石文筆

摘要：

本文探討了機械能守恒的條件、判斷方法和表達形式，為學(xué)生正確掌握和運用機械能守恒定律提供實踐依據(jù)和理論指導(dǎo)，加深學(xué)生對物理基本體系的理解，掌握研究物理問題的方法，提高解決物理問題的能力。

關(guān)鍵詞：機械能守恒定律;守恒與轉(zhuǎn)化;綜合運用

機械能守恒定律的內(nèi)容是在只有重力和彈力做功的情形下，物體的動能和勢能發(fā)生互相轉(zhuǎn)化，但機械能的總量保持不變.

一、機械能守恒的條件

機械能守恒的條件是只有重力（或彈力）做功。可以從以下兩個方面理解：

（一）只受重力作用，例如在不考慮空氣阻力的情況下的各種拋體運動，物體的機械能守恒.

（二）受其他力，但其他力不做功，只有重力或彈力做功.例如物體沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物體的機械能守恒.

二、判斷機械能守恒的方法

（一利用機械能的定義判斷（直接判斷）：若物體在水平面上勻速運動，其動能、勢能均不變，機械能不變.若一個物體沿斜面勻速下滑，其動能不變，重力勢能減少，其機械能減少.

（二）用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力（或彈簧的彈力）做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒.

（三）用能量轉(zhuǎn)化來判斷：若物體系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化而無機械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機械能守恒.

（四）對一些繩子突然繃緊、物體間非彈性碰撞等，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒.

例：如圖1所示，一光滑斜面置于光滑水平地面上，斜面頂端有一物體由靜止開始沿斜面下滑;在物體下滑過程中，下列說法正確的有：

（A）物體的重力勢能減少，動能增加。

（B）斜面的機械能不變。

（C）物體的機械能減少。

（D）物體及斜面組成的系統(tǒng)機械能守恒。

[分析]物體在下滑過程中對斜面有垂直于該斜面的壓力。由于斜面不固定，地面又光滑斜面必將向右產(chǎn)生加速度;其動能及其機械能增加。所以（B）項錯誤。物體一方面克服斜面對它的壓力做功：機械能減少;另一方面由于它的重力做功，重力勢能減少，動能增加，因此選項（A）（C）正確。對于物體與斜面組成的物體系;只有物體重力做功，沒有與系統(tǒng)外物體發(fā)生能量的轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移，機械能守恒，故（D）項正確。

答案為：（A、C、D）

三、機械能守恒定律的三種表達形式

1.守恒觀點

①表達式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2.

②意義：系統(tǒng)初狀態(tài)的機械能等于末狀態(tài)的機械能.

③注意問題：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面.

2.轉(zhuǎn)化觀點

①表達式：ΔEk=-ΔEp.

②意義：系統(tǒng)（或物體）的機械能守恒時，系統(tǒng)增加（或減少）的動能等于系統(tǒng)減少（或增加）的重力勢能.

③注意問題：要明確重力勢能的增加或減少量，即重力勢能的變化，可以不選取零勢能參考平面.

3.轉(zhuǎn)移觀點

①表達式：ΔEA增=ΔEB減.

②意義：若系統(tǒng)由A、B兩部分組成，當(dāng)系統(tǒng)的機械能守恒時，則A部分物體機械能的增加量等于B部分物體機械能的減少量.

③注意問題：A部分機械能的增加量等于A末狀態(tài)的機械能減初狀態(tài)的機械能，而B部分機械能的減少量等于B初狀態(tài)的機械能減末狀態(tài)的機械能.

例題3.一根均勻的鐵鏈全長為L，其中58平放在光滑水平面上，其余38懸垂于桌邊如圖2所示，如果由圖示位置無初速釋放鐵鏈，則當(dāng)鐵鏈剛掛直時速度多大？

[思路點撥] ?以鐵鏈和地球組成的系統(tǒng)為對象，鐵鏈僅受兩個力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在鐵鏈運動過程中，N與運動速度v垂直，N不做功，只有重力G做功，因此系統(tǒng)機械能守恒.鐵鏈釋放前只有重力勢能，但由于平放在桌面上與懸吊著兩部分位置不同，計算重力勢能時要分段計算.選鐵鏈掛直時的下端點為重力勢能的零標準，應(yīng)用機械能守恒定律即可求解.

[解題過程] ?初始狀態(tài)：平放在桌面上的部分鐵鏈具有的重力勢能

Ep1=58mg·L.懸吊在桌邊部分的重力勢能為

Ep2=38mg（L-12×38L）=38mg·

6.58L.

當(dāng)整條鐵鏈掛直（即最后一環(huán)剛離開桌邊）時，既有動能Ek2=12mv2

又有重力勢能

Ep2=mg·L2.

