思考4 剛才的問(wèn)題反過(guò)來(lái)，即過(guò)直線y=-m上任一點(diǎn)M，作x2=2py的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，是否有xA+xB=2xM且直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，m）呢？

設(shè)M（xM，-m），則y′=xp.設(shè)A（xA，x2A2p），B（xB，x2B2p），可得：AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），

BM：y-x2B2p=xBp（x-xB），求交點(diǎn)得：xM=xA+xB2.將M（xA+xB2，-m）帶入方程AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），可得xA·xB=-2pm.直線AB斜率k=yB-yAxB-xA=12p（xA+xB），直線AB方程是y-x2A2p=12p（xA+xB）（x-xA）.整理得：

y=12p（xA+xB）·x-xA·xB2p=12p（xA+xB）·x+m，即直線必過(guò)點(diǎn)（0，m）.思考四是思考三逆向探求的結(jié)果.3 要對(duì)探究過(guò)程進(jìn)行知識(shí)和方法的總結(jié).

對(duì)于上例，我們可以在最后形成一般性結(jié)論，在拋物線x2=2py的對(duì)稱軸上任取一點(diǎn)（0，m）作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)處切線的交點(diǎn)為（xA+xB2，-m）反之也成立.

上述結(jié)論形成對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是分析探索的發(fā)現(xiàn)，是合情推理和演繹推理相結(jié)合的結(jié)晶.變式研究要以學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，通過(guò)變式探究有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行更深刻、系統(tǒng)的理解和掌握，要適時(shí)、適度地把握時(shí)機(jī)，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生參與變式問(wèn)題的提出過(guò)程，才能讓學(xué)生在變式研究的過(guò)程中，體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一.新課程的基本數(shù)學(xué)理念就是“倡導(dǎo)積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式，并注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與能力.”因此教師應(yīng)該注意展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過(guò)程和數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)探究的樂(lè)趣，進(jìn)而讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考并靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)去分析解決具體問(wèn)題.筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，從三個(gè)方面加以說(shuō)明。1 解題教學(xué)應(yīng)有解題途徑的探索過(guò)程.

在解題教學(xué)中，教師可通過(guò)啟發(fā)性的提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生探索解題途徑.下面是筆者的教學(xué)實(shí)錄：圖1問(wèn)題 如圖1，直線l：y=kx+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上有一點(diǎn)M使得B、M、A三點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，求證：AB平行于拋物線在M處的切線.

師：首先，我們的解題目標(biāo)是什么？

生：證明過(guò)M的切線與AB平行.

師：好，那如何證明兩直線為平行直線呢？

生：只要證明他們的斜率相同就可以了.

師：直線AB的斜率與拋物線在M點(diǎn)的切線斜率如何表示？

生：直線AB的方程為y=kx+2，kAB=k.拋物線在M點(diǎn)的切線斜率就是y=2x2在M點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，而y′=4x.由題意可知：xM=xA+xB2.聯(lián)立y=2x2，

y=kx+2. 得：2x2-kx-2=0，由韋達(dá)定理得：xA+xB=k2，故xM=k4，所以拋物線在M處切線斜率為k.

師：很好！這樣大家的解題目標(biāo)就實(shí)現(xiàn)了.在剛才的解題過(guò)程中，我們借助于韋達(dá)定理將點(diǎn)M的坐標(biāo)與k聯(lián)系起來(lái)，那么除了這種方式，我們還有沒(méi)有其它方法聯(lián)系k和M的坐標(biāo)呢？

生：設(shè)A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）（xA≠xB）.根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)算斜率公式可知：k=2x2B-2x2AxB-xA=2（xA+xB）=4xM，因此xM=k4.又因?yàn)閽佄锞€在M處切線斜率為：y′=4xM=k.所以拋物線在M處切線與AB平行.

師：對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們采用了兩種不同的方式，但殊途同歸，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)M處導(dǎo)數(shù)與直線AB的斜率k間的轉(zhuǎn)化。2 數(shù)學(xué)探究要有變式的探究過(guò)程.

探究課題的選擇是完成探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.課題的準(zhǔn)確選擇有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解、發(fā)揮學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力、養(yǎng)成探究問(wèn)題的意識(shí).筆者認(rèn)為，課題的選擇要有深度，但不要超出學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)范圍；同時(shí)，還要具有發(fā)散性，能發(fā)揮學(xué)生思維的廣度.還是依上題為例：在學(xué)生得出kAB=k切后我接著提出了以下問(wèn)題供學(xué)生思考：圖2思考1 如圖2，求△AOB面積的最小值.

