謝婷婷+張佳未+朱濤+江孝感

摘要：為了更好地描述存在結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換的時(shí)間序列的波動(dòng)性，將馬爾科夫鏈和狀態(tài)轉(zhuǎn)換機(jī)制引入GARCH模型，定義了MRS-GARCH模型，使GARCH模型的預(yù)測(cè)精度和持續(xù)性問(wèn)題得到改善。鑒于還沒(méi)有MRS-GARCH模型的穩(wěn)定性和矩的存在性的相關(guān)研究，因此，基于馬爾科夫鏈的理論以及幾何遍歷性和有限矩的簡(jiǎn)單假設(shè)，并使用漂移函數(shù)闡述了MRS-GARCH的穩(wěn)定性和矩的存在性的充分條件。

關(guān)鍵詞：MRS-GARCH模型；穩(wěn)定性；矩的存在性

中圖分類(lèi)號(hào)：F224文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1673-291X（2014）11-0136-03

引言

如果觀察長(zhǎng)時(shí)期的金融時(shí)間序列，就可以發(fā)現(xiàn)許多時(shí)間序列存在戲劇性中斷。Diebold（1986）和Lamoureux，Lastrages（1990）的研究發(fā)現(xiàn)，波動(dòng)過(guò)程中的結(jié)構(gòu)性變化有較高的持續(xù)性，若僅用一個(gè)模型來(lái)描述效果不佳。傳統(tǒng)的模擬方法是ARCH模型、GARCH模型、ARCH模型族以及隨機(jī)波動(dòng)（SV）模型。ARCH模型族和隨機(jī)波動(dòng)模型通常利用過(guò)去的樣本數(shù)據(jù)擬合模型參數(shù)，然后以估計(jì)的模型為基礎(chǔ)，獲得方差波動(dòng)的預(yù)測(cè)結(jié)果。其隱含的假設(shè)是擬合期數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)期基于同一參數(shù)模型，即結(jié)構(gòu)不變。然而，金融市場(chǎng)的變結(jié)構(gòu)是存在的，金融市場(chǎng)的波動(dòng)性建模同結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換相結(jié)合的問(wèn)題很值得研究。GARCH模型系數(shù)固定不變，不能反映波動(dòng)的結(jié)構(gòu)變化，波動(dòng)預(yù)測(cè)和動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)管理還不夠完善。1989年，Hamilton利用馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型（MS模型）分析了美國(guó)的經(jīng)濟(jì)周期機(jī)制，提出描述經(jīng)濟(jì)周期狀態(tài)的方法。由于MS模型描述了不同狀態(tài)或機(jī)制下，經(jīng)濟(jì)行為的不同特征，故MS模型又稱(chēng)為區(qū)制轉(zhuǎn)換模型（RS模型）。MS模型與一般的時(shí)變參數(shù)模型的主要區(qū)別在于它的參數(shù)取決于經(jīng)濟(jì)所處的狀態(tài)，而狀態(tài)通常由經(jīng)濟(jì)理論或現(xiàn)實(shí)等確定，狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型在研究長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)行為和短期波動(dòng)行為方面應(yīng)用廣泛。Hamilton，Susmel（1994）將馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型（MRS）與異方差模型相結(jié)合（MRS-ARCH模型），應(yīng)用于美元匯率分析，并利用紐約股市數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證，有效地辨識(shí)了波動(dòng)過(guò)程的異常波動(dòng)點(diǎn)。MRS-ARCH模型可以描述時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)性變化，改善了GARCH模型的預(yù)測(cè)精度和持續(xù)性問(wèn)題。而在國(guó)內(nèi)的研究中，雖然GARCH模型在時(shí)間序列的波動(dòng)性建模中應(yīng)用廣泛，但對(duì)GARCH模型的變結(jié)構(gòu)問(wèn)題的研究并不多，特別是馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換的波動(dòng)模型。MRS-GARCH模型比較難處理，故穩(wěn)定性和矩的存在性還沒(méi)有相關(guān)的研究。本文將Markove-switching過(guò)程引入GARCH模型，使得時(shí)變概率在平穩(wěn)和劇烈波動(dòng)狀態(tài)間的單變量GARCH模型中進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)換，較好地揭示了存在結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換的波動(dòng)特性。另外，本文還證明了MRS-GARCH的穩(wěn)定性和矩的存在性的充分條件。

