谷桂花，吳梅花

( 內蒙古民族大學 數(shù)學學院，內蒙古 通遼028043)

集值變分包含問題在數(shù)學理論和應用中起著非常重要的作用．設B 是一個具有對偶空間B*的實Banach空間，‖·‖和〈·，·〉分別表示B的范數(shù)和B與B*之間的對偶對． CB(B)表示B的一切有界閉子集族，H(P，Q)為CB(B)上的Hausdorff 度量，J:B→2B*和J*:B*→B＊＊分別是B和B*上的正規(guī)對偶映射．

在文獻［1］中給出一類p－η－映射的概念及其性質．在文獻［2］中研究了如下集值變分包含問題:對給定的f∈B*，求使得，文獻［3］研究了一類具有(p，η)映射的集值變分包含問題．

定義1［2］設η:B×B→B*，p:B→B*，g:B→B是單值映射．

1)稱p為η－增生的，如果存在jη(x，y)∈J*η(x，y)使得:〈p(x)－p(y)，jη(x，y)〉≥0，?x，y∈B．

2)稱p為σ－強η－增生的，如果存在jη(x，y)∈J*η(x，y)和σ＞0 使得:

3)稱η 為τ－Lipschitz 連續(xù)的，若存在τ＞0 使得:

定義2［2］設η:B×B→B*，p:B→B*是單值映射，稱集值映射為:

1)η－增生的，如果存在jη(x，y)∈J*η(x，y)使得:

2)p－η－增生的，若M是η－增生的，且對?ρ＞0 有

定義3［2］映射為單值映射，集值映射M:B→2B*為p－η－增生的，M的預解算子被定義為

其中ρ＞0 的常數(shù)．

引理1［2］設映射p:B→B*為σ－強η－增生的，η:B×B→B*為τ－Lipschitz 連續(xù)，集值映射M:B→2B*為p－η－增生的，則映射是連續(xù)，即:

定義4［4］稱映射在第一變元是α－Lipschitz 連續(xù)，如果存在α＞0 使得?y1，x1，x2，…，xp∈B有:

定義5［5］稱映射C:B→B為m－H－Lipschitz 連續(xù)，如果存在m＞0，使得:

其中H為CB(B)上的Hausdorff 度量．

引理2［5］設B是實Banach 空間和J:B→2B*是正規(guī)對偶映射，則?x，y∈B有:

1 主要結果

下面證明集值變分包含問題(1)的解的存在唯一性．

定理1 設B是實Banach 空間，單值映射p:B→B*為σ－強η－增生的，g:B→B為γ－Lipschitz 連續(xù)，g－I是s－強增生的，映射p·g為δ－Lipschitz 連續(xù)單值映射Ai:B→B為hi－Lipschitz 連續(xù)(i=1，2，…，p)，η:B×B→B*為τ－Lipschit 連續(xù)，映射分別在第i變元是αi－Lipschitz，βi－Lipschitz 連續(xù)，集值映射D:B→分別為m－H－Lipschitz 連續(xù)，mi－H－Lipschitz 連續(xù)(i=1，2，…，p)，令M:B×是集值映使得對每一固定的是p－η－增生的，并且dom(M(·，w))≠φ，假設存在正數(shù)μ，ρ 滿足條件:

則變分包含問題(1)在B中有唯一解．

由引理2 及g－I的s－強增生性，有:

即

因此，u∈B是集值變分包含問題(1)的唯一解．證畢．

注:文獻［2］中的結果是本文的特殊情形．

［1］ 吳梅花．一類p－η 映射及其性質［J］．內蒙古民族大學學報:自然科學蒙文版，2011，43(1):1－3．

［2］ 吳梅花．一類集值變分包含問題解的存在性［J］．內蒙古民族大學學報:自然科學漢文版，2010，25(2):127－129．

［3］ 吳梅花．一類具有(p，η)映射的集值變分包含問題［J］．湖北民族學院學報:自然科學版，2014，32(3):297－299．

［4］ Jian W P．On a new system of generalized mixed quasi－variational－like inclusions with (H，η)－Accretive operators in realq－uniformly smooth Banach spaces［J］．Nonlinear Analysis，2008，68:981－993．

［5］ Feng H R，Ding X P．A new system of generalized nonlinear quasi－variational－like inclusions with A－monotone operators in Banach Spaces［J］．Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，225:365－373．