張 干，吳成茂

（西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安710121）

0 引 言

目前常用的圖像分割方法可分為3類：基于邊緣檢測的方法，基于區(qū)域的方法，以及閾值化分割方法。其中閾值分割是應(yīng)用最為廣泛的一種圖像分割方法［1，2］。圖像的分割質(zhì)量是由人來做主觀評價的，而圖像在本質(zhì)上具有模糊性，如三維物體投影為二維圖像時有信息損失；紋理、邊緣、區(qū)域等的定義具有模糊性；對圖像底層處理的解釋有模糊性［3］，近年來模糊集和粗糙集閾值分割技術(shù)在圖像分割中的應(yīng)用日益廣泛［4，5］。

基于粗糙集理論的優(yōu)勢，Debashis Sen 和Sankar K.Pal提出使用粗糙集和模糊集結(jié)合的方法進行圖像處理［5］。本文在粗糙模糊集基礎(chǔ)上提出一種灰度級融合粗糙模糊熵閾值分割法。相比于信息熵圖像分割方法在去噪和保留圖像細節(jié)信息時的局限性，融合灰度級概率的粗糙模糊熵算法更符合圖像直方圖特點，仿真實驗對其分割結(jié)果進行了驗證。

1 粗糙模糊集基礎(chǔ)理論

模糊集和粗糙集理論在處理不確定性和不精確性問題方面推廣了經(jīng)典集合論。法國學(xué)者D.Dubofs和H.Prade于1992年提出粗糙模糊集理論，很好地實現(xiàn)了模糊集和粗糙集的融合問題［6］。

1.1 論域中集合的粗糙性

設(shè)U 代表論域，X 是U 中任意的一個有特殊屬性的集合，R 是論域U 中一個不確定的二元關(guān)系，將論域U 分為若干個大小相等的粒度［7］。一個論域中不確定的關(guān)系是指論域中的每個元素和這個論域中的其它元素有相似性。通過二元關(guān)系R 獲取的所有的粒度表示為U／R。論域U 中不可辨別的關(guān)系在不同的元素和不同的集合之間用一個不確定的集合X 定義。集合X 可以被兩個確定的集合X 和X 近似表示

1.2 粗糙模糊集定義

設(shè)（U，R）為Pawlak近似空間，U／R ＝｛X1，X2，…Xn｝是U 上由R 導(dǎo)出的所有等價類，模糊集B 在U 中的上、下近似分別記為，且被定義為U／R ＝｛X1，X2，…Xn｝上的模糊集，B：U／R →［0，1］，使得

2 圖像粗糙模糊集描述

對于一幅有L 個灰度級大小為S1×S2的圖像I，用Λ代表L 個灰度級組成的論域，其中的元素表示為li，i＝1，2，…L。

2.1 圖像灰度級的粗糙集表示

首先定義兩個互斥的集合Ab和Bb，分別代表論域Λ中 “明亮”和 “灰暗”兩個區(qū)域，如下

根據(jù)上定義可以得到：Ab∪Bb＝Λ.灰度值b被稱作交叉點或閾值。

因為相鄰灰度值的視覺相似性，我們對論域Λ進行粒度計算。如圖1所示，ω代表粒度大小，文獻 ［7］中方法，粒度分割使閾值b從不在任何一個粒度的邊界，由于Λ 內(nèi)子集有限的分辨能力，使用粗糙集理論獲取Ab和Bb的下近似

Ab和Bb的上近似定義為

其中，［li］ω代表大小為ω包含像素li的粒度?，F(xiàn)在兩個粗糙集，［Ab，Ab］代表Λ中的灰度級“明亮”區(qū)域，［Bb，Bb］代表Λ中灰度級“灰暗”區(qū)域。［Bb，Bb］的定義如圖1所示。

圖1 圖像灰度值的粗糙集

2.2 灰度級中的粗糙模糊集

在式 （5）和式 （6）中，子集Ab和Bb都是分明集，如第一節(jié)所述，圖像中不同區(qū)域之間有著 “模糊”的邊界，因此，將Ab和Bb變?yōu)槟：确置骷男Ч?。定義兩個模糊集合Ab和Bb，分別代表Λ 中 “明亮”和 “灰暗”的灰度級，如下

其中，μb（li）＝1－μb（li）。根據(jù)定義容易得出Ab∪FBb＝Λ，其中∪F代表模糊集合的并，Λ 中每個元素的隸屬度函數(shù)之和為1。使用S函數(shù)［9］來計算μb（li）