根據(jù)機械能守恒定律有E1=E2.所以Ep1+Ep2=Ek2+Ep2，故

58mg·L+38mg·6.58L=mgL2+

12mv2，

故58gL+19.564gL-12gL=12v2.

所以v=5564gL=55gL8

例4.如圖3所示，ABDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB

是半徑為R=15?m的1/4圓周軌道，半徑OA處于水平位置，

BDO是直徑為15?m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央.一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內(nèi)的軌道通過D點時對軌道的壓力等于其重力的倍，取g=10?m/s2.

（1）H的大小等于多少？

（2）試討論此球能否到達BDO軌道的O點，并說明理由.

[解題過程]

（1）小球從H高處落下，進入軌道，沿BDO軌道做圓周運動，小球受重力和軌道的支持力.設(shè)小球通過D點的速度為v，通過D點時軌道對小球的支持力F（大小等于小球?qū)壍赖膲毫Γ┦撬鰣A周運動的向心力，

即mV2R/2=F=143mg ①

小球從P點落下直到沿光滑軌道運動到D點的過程中，機械能守恒，所以

-△Ep=△Ek，故有

mg（H+R2）=12mv2 ②

由①②式可得高度H=23R=10?m.

?（2）設(shè)小球能夠沿豎直半圓軌道運動到O點的最小速度為

vc，有

mvc2R/2=mg ③

小球至少應(yīng)從HC高處落下，由-△Ep=△Ek有?mgHC=12mvc2 ④

由③④式可得：HC=R4=154m

由H>HC，小球能通過O點.

（作者單位：甘肅省臨洮縣文峰中學(xué)，甘肅?定西?730500）

摘要：

本文探討了機械能守恒的條件、判斷方法和表達形式，為學(xué)生正確掌握和運用機械能守恒定律提供實踐依據(jù)和理論指導(dǎo)，加深學(xué)生對物理基本體系的理解，掌握研究物理問題的方法，提高解決物理問題的能力。

關(guān)鍵詞：機械能守恒定律;守恒與轉(zhuǎn)化;綜合運用

機械能守恒定律的內(nèi)容是在只有重力和彈力做功的情形下，物體的動能和勢能發(fā)生互相轉(zhuǎn)化，但機械能的總量保持不變.

一、機械能守恒的條件

機械能守恒的條件是只有重力（或彈力）做功?？梢詮囊韵聝蓚€方面理解：

（一）只受重力作用，例如在不考慮空氣阻力的情況下的各種拋體運動，物體的機械能守恒.

（二）受其他力，但其他力不做功，只有重力或彈力做功.例如物體沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物體的機械能守恒.

二、判斷機械能守恒的方法

（一利用機械能的定義判斷（直接判斷）：若物體在水平面上勻速運動，其動能、勢能均不變，機械能不變.若一個物體沿斜面勻速下滑，其動能不變，重力勢能減少，其機械能減少.

（二）用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力（或彈簧的彈力）做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒.

（三）用能量轉(zhuǎn)化來判斷：若物體系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化而無機械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機械能守恒.

（四）對一些繩子突然繃緊、物體間非彈性碰撞等，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒.

例：如圖1所示，一光滑斜面置于光滑水平地面上，斜面頂端有一物體由靜止開始沿斜面下滑;在物體下滑過程中，下列說法正確的有：

（A）物體的重力勢能減少，動能增加。

（B）斜面的機械能不變。

（C）物體的機械能減少。

（D）物體及斜面組成的系統(tǒng)機械能守恒。

[分析]物體在下滑過程中對斜面有垂直于該斜面的壓力。由于斜面不固定，地面又光滑斜面必將向右產(chǎn)生加速度;其動能及其機械能增加。所以（B）項錯誤。物體一方面克服斜面對它的壓力做功：機械能減少;另一方面由于它的重力做功，重力勢能減少，動能增加，因此選項（A）（C）正確。對于物體與斜面組成的物體系;只有物體重力做功，沒有與系統(tǒng)外物體發(fā)生能量的轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移，機械能守恒，故（D）項正確。

答案為：（A、C、D）

三、機械能守恒定律的三種表達形式

1.守恒觀點

①表達式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2.

②意義：系統(tǒng)初狀態(tài)的機械能等于末狀態(tài)的機械能.

③注意問題：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面.

2.轉(zhuǎn)化觀點

①表達式：ΔEk=-ΔEp.

②意義：系統(tǒng)（或物體）的機械能守恒時，系統(tǒng)增加（或減少）的動能等于系統(tǒng)減少（或增加）的重力勢能.

③注意問題：要明確重力勢能的增加或減少量，即重力勢能的變化，可以不選取零勢能參考平面.

3.轉(zhuǎn)移觀點

①表達式：ΔEA增=ΔEB減.

