毛曉君，周 宇，許玉德

（同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201804）

軌面短波不平順是指鋼軌頂面波長(zhǎng)小于2 m的不平順，主要包括軌面不均勻磨耗、軌面擦傷、剝離掉塊、焊縫不平順等，其波長(zhǎng)小于1 m，幅值在1 mm 以內(nèi)［1］。軌面短波不平順對(duì)輪軌垂向力、鋼軌振動(dòng)加速度、軌道板振動(dòng)加速度、底座板振動(dòng)加速度和CA砂漿壓應(yīng)力均有顯著的影響，且其影響程度超過(guò)中長(zhǎng)波隨機(jī)不平順［2］。此外軌面短波不平順會(huì)引起高頻輪軌接觸力［3］和沖擊力［4-5］，加快鋼軌、車輪及部件的傷損斷裂［6］。國(guó)內(nèi)外研究還發(fā)現(xiàn)，輪軌表面不平順與輪軌滾動(dòng)噪聲直接相關(guān)，特別是在500～2 500 Hz頻率范圍內(nèi)的噪聲與輪軌表面短波不平順?lè)抵g存在線性關(guān)系［7］。因此對(duì)軌面短波不平順的分析，是合理進(jìn)行鋼軌養(yǎng)護(hù)維修、延長(zhǎng)鋼軌使用壽命、控制輪軌振動(dòng)和噪聲提高列車運(yùn)行品質(zhì)的重要基礎(chǔ)。

而目前我國(guó)尚未對(duì)軌面短波不平順展開較為系統(tǒng)的測(cè)量與分析，也未有典型的軌面短波不平順頻譜。單次測(cè)量得到的軌面短波不平順時(shí)域波形又很難具備代表性?；诖?，本文提出從軌面短波不平順（粗糙度）水平譜反演短波不平順時(shí)域波形的算法，并能保證一定代表性和隨機(jī)性。結(jié)合上海地鐵1號(hào)線實(shí)測(cè)得到的短波不平順?biāo)阶V，反演得到了該線路時(shí)域內(nèi)的短波不平順波形。反演得到的短波不平順時(shí)域波形可作為輪軌動(dòng)力學(xué)仿真模型的激勵(lì)輸入，也可為預(yù)測(cè)軌面不平順發(fā)展提供模擬數(shù)據(jù)。

1 軌面短波不平順?biāo)阶V

由于軌面短波不平順隨線路里程變化表現(xiàn)為一定的空間隨機(jī)性，因此往往將其轉(zhuǎn)換到頻域，再經(jīng)1/3倍頻程處理后通過(guò)軌面短波不平順?biāo)阶V加以表現(xiàn)。

1.1 1/3倍頻程

1/3倍頻程是一種頻域分析方法，它具有譜線少、帶寬的特點(diǎn)，常用于聲學(xué)、人體振動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)等測(cè)試分析以及頻帶范圍較寬的隨機(jī)振動(dòng)測(cè)試分析等［8］。1/3倍頻程譜按逐級(jí)式頻率進(jìn)行分析，它是由多個(gè)帶通濾波器并聯(lián)組成，為的是使這些帶通濾波器的帶寬覆蓋整個(gè)分析頻帶。根據(jù)國(guó)際電工委員會(huì)（IEC）的推薦，1/3倍頻程的中心頻率為

但在實(shí)際工程應(yīng)用中，通常采用的中心頻率是其近似值。此外，1/3倍頻程的上、下限頻率以及中心頻率之間的關(guān)系為

式中：fm為上限頻率；fl為下限頻率；fc為中心頻率。因此，1/3倍頻程的帶寬為Δf=fm-fl。

1.2 軌面短波不平順度（粗糙度）水平

軌面粗糙度水平是指經(jīng)1/3倍頻帶通濾波后，對(duì)每一帶寬內(nèi)的波形計(jì)算其均方根r~k（root mean square，RMS），并除以參考值rref后，換算到水平級(jí)，從而對(duì)軌面短波不平順進(jìn)行衡量。對(duì)于一段測(cè)量長(zhǎng)度為L(zhǎng)的軌面不平順，經(jīng)1/3 倍頻帶通濾波后在某一帶寬k內(nèi)的均方根計(jì)算如圖1和公式（3）所示

式中：Yi是帶寬k內(nèi)的信號(hào)采樣值，n為長(zhǎng)度L內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)。

圖1 軌面短波不平順均方值計(jì)算示意圖Fig.1 Mean square value calculation diagram of rail surface shortwave irregularities

圖1中，x為線路里程長(zhǎng)度；L為線路長(zhǎng)度。

一定長(zhǎng)度范圍內(nèi)短波不平順?lè)档木礁庇^地反映了該段軌面不平順在特定帶寬內(nèi)的粗糙程度。在得到各帶寬內(nèi)的均方根后，通過(guò)公式（4）計(jì)算便可得到各帶寬內(nèi)對(duì)應(yīng)的短波不平順粗糙度水平［9］。