一、模型描述

馬爾科夫鏈：

令 （1）

馬爾科夫轉(zhuǎn)換的時(shí)間序列一般模型如下：

令yt為一個(gè)內(nèi)生變量的向量，xt為一個(gè)外生變量的向量。令Yt為包含至?xí)r期t的全部觀察值的一個(gè)向量。如果過(guò)程受制于時(shí)期t的狀態(tài)，則yt的條件密度

其中st為狀態(tài)變量（不可觀測(cè)），狀態(tài)的轉(zhuǎn)移服從離散的K狀態(tài)馬爾科夫過(guò)程，滿(mǎn)足（1）式，θ為條件密度的參數(shù)向量。

GARCH模型：

Bollerslev（1986）定義的標(biāo)準(zhǔn)GARCH（1，1）模型為：

（2）

（3）

其中，誤差項(xiàng)ut是獨(dú)立同分布的，有零均值和單位方差。假設(shè)條件方差為常數(shù)。為測(cè)定波動(dòng)過(guò)程持續(xù)性的度量。當(dāng)用日數(shù)據(jù)和高頻數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)這個(gè)模型時(shí)，λ趨近于1，意味著波動(dòng)是高度持續(xù)的且該過(guò)程可能不是協(xié)方差平穩(wěn)的。然而，有學(xué)者認(rèn)為這種高持續(xù)性可能是GARCH的參數(shù)隨著時(shí)間而發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)換所致。Diebold（1986）指出，如果條件波動(dòng)中存在變結(jié)構(gòu)，這種高持續(xù)性可能是偽持續(xù)性，而且Lamoureux，Lastrages（1990）提出由GARCH模型度量的波動(dòng)持續(xù)性可能被高估是因?yàn)闆](méi)有考慮模型中的確定性結(jié)構(gòu)變化，因此對(duì)波動(dòng)采用變結(jié)構(gòu)的波動(dòng)模型建模十分必要。所以，本文將Markove-switching過(guò)程引入GARCH模型中，使得時(shí)變概率在平穩(wěn)和劇烈波動(dòng)狀態(tài)之間的單變量GARCH模型中進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)換，提出了MRS-GARCH模型。

MRS-GARCH：

定義每個(gè)時(shí)間t對(duì)應(yīng)一個(gè)未觀察到的狀態(tài)變量，通過(guò)概率來(lái)選擇模型的參數(shù)，其中St是時(shí)刻t可能的信息集，包括。因此定義MRS-GARCH如下：

（4）

（5）

（6）

其中函數(shù)可以是一個(gè)logistic或指數(shù)link 函數(shù)。這樣，狀態(tài)概率就為時(shí)變的，狀態(tài)的動(dòng)態(tài)可內(nèi)生地確定。顯然，函數(shù)的自變量可以與不同。

MRS-GARCH模型可以看成一個(gè)以混合分布為轉(zhuǎn)換核心的馬爾科夫鏈，比較難處理，因此穩(wěn)定性和矩的存在性還沒(méi)有相關(guān)的研究。下文基于馬爾科夫鏈的理論和漂移函數(shù)給出了穩(wěn)定性和矩的存在性的充分條件。

二、定理及證明

假設(shè)：

在MRS-GARCH模型中，假設(shè)在第一種狀態(tài)（st=1）下，這個(gè)過(guò)程局部表現(xiàn)為嚴(yán)平穩(wěn)且存在二階矩。在其他的狀態(tài)（st>1）下，條件波動(dòng)可以是單整的或易波動(dòng)的。我們的假設(shè)如下：