其中，0＜a＜b＜c＜L－1，灰度值b受參數(shù)a，c的制約，一般選取b＝（a＋c）／2，Δb ＝b－a＝c－b是構(gòu)成模糊集合的帶寬。

由于在圖像中灰度級直覺分辨的相似性，論域Λ 中子集的分辨能力有限，使用粗糙集理論得到模糊集Ab和Bb的下近似定義

其中

相對應(yīng)的上近似為

其中

其中，［li］ω是包含元素li的的大小為ω 的顆粒，特別的上近似和下近似是Ab和Bb被近似的模糊集合。

圖2 圖像灰度的粗糙模糊集

3 圖像信息的不確定性度量

圖像成像是一個由三維到二維的過程，使得圖像本身具有許多不確定性，人的視覺對于圖像中的灰度級是模糊的，所有這些不確定性都增加了圖像分割的復(fù)雜性。

圖像信息中的不確定性可以概括為灰度的不確定性和空間的不確定性。圖像信息的不確定性度量方法有模糊熵度量法，粗糙熵度量法，以及模糊集和粗糙集相結(jié)合的度量方法。本文采用粗糙模糊熵度量方法度量圖像信息的不確定性。

3.1 粗糙和粗糙模糊熵

本節(jié)依據(jù)上述粗糙模糊熵理論度量圖像的模糊程度。

上節(jié)在一幅圖像中，已經(jīng)根據(jù)分明區(qū)域得到一組粗糙集，根據(jù)模糊區(qū)域得到一組粗糙模糊集。并且在兩個集合中分別指定了［Ab］和［Bb］。

論域Λ 中的粗糙度度量如下

其中

REb的取值范圍是［0，1］，僅當(dāng)RAb＝RBb＝0時REb取到最小值0，僅當(dāng)RAb＝RBb＝1時REb取到最大值1。這也和熵最大時信息的不確定性最大理論保持了一致。在RAb＝RBb時，REb的取值如圖3所示。

圖3 粗糙模糊集隸屬度RAb ＝RBb

3.2 圖像不確定量計算方法

設(shè)集合X 是圖像I 中一個子集，其中包含N 個元素分別為xn，n＝1，2，…N 。用HX（li）表示在集合X 中灰度值為li的元素的個數(shù)，用下式定義集合X 中的粗糙模糊度度量方式［11］

結(jié)合粗糙熵得到集合X 中的粗糙模糊熵度測量式

圖4是集合X 被粒度劃分后，不同灰度級的元素個數(shù)示意圖。

圖4 灰度直方圖中不同灰度級粒度

定義集合X 中的粗糙熵度量之后，式（25）即可簡化為

4 灰度級融合粗糙模糊熵

針對式 （26）中粗糙模糊熵在對目標(biāo)和背景區(qū)分模糊，含有噪聲的圖像分割不明顯的問題，引申出灰度級融合粗糙模糊熵閾值算法，該方法在原最大模糊熵算法基礎(chǔ)上，增加模糊隸屬函數(shù)參數(shù)所對應(yīng)的灰度級大小信息的變權(quán)參數(shù)，表達式描述為

其中，0＜a＜b＜c＜L－1，且a，c選取不同的灰度級大小的模糊隸屬函數(shù)參數(shù)。在實際應(yīng)用中，針對不同類型圖像，可以選取適當(dāng)α值，使REXa，c（Λ）取值最大化，獲取最佳參數(shù)a，c，以便獲得滿意的分割效果。即

根據(jù)分割閾值b＊對原圖像進行二值化處理，二值化函數(shù)通常表示為

5 實驗結(jié)果及分析

為了驗證本文所建議的圖像分割方法的有效性，采用一些典型圖片進行了分割測試，其實驗結(jié)果如圖5－圖8所示。其中圖5，圖6中的兩幅圖片的分割結(jié)果都是突出圖像中 “明亮”區(qū)域部分，對分割要求有較好的去除噪音效果；在該組實驗中，參數(shù)α＝2。圖7，圖8中的兩幅圖片的分割結(jié)果對圖像中 “灰暗”部分的細節(jié)信息的保留要求較高，該組實驗中參數(shù)α＝－0.5。

從圖5至圖8所示的灰度圖像分割結(jié)果來看，嵌入灰度級信息的粗糙模糊熵相對傳統(tǒng)信息熵和粗糙模糊熵閾值法能獲得更好的分割效果，其分割結(jié)果目標(biāo)信息更加全面，噪聲少且圖像細節(jié)信息較為豐富。因此，本文所建議的融入灰度級信息的粗糙模糊熵閾值法是有效的。

6 結(jié)束語

針對光照不均勻灰度圖像難以分割的問題，提出融合灰度級大小信息的粗糙模糊熵分割法，不僅考慮灰度級概率信息和大小信息，而且考慮了灰度級的模糊信息和粗糙性所對應(yīng)的粗糙模糊不確定性，相比現(xiàn)有的僅利用灰度級概率的隨機不確定性、粗糙模糊不確定性的分割方法能獲得更加滿意的分割結(jié)果。該改進分割方法有利于光照不均勻圖像分割的實際需要。

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