②意義：若系統(tǒng)由A、B兩部分組成，當(dāng)系統(tǒng)的機械能守恒時，則A部分物體機械能的增加量等于B部分物體機械能的減少量.

③注意問題：A部分機械能的增加量等于A末狀態(tài)的機械能減初狀態(tài)的機械能，而B部分機械能的減少量等于B初狀態(tài)的機械能減末狀態(tài)的機械能.

例題3.一根均勻的鐵鏈全長為L，其中58平放在光滑水平面上，其余38懸垂于桌邊如圖2所示，如果由圖示位置無初速釋放鐵鏈，則當(dāng)鐵鏈剛掛直時速度多大？

[思路點撥] ?以鐵鏈和地球組成的系統(tǒng)為對象，鐵鏈僅受兩個力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在鐵鏈運動過程中，N與運動速度v垂直，N不做功，只有重力G做功，因此系統(tǒng)機械能守恒.鐵鏈釋放前只有重力勢能，但由于平放在桌面上與懸吊著兩部分位置不同，計算重力勢能時要分段計算.選鐵鏈掛直時的下端點為重力勢能的零標準，應(yīng)用機械能守恒定律即可求解.

[解題過程] ?初始狀態(tài)：平放在桌面上的部分鐵鏈具有的重力勢能

Ep1=58mg·L.懸吊在桌邊部分的重力勢能為

Ep2=38mg（L-12×38L）=38mg·

6.58L.

當(dāng)整條鐵鏈掛直（即最后一環(huán)剛離開桌邊）時，既有動能Ek2=12mv2

又有重力勢能

Ep2=mg·L2.

根據(jù)機械能守恒定律有E1=E2.所以Ep1+Ep2=Ek2+Ep2，故

58mg·L+38mg·6.58L=mgL2+

12mv2，

故58gL+19.564gL-12gL=12v2.

所以v=5564gL=55gL8

例4.如圖3所示，ABDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB

是半徑為R=15?m的1/4圓周軌道，半徑OA處于水平位置，

BDO是直徑為15?m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央.一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內(nèi)的軌道通過D點時對軌道的壓力等于其重力的倍，取g=10?m/s2.

（1）H的大小等于多少？

（2）試討論此球能否到達BDO軌道的O點，并說明理由.

[解題過程]

（1）小球從H高處落下，進入軌道，沿BDO軌道做圓周運動，小球受重力和軌道的支持力.設(shè)小球通過D點的速度為v，通過D點時軌道對小球的支持力F（大小等于小球?qū)壍赖膲毫Γ┦撬鰣A周運動的向心力，

即mV2R/2=F=143mg ①

小球從P點落下直到沿光滑軌道運動到D點的過程中，機械能守恒，所以

-△Ep=△Ek，故有

mg（H+R2）=12mv2 ②

由①②式可得高度H=23R=10?m.

?（2）設(shè)小球能夠沿豎直半圓軌道運動到O點的最小速度為

vc，有

mvc2R/2=mg ③

小球至少應(yīng)從HC高處落下，由-△Ep=△Ek有?mgHC=12mvc2 ④

由③④式可得：HC=R4=154m

由H>HC，小球能通過O點.

（作者單位：甘肅省臨洮縣文峰中學(xué)，甘肅?定西?730500）

摘要：

本文探討了機械能守恒的條件、判斷方法和表達形式，為學(xué)生正確掌握和運用機械能守恒定律提供實踐依據(jù)和理論指導(dǎo)，加深學(xué)生對物理基本體系的理解，掌握研究物理問題的方法，提高解決物理問題的能力。

關(guān)鍵詞：機械能守恒定律;守恒與轉(zhuǎn)化;綜合運用

機械能守恒定律的內(nèi)容是在只有重力和彈力做功的情形下，物體的動能和勢能發(fā)生互相轉(zhuǎn)化，但機械能的總量保持不變.

一、機械能守恒的條件

機械能守恒的條件是只有重力（或彈力）做功?？梢詮囊韵聝蓚€方面理解：

（一）只受重力作用，例如在不考慮空氣阻力的情況下的各種拋體運動，物體的機械能守恒.

（二）受其他力，但其他力不做功，只有重力或彈力做功.例如物體沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物體的機械能守恒.

二、判斷機械能守恒的方法

（一利用機械能的定義判斷（直接判斷）：若物體在水平面上勻速運動，其動能、勢能均不變，機械能不變.若一個物體沿斜面勻速下滑，其動能不變，重力勢能減少，其機械能減少.

（二）用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力（或彈簧的彈力）做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒.

（三）用能量轉(zhuǎn)化來判斷：若物體系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化而無機械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機械能守恒.

（四）對一些繩子突然繃緊、物體間非彈性碰撞等，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒.