A1 ut是i.i.d.的且在R上有持續(xù)為正的密度，E（ut）=0，Var（ut）=1

A2 對(duì)于j=1，2，…，n，βj>0，且αj>0

A3 p1t（y2

t-1）>0且對(duì)于所有的時(shí)間t，y2

t-1→∞時(shí)p1t（y2

t-1）→1

A4 α1+β1<0，也就是第一個(gè)狀態(tài)是穩(wěn)定的。

假設(shè)A1是標(biāo)準(zhǔn)的且對(duì)于GARCH模型普遍使用的分布都滿(mǎn)足。我們可將連續(xù)性的要求替換為不完全連續(xù)。假設(shè)A2比一般的非負(fù)條件（βj≥0，αj≥0）要稍強(qiáng)。如果對(duì)于所有的j有αj=βj=0，這模型就是靜態(tài)的混合模型，不是真的限制。在假設(shè)A3中，我們假設(shè)st=1的概率是嚴(yán)格為正的，即未考慮在t-1時(shí)刻過(guò)程的狀態(tài)，在時(shí)刻t總有一個(gè)正的概率會(huì)達(dá)到那個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)。而且假設(shè)了穩(wěn)定的過(guò)程支配全部的過(guò)程，當(dāng)發(fā)生一個(gè)大的沖擊過(guò)程會(huì)回歸到平穩(wěn)狀態(tài)。這些回歸減輕了過(guò)程中的壓力，包括如下定理中的穩(wěn)定性。

隨機(jī)穩(wěn)定性的充分條件

定理1 在假設(shè)A1到A4的條件下，yt是幾何遍歷的。如果過(guò)程從它的固定分布開(kāi)始，那么過(guò)程為嚴(yán)平穩(wěn)的且以指數(shù)衰減的β混合的。

令使從t-1甚至更早而不是從t時(shí)刻才開(kāi)始的信息集的函數(shù)，寫(xiě)出該模型的馬爾可夫鏈狀態(tài)空間表達(dá)式如下：

有概率

有概率

證明：過(guò)程{yt，ht}構(gòu)成了一個(gè)由給出的狀態(tài)空間的齊次馬爾科夫鏈，其中，是上受到S限制的Borel σ代數(shù)集，λ是上的一般Lebesque測(cè)度。令表示在第m步{yt，ht}從{y0，h0}轉(zhuǎn)移到集合的概率。為建立馬爾科夫鏈的幾何遍歷性，首先要指出該過(guò)程是λ-不可約的，并且采用與Zhang，Russel和Tsay（2001）類(lèi)似的步驟。對(duì)于不可約性，得出對(duì)于所有的{y0，h0}∈S和所有的有正Lebesque測(cè)度（Chan（1993））的Borel可測(cè)集合有是充分的。對(duì)于一個(gè)給定的{y0，h0}∈S我們可以在有限步數(shù)內(nèi)達(dá)到任何{y，h}∈A。令且。由于，則。因此，存在一個(gè)正整數(shù)，因此在第一種狀態(tài)下通過(guò)m+1個(gè)中間步，其中，且對(duì)于所有的i>1有可以到達(dá)點(diǎn){y，h}。這個(gè)狀態(tài)空間等式的連續(xù)性表明在任何{y，h}∈A的周?chē)嬖谝粋€(gè)開(kāi)放的集合D有D*=，且給出假設(shè)A3存在一個(gè)正實(shí)數(shù)有，因此

因此該鏈為λ-不可約的。對(duì)于S上的每個(gè)有限制的連續(xù)函數(shù)g，在{y，h}上是連續(xù)的，因此該過(guò)程是一個(gè)λ-不可約的Feller鏈。假定這個(gè)結(jié)果可以充分的證明Feigin和Tweedie（1985）的漂移結(jié)論。如漂移函數(shù)我們令，其中η是滿(mǎn)足的正數(shù)，且測(cè)試集為，其中c是如下定義的正數(shù)。因此，

其中，。

由假設(shè)A3有當(dāng)時(shí)有

因?yàn)?f:2014年經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊4月中-03-283-2謝婷婷2.5_p0004.jpg>是連續(xù)的且限制在一個(gè)緊集中且h

因此就滿(mǎn)足了漂移函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。由Feigin和Tweedie（1985）的定理2，{yt，ht}是幾何遍歷的，因此{(lán)yt}也是幾何遍歷的。則這條鏈也是V-幾何混合的（Meyn，Tweedie，1993，定理16.1.5），即等同于該過(guò)程為以指數(shù)衰減的β-混合的要求。