目前只有歐洲鐵路在研究輪軌噪聲時(shí)制訂了軌面的不平順度（粗糙度）水平——ISO3095標(biāo)準(zhǔn)［9］對(duì)軌面不平順度進(jìn)行評(píng)價(jià)，它是從軌道車輛車外輻射噪聲的角度對(duì)鋼軌表面輪軌粗糙度進(jìn)行評(píng)價(jià)控制，此外標(biāo)準(zhǔn)中還制定了相應(yīng)的噪聲測(cè)量方法。之后歐洲鐵研究所（ERRI）采用德國(guó)Müller-BBM公司開發(fā)的mbbm-RM1200軌面不平順度測(cè)量?jī)x對(duì)歐洲鐵路的軌面進(jìn)行了不平順度測(cè)量，統(tǒng)計(jì)得到了ISO3095軌面粗糙度水平標(biāo)準(zhǔn)限值。

2 軌面短波不平順時(shí)域波形反演算法

2.1 反演算法的基本思想

軌面短波不平順時(shí)域波形反演算法的思想是從短波不平順粗糙度水平譜出發(fā)，按照1/3倍頻程的帶寬劃分，將1 m以下的短波不平順?lè)殖扇舾蓚€(gè)頻帶（波長(zhǎng)帶）。在每個(gè)波長(zhǎng)帶中生成若干不同波長(zhǎng)、相位且振幅為1的正弦波，再通過(guò)振幅的調(diào)整，使得該波長(zhǎng)帶中的若干正弦波疊加后經(jīng)計(jì)算得到的粗糙度水平與標(biāo)準(zhǔn)或?qū)崪y(cè)結(jié)果的相同。具體算法流程可分為以下6個(gè)步驟。

1）將1 m以下的短波按照1/3倍頻程的中心波長(zhǎng)劃分成24個(gè)頻帶，各頻帶中心波長(zhǎng)、上下截止波長(zhǎng)見表1。

2）在每一個(gè)波長(zhǎng)里，將波長(zhǎng)等步長(zhǎng)細(xì)分成m份，其中最小波長(zhǎng)為該頻帶的下截止波長(zhǎng)，最大波長(zhǎng)為該頻帶的上截止波長(zhǎng)。

3）根據(jù)上述波長(zhǎng)，在第i個(gè)頻帶內(nèi)產(chǎn)生m個(gè)振幅為1，相位在［0，2π］間隨機(jī)分布的正弦波，并疊加得到一個(gè)復(fù)合波。式中：x為線路里程的離散形式；λij為第i個(gè)頻帶內(nèi)第j個(gè)諧波的長(zhǎng)度；φij為第i個(gè)頻帶內(nèi)第j個(gè)諧波的相位。

4）對(duì)上述復(fù)合波按式（3）進(jìn)行均方根計(jì)算，得到均方根ri。

5）根據(jù)式（5）計(jì)算每個(gè)頻帶內(nèi)的振幅ai

式中：Li是在第i個(gè)頻帶內(nèi)的粗糙度水平，由（4）式計(jì)算得到，可以是若干實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算平均，也可以是ISO3095的標(biāo)準(zhǔn)值；rref為參考值，同樣取rref=1 μm。

6）將各頻帶不同波長(zhǎng)的波按照式（6）復(fù)合疊加，由此構(gòu)成［4.5，1 140.4］mm波長(zhǎng)范圍內(nèi)任意長(zhǎng)度軌面短波不平順的時(shí)域模擬值。

表1 1/3倍頻程中心波長(zhǎng)、上下截止波長(zhǎng)Tab.1 Central and cut-off wavelength of 1/3 octave mm

2.2 ISO3095標(biāo)準(zhǔn)譜反演

按照上述構(gòu)造思想，在鋼軌粗糙度水平ISO3095標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行反演，得到時(shí)域波形如圖2所示。

圖2中，模擬線路長(zhǎng)度為10 m，模擬得到的短波不平順時(shí)域波形幅值在±0.1 mm之間，符合實(shí)際情況。此外，構(gòu)造算法中由于各正弦波的相位是隨機(jī)產(chǎn)生的，因此基于同一個(gè)粗糙度水平譜，可得到無(wú)數(shù)多個(gè)短波不平順時(shí)域模擬波形，這在保證代表性的同時(shí)又保證了隨機(jī)性。

對(duì)上述反演得到的短波不平順進(jìn)行粗糙度水平計(jì)算，結(jié)果與ISO3095標(biāo)準(zhǔn)限值對(duì)比，如圖3所示。

從圖3中可以看出，由反演得到的時(shí)域波形計(jì)算得到的粗糙度水平譜與ISO3095標(biāo)準(zhǔn)譜吻合得很好，驗(yàn)證了上述算法的可行性與正確性。因此，該反演算法可進(jìn)一步用于實(shí)測(cè)鋼軌表面粗糙度水平譜的軌面短波不平順波形反演。

圖2 ISO3095標(biāo)準(zhǔn)反演得到的短波不平順波形Fig.2 Rail surface shortwave irregularities inverted from ISO3095 standard