例：如圖1所示，一光滑斜面置于光滑水平地面上，斜面頂端有一物體由靜止開始沿斜面下滑;在物體下滑過程中，下列說法正確的有：

（A）物體的重力勢能減少，動能增加。

（B）斜面的機械能不變。

（C）物體的機械能減少。

（D）物體及斜面組成的系統(tǒng)機械能守恒。

[分析]物體在下滑過程中對斜面有垂直于該斜面的壓力。由于斜面不固定，地面又光滑斜面必將向右產(chǎn)生加速度;其動能及其機械能增加。所以（B）項錯誤。物體一方面克服斜面對它的壓力做功：機械能減少;另一方面由于它的重力做功，重力勢能減少，動能增加，因此選項（A）（C）正確。對于物體與斜面組成的物體系;只有物體重力做功，沒有與系統(tǒng)外物體發(fā)生能量的轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移，機械能守恒，故（D）項正確。

答案為：（A、C、D）

三、機械能守恒定律的三種表達形式

1.守恒觀點

①表達式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2.

②意義：系統(tǒng)初狀態(tài)的機械能等于末狀態(tài)的機械能.

③注意問題：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面.

2.轉(zhuǎn)化觀點

①表達式：ΔEk=-ΔEp.

②意義：系統(tǒng)（或物體）的機械能守恒時，系統(tǒng)增加（或減少）的動能等于系統(tǒng)減少（或增加）的重力勢能.

③注意問題：要明確重力勢能的增加或減少量，即重力勢能的變化，可以不選取零勢能參考平面.

3.轉(zhuǎn)移觀點

①表達式：ΔEA增=ΔEB減.

②意義：若系統(tǒng)由A、B兩部分組成，當(dāng)系統(tǒng)的機械能守恒時，則A部分物體機械能的增加量等于B部分物體機械能的減少量.

③注意問題：A部分機械能的增加量等于A末狀態(tài)的機械能減初狀態(tài)的機械能，而B部分機械能的減少量等于B初狀態(tài)的機械能減末狀態(tài)的機械能.

例題3.一根均勻的鐵鏈全長為L，其中58平放在光滑水平面上，其余38懸垂于桌邊如圖2所示，如果由圖示位置無初速釋放鐵鏈，則當(dāng)鐵鏈剛掛直時速度多大？

[思路點撥] ?以鐵鏈和地球組成的系統(tǒng)為對象，鐵鏈僅受兩個力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在鐵鏈運動過程中，N與運動速度v垂直，N不做功，只有重力G做功，因此系統(tǒng)機械能守恒.鐵鏈釋放前只有重力勢能，但由于平放在桌面上與懸吊著兩部分位置不同，計算重力勢能時要分段計算.選鐵鏈掛直時的下端點為重力勢能的零標準，應(yīng)用機械能守恒定律即可求解.

[解題過程] ?初始狀態(tài)：平放在桌面上的部分鐵鏈具有的重力勢能

Ep1=58mg·L.懸吊在桌邊部分的重力勢能為

Ep2=38mg（L-12×38L）=38mg·

6.58L.

當(dāng)整條鐵鏈掛直（即最后一環(huán)剛離開桌邊）時，既有動能Ek2=12mv2

又有重力勢能

Ep2=mg·L2.

根據(jù)機械能守恒定律有E1=E2.所以Ep1+Ep2=Ek2+Ep2，故

58mg·L+38mg·6.58L=mgL2+

12mv2，

故58gL+19.564gL-12gL=12v2.

所以v=5564gL=55gL8

例4.如圖3所示，ABDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB

是半徑為R=15?m的1/4圓周軌道，半徑OA處于水平位置，

BDO是直徑為15?m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央.一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內(nèi)的軌道通過D點時對軌道的壓力等于其重力的倍，取g=10?m/s2.

（1）H的大小等于多少？

（2）試討論此球能否到達BDO軌道的O點，并說明理由.

[解題過程]

（1）小球從H高處落下，進入軌道，沿BDO軌道做圓周運動，小球受重力和軌道的支持力.設(shè)小球通過D點的速度為v，通過D點時軌道對小球的支持力F（大小等于小球?qū)壍赖膲毫Γ┦撬鰣A周運動的向心力，

即mV2R/2=F=143mg ①

小球從P點落下直到沿光滑軌道運動到D點的過程中，機械能守恒，所以

-△Ep=△Ek，故有

mg（H+R2）=12mv2 ②

由①②式可得高度H=23R=10?m.

?（2）設(shè)小球能夠沿豎直半圓軌道運動到O點的最小速度為

vc，有

mvc2R/2=mg ③

小球至少應(yīng)從HC高處落下，由-△Ep=△Ek有?mgHC=12mvc2 ④

由③④式可得：HC=R4=154m

由H>HC，小球能通過O點.

（作者單位：甘肅省臨洮縣文峰中學(xué)，甘肅?定西?730500）