這結(jié)果表示存在一個(gè)唯一的不變量概率量度可以解Chapman-Kolmogorov等式，并且可以由Kolmogorov擴(kuò)展定理用至下而上的方法為這個(gè)過(guò)程構(gòu)建一個(gè)平穩(wěn)概率量度以獲得邊界值。此外，幾何遍歷的屬性表示給定任何初始分布，這個(gè)過(guò)程在總的變化量上收斂到它的有一個(gè)統(tǒng)一的幾何率的平穩(wěn)量度。這表示這個(gè)過(guò)程是β混合的，因此自協(xié)方差函數(shù)以一個(gè)指數(shù)率趨于0。

矩的存在性的充分條件

對(duì)于k=1，定理1需要的條件對(duì)于過(guò)程的協(xié)方差穩(wěn)定性是充分的。

定理2 在假設(shè)A1至A3的條件下，如果對(duì)于某些k≥1有且，那么yt是幾何遍歷的且。

當(dāng)概率為常數(shù)時(shí)為特例，即對(duì)于所有的j和t，pjt=pj，幾何遍歷性和矩的存在性的充分條件在推論1至3中給出。

證明：考慮漂移函數(shù)，其中，，而且η是某個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足，測(cè)試集為，經(jīng)過(guò)冗長(zhǎng)的計(jì)算后得到

假設(shè)A3和誤差項(xiàng)的矩的有界性表明

當(dāng)h→∞時(shí)，

使用定理1中同樣的論點(diǎn)，我們可以看出存在一個(gè)緊密的集合C對(duì)于某些a<∞和所有（h，y）的有，由此可以得出結(jié)論。

推論1 在假設(shè)A1至A2和不變概率條件下，如果，定理1成立。

由定理1中同樣的步驟且設(shè)，η 滿(mǎn)足可以得出結(jié)論。

該推論表明協(xié)方差穩(wěn)定性的要求并非對(duì)于所有的GARCH狀態(tài)都是必須的，但平均起來(lái)對(duì)于這些狀態(tài)的概率分布卻是必須滿(mǎn)足的。注意對(duì)于非穩(wěn)定GARCH過(guò)程的高值的這些狀態(tài)必須符合足夠低的概率。

推論2 在假設(shè)A1，A2，A4和不變概率的條件下，如果穩(wěn)定狀態(tài)的概率為正（p1>0）且對(duì)于st>1，GARCH過(guò)程（5）是單整的（IGARCH），定理1成立。

推論2可以直接由推論1得出。

在多于兩種狀態(tài)時(shí)，可能可以構(gòu)建至少兩種有不同持續(xù)性參數(shù)且其和為一的不同的IGARCH過(guò)程同時(shí)存在，但實(shí)際上不太可能。因此推論2可能與一個(gè)有兩個(gè)狀態(tài)的模型相關(guān)，其中一個(gè)為IGARCH。從該定理可得出一個(gè)特例，當(dāng)劇烈波動(dòng)的過(guò)程是單整的，如果不考慮當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)δ有0<δ≤p1時(shí)狀態(tài)概率的特征，MRS-GARCH過(guò)程是協(xié)方差平穩(wěn)的。當(dāng)狀態(tài)概率是時(shí)變的，不考慮在每個(gè)狀態(tài)中GARCH模型的參數(shù)值，他們可以在平靜周期中相對(duì)地較高。此外，在時(shí)變概率的過(guò)程中，某一個(gè)狀態(tài)中的的和小于1是確定嚴(yán)平穩(wěn)的充分條件，而在固定概率的過(guò)程中就不成立了。