圖3 ISO3095標(biāo)準(zhǔn)譜與反演譜對(duì)比Fig.3 Contrast between ISO3095 standard spectrum and inverse spectrum

3 實(shí)測(cè)水平譜反演

3.1 測(cè)試儀器及數(shù)據(jù)來(lái)源

軌面短波不平順的測(cè)量采用RMF-2.3E型波磨測(cè)量?jī)x，該測(cè)量小車可以實(shí)現(xiàn)鋼軌表面縱向波浪形磨耗的在線連續(xù)測(cè)量，其技術(shù)參數(shù)見表2所示。

表2 RMF-2.3E型波磨測(cè)量?jī)x測(cè)量參數(shù)Tab.2 Parameters of RMF-2.3E corrugation detection instrument

用RMF-2.3E 型波磨測(cè)量?jī)x對(duì)上海軌道交通1 號(hào)線隧道地段一段450 m 長(zhǎng)的軌面短波不平順進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果經(jīng)［4.5，1140.4］mm帶通濾波后得到時(shí)域波形如圖4所示。

3.2 實(shí)測(cè)水平譜反演與對(duì)比

對(duì)上述實(shí)測(cè)軌面短波不平順數(shù)據(jù)做1/3倍頻程處理并換算成分貝做軌面粗糙度水平譜，得到各中心波長(zhǎng)處的粗糙度水平Li。利用反演算法進(jìn)行時(shí)域內(nèi)軌面短波不平順的反演，反演長(zhǎng)度與原始數(shù)據(jù)長(zhǎng)度一致，反演得到的時(shí)域波形如圖5所示。

對(duì)比圖4、圖5 可知，反演得到的時(shí)域波形幅值主要集中于-0.2～0.2 mm 間，而實(shí)測(cè)波形有更大的離散性，存在較多異常值。造成這一差異的原因在于，反演得到的波形是由若干不同振幅、波長(zhǎng)和相位的正弦波疊加而成的，這一過(guò)程將軌面短波不平順視為平穩(wěn)的高斯過(guò)程，而實(shí)際軌面短波不平順的形成和發(fā)展是很多隨機(jī)性因素共同作用的結(jié)果，因而并不是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，所以反演得到的時(shí)域波形與原始實(shí)測(cè)波形存在一定偏差。

圖4 ［4.5，1 140.4］mm濾波后的實(shí)測(cè)軌面短波不平順波形Fig.4 Measured rail surface shortwave irregularities after［4.5，1 140.4］mm band pass filtering

但盡管如此，上述反演算法的優(yōu)點(diǎn)在于，能夠保證反演波形的軌面粗糙度水平譜與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)粗糙度基本吻合，如圖6所示。

圖5 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)反演得到的軌面短波不平順波形Fig.5 Inverted rail surface shortwave irregularities based on measured datum

圖6 實(shí)測(cè)軌面短波不平順粗糙度譜與反演譜對(duì)比Fig.6 Contrast between measured spectrum and inverse spectrum

因此，反演算法得到的時(shí)域波形在頻域內(nèi)與原始數(shù)據(jù)一致，即能保證在短波范圍內(nèi)具有相同的波長(zhǎng)組成，這是該反演算法的最主要目的和意義。

4 結(jié)論

軌面短波不平順對(duì)高頻輪軌接觸力、沖擊力、軌道各部件振動(dòng)加速度、輪軌噪聲等方面都有顯著的影響，而目前國(guó)內(nèi)外尚未有典型的軌面短波不平順頻譜，且單次測(cè)量結(jié)果又很難具備代表性。基于此，本文創(chuàng)造性地提出一種從軌面短波不平順（粗糙度）水平譜反演短波不平順時(shí)域波形的算法，并用該算法實(shí)現(xiàn)了ISO3095標(biāo)準(zhǔn)譜與上海軌道交通實(shí)測(cè)譜的反演，得到以下結(jié)論：

1）反演得到的時(shí)域波形計(jì)算得到的粗糙度水平譜能與ISO3095標(biāo)準(zhǔn)譜和實(shí)測(cè)譜較好吻合，驗(yàn)證了算法的可行性和正確性；

2）反演算法中由于各正弦波的相位是隨機(jī)產(chǎn)生的，因此基于同一個(gè)粗糙度水平譜，可反演得到無(wú)數(shù)多個(gè)短波不平順時(shí)域模擬波形，這使得反演算法在保證代表性的同時(shí)又具備了一定隨機(jī)性；

3）反演過(guò)程將軌面短波不平順視為平穩(wěn)的高斯過(guò)程，而實(shí)際軌面短波不平順并不滿足嚴(yán)格平穩(wěn)性，因此反演波形與原始實(shí)測(cè)波形存在一定偏差。反演波形更平穩(wěn)，對(duì)于實(shí)測(cè)波形的大離散性和異常值不能模擬。

4）軌面短波不平順時(shí)域波形反演算法的提出為進(jìn)一步研究振動(dòng)噪聲和軌面狀態(tài)仿真分析提供了數(shù)學(xué)方法。

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