周志峰

一、問題提出

關于點的軌跡方程，之前已有大量的文章進行了分析與總結，求軌跡方程的方法一般可分為直譯法、定義法、相關點法、參數(shù)法、交軌法等，不同的方法適用不同的題型，但值得指出的是參數(shù)法有其特殊的優(yōu)越性，在高考中相關點法的應用比較頻繁，但相關點發(fā)必須要找到所求點與相關點的代數(shù)關系，這需要學生有很強的數(shù)學能力，殊不知相關點法的題往往可用參數(shù)法來完成，從這個意義上說參數(shù)法應用更廣泛.

在江蘇省，參數(shù)法的學習是在選修4—4中，屬于理科生的選學部分，對于文科生就失去了這一機會，因此在高考中文科生做法較為單一，失分情況也較多，適當普及參數(shù)法，在求軌跡方程時有一定的積極意義.

二、例題剖析

題1? 已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為，設.

1. 求該橢圓的標準方程
2. 若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程

解（1）因為，所以，所以橢圓方程為.

（2）法一：設M點坐標為.

M為PA的中點，A點坐標為.

P點坐標為.

由于P點在橢圓上，將點P坐標代入橢圓方程得.

此方程即為點M的軌跡方程.

法二：

橢圓的參數(shù)方程為.endprint

設，則.

消去參數(shù)可得：.

法一為相關點法，在這題中點M之所以有軌跡產(chǎn)生，實質是由于點P是有軌跡的，利用相關點P的軌跡，依托M與P的關系，帶出點M的軌跡方程.

法二則為參數(shù)方程法，設橢圓離心角為參加，建立起所求點分別與參數(shù)的關系進而得到所求點兩坐標之間的關系，消參成為關鍵的一步.

在本題中兩種方法似乎看不出優(yōu)越性，不妨再看題2.

題2?? 已知拋物線，A、B為拋物線上兩點，且OAOB，求AB中點M的軌跡方程.

分析：此題用相關點法做的困難在于很難用點A與點B的坐標來表示點M的坐標，這樣也就很難利用相關點A和點B 的軌跡來求出點M的軌跡方程。下面用參數(shù)方程來解決.

設，顯然OA與OB斜率都存在，不妨設直線OA的斜率為，則OB的斜率為，故直線OA方程為，代入拋物線方程得，得到：.

同理可得：，從而有，消參可得：.endprint

此題明顯用參數(shù)方程較為簡單，但是參數(shù)的選取是一個難點，對于參數(shù)的選取標準為所有條件都能用同一個參數(shù)表示，在這一題中抓住垂直關系，故所取參數(shù)為直線的斜率.

在《數(shù)學通訊》中曾有一文用幾何法來證明直線過定點，下面利用參數(shù)方程法來證明此結論.

由于，.

所以，又直線AB過點.

所以直線AB的方程為：.

整理得：.

由得任意性得：.當或時，AB軸.則直線OA：;直線OB：.代入拋物線，得.故.從而直線AB方程為，同樣過點.endprint

綜上直線AB過定點.利用參數(shù)法還可以得到另外兩個結論。結論1：.結論2：.

下面利用剛才通過參數(shù)方程得到的結論做一個簡單的應用.

三、應用??

設點A和點B為拋物線上任意一點，且，，求點M的軌跡方程.

解：設AB與軸交點為N，則，易知點M位于以ON為直徑的圓周上，故點M的軌跡方程為.

有時我們不見得會記得AB過定點這樣一個結論，在這樣的情況下，同樣可以仿照前面設直線AB斜率為為參數(shù)，得到，.

則點M位于以OB為直徑的圓上，圓心為，半徑.

所以圓方程為：.

整理得*.endprint

又因為，所以，可得代入*得

，整理得.

即，此為點M的軌跡方程.

四、簡析

軌跡方程是指求動點坐標之間的等量關系，由于某些問題中之間的等量關系比較難以直接發(fā)現(xiàn)，所以就出現(xiàn)了參數(shù)法求軌跡方程，也就是分別尋找與另外一個變量t之間的關系，即，再消去t就得到之間的軌跡方程，其間有幾個問題需要注意：

（1）參數(shù)法是求軌跡方程的重要方法，其關鍵在于選擇恰當?shù)膮?shù)，一般來說，選參數(shù)的原則是：動點的變化隨參數(shù)的變化而變化，即參數(shù)要能反映動點的變化特征;參數(shù)要與題設的已知量有著密切的聯(lián)系

（2）注意參數(shù)t的取值范圍。由于有些曲線的方程中有一定的取值范圍，所以在設

參數(shù)時要特別注意參變量的取值范圍.

（3）求軌跡方程最后都要將參數(shù)方程化為普通方程，所以掌握適當?shù)南麉⒓记梢彩潜仨?/p>

要突破的一個難點.

參數(shù)方法最大的優(yōu)點是設立較少的參變量就可得到點坐標之間的關系。高考中很多題目如果選擇參數(shù)恰當?shù)脑挘灰靡粋€參數(shù)便可，而如果選用其他方法則要引入多個變量，其運算與解題思路對學生來說是一個巨大的挑戰(zhàn)，這也從另一面體現(xiàn)了參數(shù)法的優(yōu)點.

參考文獻：

[1] 謝豐牧.淺議軌跡及參數(shù)法求軌跡方程[J].科教導刊，2011（15）

[2] 楊躍.軌跡方程的幾種常用求法[J].讀與算，2012（1）

[3] 馮作維.軌跡問題方法談[J].理科考試研究（高中），2012（3）endprint