推論3 在假設(shè)A1-A2和常概率條件下，如果穩(wěn)定狀態(tài)概率為正，對(duì)于k≥1，且，定理2成立。

由與定理2相同的步驟并設(shè)，其中可以得出結(jié)論。

該推論表明根據(jù)矩的存在性，條件僅在平均水平上必須成立，而當(dāng)概率是時(shí)變的時(shí)，該條件僅在穩(wěn)定狀態(tài)下成立。

三、結(jié)論

我國(guó)經(jīng)濟(jì)政策處于不斷健全中，金融波動(dòng)的變結(jié)構(gòu)是客觀存在的。本文將馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換機(jī)制引入GARCH模型，針對(duì)波動(dòng)的變結(jié)構(gòu)建立了新的變參數(shù)GARCH模型，給出了以時(shí)變概率在平穩(wěn)和劇烈波動(dòng)狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換的狀態(tài)轉(zhuǎn)換單變量GARCH模型，為更好地模擬和預(yù)測(cè)波動(dòng)在高、低波動(dòng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換以及政策變遷引起的狀態(tài)跳躍（jump）時(shí)的特征提供了一種更完善的建模工具，提出并證明了該過(guò)程平穩(wěn)性以及矩的存在性的充分條件。這些結(jié)論是新穎的，對(duì)于今后研究金融時(shí)間序列的時(shí)變波動(dòng)性的特征具有基礎(chǔ)和指導(dǎo)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]Engle R F.Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation [J].Econometrica，

1982，（50）：987-1007.

[2]Bollerslev T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[3]He C，Tersvirta T.Properties of moments of a family of GARCH processes[J].Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[4]Meyn S，R.Tweedie.Markov chains and stochastic stability [M].New York：Springer-Verlag，1993.

[5]孫金麗，張世英.具有結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換的GARCH模型及其在中國(guó)股市中的應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程，2003，21（6）：86-91.

Research on the GARCH model transformation mechanism of Markov state

XIE Ting-ting ，ZHANG Jia-wei，ZHU Tao，JIANG Xiao-gan

（Economics and management college，Southeast University，Nanjing 211189，China）

Abstract:In order to better describe the present volatility time series structure transformation，the Markoff chain and state transition mechanism is introduced into the GARCH model，the MRS-GARCH model is defined，the prediction accuracy and continuity of the improved GARCH model. In view of the fact that there is no related research，the stability of MRS-GARCH model and the moment so，Markov chain theory and the simple hypothesis geometric ergodicity and finite moments based，and use the drift function describes the sufficient conditions for the existence and stability of MRS-GARCH and moments.

Key words:MRS-GARCH model；stability；existence of moments

[責(zé)任編輯 李可]

定理2 在假設(shè)A1至A3的條件下，如果對(duì)于某些k≥1有且，那么yt是幾何遍歷的且。

當(dāng)概率為常數(shù)時(shí)為特例，即對(duì)于所有的j和t，pjt=pj，幾何遍歷性和矩的存在性的充分條件在推論1至3中給出。

證明：考慮漂移函數(shù)，其中，，而且η是某個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足，測(cè)試集為，經(jīng)過(guò)冗長(zhǎng)的計(jì)算后得到

假設(shè)A3和誤差項(xiàng)的矩的有界性表明

當(dāng)h→∞時(shí)，

使用定理1中同樣的論點(diǎn)，我們可以看出存在一個(gè)緊密的集合C對(duì)于某些a<∞和所有（h，y）的有，由此可以得出結(jié)論。

推論1 在假設(shè)A1至A2和不變概率條件下，如果，定理1成立。

由定理1中同樣的步驟且設(shè)，η 滿(mǎn)足可以得出結(jié)論。

該推論表明協(xié)方差穩(wěn)定性的要求并非對(duì)于所有的GARCH狀態(tài)都是必須的，但平均起來(lái)對(duì)于這些狀態(tài)的概率分布卻是必須滿(mǎn)足的。注意對(duì)于非穩(wěn)定GARCH過(guò)程的高值的這些狀態(tài)必須符合足夠低的概率。

推論2 在假設(shè)A1，A2，A4和不變概率的條件下，如果穩(wěn)定狀態(tài)的概率為正（p1>0）且對(duì)于st>1，GARCH過(guò)程（5）是單整的（IGARCH），定理1成立。