探索：要想求最值，那首先應(yīng)該解決如何表示S△AOB這一問(wèn)題.

方法一 聯(lián)立y=2x2，

y=kx+2， 消元得2x2-kx-2=0，由韋達(dá)定理得：xA+xB=k2，

xA·xB=-1.根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得：

AB=1+k2·（xA+xB）2-4xAxB=121+k2·k2+16.

由點(diǎn)到直線的距離公式可知O到AB的距離為：d=21+k2.由以上討論S△AOB=12AB·d=k2+162.因此k=0時(shí)，S△AOB最小，最小值為2（因?yàn)棣?gt;；0，所以k∈R）.

方法二 如圖3，采用分割的思想，先將三角形分成以O(shè)M為底邊的兩個(gè)三角形再求和，會(huì)得到S△AOB=12OM·（xA+xB）=12OM·（xB-xA），由方程組y=2x2，

y=kx+2， 消元可得：2x2-kx-2=0.由xB-xA=（xA+xB）2-4xAxB，可得：

S△AOB=k2+162≥2，k=0時(shí)達(dá)到最小.

這樣就能讓學(xué)生體驗(yàn)S△AOB的表示方法及函數(shù)的思想，讓學(xué)生初步領(lǐng)略“解析”幾何.圖3 圖4思考2 證明拋物線在A、B兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是xA、xB的等差中項(xiàng).

證明 如圖4，由（1）可知y′=4x.設(shè)A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）.由題意AM，BM不垂直于x軸，

AM：y-2x2A=4xA（x-xA），

BM：y-2x2B=4xB（x-xB），兩式相減可得交點(diǎn)坐標(biāo)：xM=xA+xB2.更進(jìn)一步可得，yM=4xA·xA+xB2-2x2A=2xAxB=-2.由此說(shuō)明A、B兩點(diǎn)處的切線交點(diǎn)恒在y=-2上.

思考3 由思考2得，過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)恒在y=-2上.基于此我們能不能大膽的猜想：任意直線l：y=kx+m與拋物線x2=2py交于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)恒都是xA、xB的等差中項(xiàng)，且點(diǎn)M都在直線y=-m上呢？下面我們?cè)囎C明一下：

一般地，由y′=xp，可得：AM：y=x1px-x212p，

BM：y=x2px-x222p. 求解方程組得：xM=x1+x22，

yM=x1·x22p.

又M點(diǎn)滿足方程組：x2=2py，

y=kx+m，消y得x2-2pkx-2pm=0，因此yM=x1·x22p=-m.

這樣我們就證明了我們的猜想.而由思考二到思考三的過(guò)程就是一個(gè)由個(gè)別到一般的歸納證明過(guò)程，這也是我們由感性感知問(wèn)題升華到縝密理性邏輯思維的過(guò)程.

思考4 剛才的問(wèn)題反過(guò)來(lái)，即過(guò)直線y=-m上任一點(diǎn)M，作x2=2py的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，是否有xA+xB=2xM且直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，m）呢？

設(shè)M（xM，-m），則y′=xp.設(shè)A（xA，x2A2p），B（xB，x2B2p），可得：AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），

BM：y-x2B2p=xBp（x-xB），求交點(diǎn)得：xM=xA+xB2.將M（xA+xB2，-m）帶入方程AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），可得xA·xB=-2pm.直線AB斜率k=yB-yAxB-xA=12p（xA+xB），直線AB方程是y-x2A2p=12p（xA+xB）（x-xA）.整理得：

y=12p（xA+xB）·x-xA·xB2p=12p（xA+xB）·x+m，即直線必過(guò)點(diǎn)（0，m）.思考四是思考三逆向探求的結(jié)果.3 要對(duì)探究過(guò)程進(jìn)行知識(shí)和方法的總結(jié).

對(duì)于上例，我們可以在最后形成一般性結(jié)論，在拋物線x2=2py的對(duì)稱軸上任取一點(diǎn)（0，m）作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)處切線的交點(diǎn)為（xA+xB2，-m）反之也成立.

上述結(jié)論形成對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是分析探索的發(fā)現(xiàn)，是合情推理和演繹推理相結(jié)合的結(jié)晶.變式研究要以學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，通過(guò)變式探究有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行更深刻、系統(tǒng)的理解和掌握，要適時(shí)、適度地把握時(shí)機(jī)，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生參與變式問(wèn)題的提出過(guò)程，才能讓學(xué)生在變式研究的過(guò)程中，體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).