覃海英

摘 要： 函數(shù)的微積分是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，函數(shù)的微分是積分的基礎(chǔ)，所以只有學(xué)好用好函數(shù)的微分，才能輕松地學(xué)好高等數(shù)學(xué).

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù) 微分

本文通過(guò)剖析一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其微分的概念，幫助讀者深入理解這兩個(gè)概念，不但學(xué)會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分，還進(jìn)一步知道導(dǎo)數(shù)和微分在實(shí)際問(wèn)題中具體應(yīng)用.

一、函數(shù)導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)相對(duì)于自變量變化快慢的程度（變化率）

現(xiàn)實(shí)生活中一個(gè)量相對(duì)于另一個(gè)量的變化率問(wèn)題是普遍存在的，當(dāng)研究運(yùn)動(dòng)的各種形式時(shí)，都要從數(shù)學(xué)上研究函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢程度，如電流、化學(xué)反應(yīng)速度、生物繁殖率等，而當(dāng)物體沿曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，還要考慮速度的方向，即曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題.所有這些在數(shù)量關(guān)系上都?xì)w結(jié)為函數(shù)的變化率，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

導(dǎo)數(shù)概念的原型是引例1.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度和引例2.切線(xiàn)問(wèn)題（略）.

上面兩個(gè)實(shí)例的具體含義是不同的，但解決問(wèn)題的思想和方法都是先用公式求近似值，再借助于極限的方法求其精確值，最終都?xì)w結(jié)為計(jì)對(duì)于時(shí)間t的變化率（電流）.

為什么通過(guò)講解引例1和引例2的講解，最后要抽象出一個(gè)新的概念——導(dǎo)數(shù)？

原因就是想尋找一種簡(jiǎn)便方法（導(dǎo)數(shù)）處理這類(lèi)（變化率）問(wèn)題，所以我們要知道反過(guò)來(lái)導(dǎo)數(shù)就可以用于解決此類(lèi)問(wèn)題.既然用導(dǎo)數(shù)求解變化率簡(jiǎn)便，那就要會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).所以本章計(jì)算的重點(diǎn)就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

因?yàn)楦邤?shù)研究的主要對(duì)象是初等函數(shù)，而初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)）和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的.所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們的結(jié)果（16個(gè)）就是導(dǎo)數(shù)公式.再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和極限的運(yùn)算法則推出導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（要掌握此法則必須要掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程）.熟記以上16個(gè)公式和兩個(gè)法則，求導(dǎo)數(shù)就沒(méi)問(wèn)題了.

二、函數(shù)的微分描述的是當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化多少（近似值）

在許多實(shí)際問(wèn)題中，需要計(jì)算當(dāng)自變量有微小變化時(shí)函數(shù)的改變量.如果函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=f（x）較復(fù)雜，△y的精確計(jì)算就會(huì)相當(dāng)麻煩，這就需要尋求一種簡(jiǎn)便的方法（微分）求函數(shù)改變量的近似值，為此給出函數(shù)微分的概念.

微分概念（略）.

一元函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價(jià)的.設(shè)函數(shù)y=f（x）可導(dǎo)，則函數(shù)y=f（x）的微分dy=f′（x）=dx，即

根據(jù)誤差理論及微分的概念可知，現(xiàn)實(shí)中參數(shù)的誤差可以用其微分代替.已知函數(shù)φf(shuō)（x），如果自變量x的誤差為dx，則由此導(dǎo)致函數(shù)φ所產(chǎn)生的誤差為

dφ=|f′（x）dx|

如例5可解析為：做一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形零件，由于各種原因最后加工成的正方形的邊長(zhǎng)為1.9cm（縮短了0.1cm），則實(shí)際零件的面積通過(guò)上述分析，在學(xué)習(xí)微分學(xué)中一定要做到理解概念，知道概念的原型即概念產(chǎn)生的背景，這樣才能學(xué)好用好它.以上是筆者對(duì)學(xué)習(xí)函數(shù)微分的一些體會(huì)，希望能為讀者的學(xué)習(xí)提供幫助.