推論2可以直接由推論1得出。

在多于兩種狀態(tài)時(shí)，可能可以構(gòu)建至少兩種有不同持續(xù)性參數(shù)且其和為一的不同的IGARCH過(guò)程同時(shí)存在，但實(shí)際上不太可能。因此推論2可能與一個(gè)有兩個(gè)狀態(tài)的模型相關(guān)，其中一個(gè)為IGARCH。從該定理可得出一個(gè)特例，當(dāng)劇烈波動(dòng)的過(guò)程是單整的，如果不考慮當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)δ有0<δ≤p1時(shí)狀態(tài)概率的特征，MRS-GARCH過(guò)程是協(xié)方差平穩(wěn)的。當(dāng)狀態(tài)概率是時(shí)變的，不考慮在每個(gè)狀態(tài)中GARCH模型的參數(shù)值，他們可以在平靜周期中相對(duì)地較高。此外，在時(shí)變概率的過(guò)程中，某一個(gè)狀態(tài)中的的和小于1是確定嚴(yán)平穩(wěn)的充分條件，而在固定概率的過(guò)程中就不成立了。

推論3 在假設(shè)A1-A2和常概率條件下，如果穩(wěn)定狀態(tài)概率為正，對(duì)于k≥1，且，定理2成立。

由與定理2相同的步驟并設(shè)，其中可以得出結(jié)論。

該推論表明根據(jù)矩的存在性，條件僅在平均水平上必須成立，而當(dāng)概率是時(shí)變的時(shí)，該條件僅在穩(wěn)定狀態(tài)下成立。

三、結(jié)論

我國(guó)經(jīng)濟(jì)政策處于不斷健全中，金融波動(dòng)的變結(jié)構(gòu)是客觀存在的。本文將馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換機(jī)制引入GARCH模型，針對(duì)波動(dòng)的變結(jié)構(gòu)建立了新的變參數(shù)GARCH模型，給出了以時(shí)變概率在平穩(wěn)和劇烈波動(dòng)狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換的狀態(tài)轉(zhuǎn)換單變量GARCH模型，為更好地模擬和預(yù)測(cè)波動(dòng)在高、低波動(dòng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換以及政策變遷引起的狀態(tài)跳躍（jump）時(shí)的特征提供了一種更完善的建模工具，提出并證明了該過(guò)程平穩(wěn)性以及矩的存在性的充分條件。這些結(jié)論是新穎的，對(duì)于今后研究金融時(shí)間序列的時(shí)變波動(dòng)性的特征具有基礎(chǔ)和指導(dǎo)作用。

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Research on the GARCH model transformation mechanism of Markov state

XIE Ting-ting ，ZHANG Jia-wei，ZHU Tao，JIANG Xiao-gan

（Economics and management college，Southeast University，Nanjing 211189，China）

Abstract:In order to better describe the present volatility time series structure transformation，the Markoff chain and state transition mechanism is introduced into the GARCH model，the MRS-GARCH model is defined，the prediction accuracy and continuity of the improved GARCH model. In view of the fact that there is no related research，the stability of MRS-GARCH model and the moment so，Markov chain theory and the simple hypothesis geometric ergodicity and finite moments based，and use the drift function describes the sufficient conditions for the existence and stability of MRS-GARCH and moments.

Key words:MRS-GARCH model；stability；existence of moments

[責(zé)任編輯 李可]

定理2 在假設(shè)A1至A3的條件下，如果對(duì)于某些k≥1有且，那么yt是幾何遍歷的且。

當(dāng)概率為常數(shù)時(shí)為特例，即對(duì)于所有的j和t，pjt=pj，幾何遍歷性和矩的存在性的充分條件在推論1至3中給出。

證明：考慮漂移函數(shù)，其中，，而且η是某個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足，測(cè)試集為，經(jīng)過(guò)冗長(zhǎng)的計(jì)算后得到

假設(shè)A3和誤差項(xiàng)的矩的有界性表明

當(dāng)h→∞時(shí)，

使用定理1中同樣的論點(diǎn)，我們可以看出存在一個(gè)緊密的集合C對(duì)于某些a<∞和所有（h，y）的有，由此可以得出結(jié)論。

推論1 在假設(shè)A1至A2和不變概率條件下，如果，定理1成立。

由定理1中同樣的步驟且設(shè)，η 滿(mǎn)足可以得出結(jié)論。

該推論表明協(xié)方差穩(wěn)定性的要求并非對(duì)于所有的GARCH狀態(tài)都是必須的，但平均起來(lái)對(duì)于這些狀態(tài)的概率分布卻是必須滿(mǎn)足的。注意對(duì)于非穩(wěn)定GARCH過(guò)程的高值的這些狀態(tài)必須符合足夠低的概率。

推論2 在假設(shè)A1，A2，A4和不變概率的條件下，如果穩(wěn)定狀態(tài)的概率為正（p1>0）且對(duì)于st>1，GARCH過(guò)程（5）是單整的（IGARCH），定理1成立。

推論2可以直接由推論1得出。

在多于兩種狀態(tài)時(shí)，可能可以構(gòu)建至少兩種有不同持續(xù)性參數(shù)且其和為一的不同的IGARCH過(guò)程同時(shí)存在，但實(shí)際上不太可能。因此推論2可能與一個(gè)有兩個(gè)狀態(tài)的模型相關(guān)，其中一個(gè)為IGARCH。從該定理可得出一個(gè)特例，當(dāng)劇烈波動(dòng)的過(guò)程是單整的，如果不考慮當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)δ有0<δ≤p1時(shí)狀態(tài)概率的特征，MRS-GARCH過(guò)程是協(xié)方差平穩(wěn)的。當(dāng)狀態(tài)概率是時(shí)變的，不考慮在每個(gè)狀態(tài)中GARCH模型的參數(shù)值，他們可以在平靜周期中相對(duì)地較高。此外，在時(shí)變概率的過(guò)程中，某一個(gè)狀態(tài)中的的和小于1是確定嚴(yán)平穩(wěn)的充分條件，而在固定概率的過(guò)程中就不成立了。

推論3 在假設(shè)A1-A2和常概率條件下，如果穩(wěn)定狀態(tài)概率為正，對(duì)于k≥1，且，定理2成立。

由與定理2相同的步驟并設(shè)，其中可以得出結(jié)論。

該推論表明根據(jù)矩的存在性，條件僅在平均水平上必須成立，而當(dāng)概率是時(shí)變的時(shí)，該條件僅在穩(wěn)定狀態(tài)下成立。

三、結(jié)論

我國(guó)經(jīng)濟(jì)政策處于不斷健全中，金融波動(dòng)的變結(jié)構(gòu)是客觀存在的。本文將馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換機(jī)制引入GARCH模型，針對(duì)波動(dòng)的變結(jié)構(gòu)建立了新的變參數(shù)GARCH模型，給出了以時(shí)變概率在平穩(wěn)和劇烈波動(dòng)狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換的狀態(tài)轉(zhuǎn)換單變量GARCH模型，為更好地模擬和預(yù)測(cè)波動(dòng)在高、低波動(dòng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換以及政策變遷引起的狀態(tài)跳躍（jump）時(shí)的特征提供了一種更完善的建模工具，提出并證明了該過(guò)程平穩(wěn)性以及矩的存在性的充分條件。這些結(jié)論是新穎的，對(duì)于今后研究金融時(shí)間序列的時(shí)變波動(dòng)性的特征具有基礎(chǔ)和指導(dǎo)作用。

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Research on the GARCH model transformation mechanism of Markov state

XIE Ting-ting ，ZHANG Jia-wei，ZHU Tao，JIANG Xiao-gan

（Economics and management college，Southeast University，Nanjing 211189，China）

Abstract:In order to better describe the present volatility time series structure transformation，the Markoff chain and state transition mechanism is introduced into the GARCH model，the MRS-GARCH model is defined，the prediction accuracy and continuity of the improved GARCH model. In view of the fact that there is no related research，the stability of MRS-GARCH model and the moment so，Markov chain theory and the simple hypothesis geometric ergodicity and finite moments based，and use the drift function describes the sufficient conditions for the existence and stability of MRS-GARCH and moments.

Key words:MRS-GARCH model；stability；existence of moments

[責(zé)任編輯 李可]