李金興

摘 ?要：新授課總是將章節(jié)內(nèi)容分解為若干小塊，而章節(jié)復習課則應該體現(xiàn)章節(jié)內(nèi)容所組成的有機整體. 因此，章節(jié)復習的教學設計應該站在知識系統(tǒng)的高度，選擇合適視角切入，重溫知識的形成和發(fā)展過程;同時幫助學生不斷完善知識結(jié)構(gòu)，引領學生作進一步自主探究.

關鍵詞：知識系統(tǒng);教學設計

任何知識都不是片斷、孤立存在著的，它既有生活實踐為基礎，同時也與其他知識相關聯(lián)，結(jié)構(gòu)化的知識是基礎知識存在的主要形態(tài). “直線”是解析幾何的第一個研究對象，是解析幾何最重要的基礎知識之一. 通過對直線及其方程的研究，能讓學生領悟解析幾何的研究方法、認識圖形直觀“就其粗而不能精其微”的特點，從而自覺運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題.

本文就《直線及其方程》章節(jié)的復習課的設計和教學過程，談一談如何立足知識系統(tǒng)的高度來設計課堂教學內(nèi)容，凸現(xiàn)基礎知識的結(jié)構(gòu)，提高復習課的知識整合效應.

概括梳理，以合適的視角作為教學設計的切入點

教學設計需要考慮教學系統(tǒng)中諸多因素，教師在充分了解學情、合理運用教法和媒體之外，教學內(nèi)容的設計成為最能體現(xiàn)教師智慧的環(huán)節(jié).

《直線及其方程》章節(jié)涵蓋如下許多知識點：直線的方程表示、點在直線上的坐標表示、兩條直線位置關系的代數(shù)表示、直線方程系數(shù)的幾何含義、同一條直線的不同方程形式所凸顯的幾何性質(zhì)、同一條直線的不同方程形式之間的互化、點到直線距離的代數(shù)表示、直線系的代數(shù)表示、通過代數(shù)方程運算研究直線和直線間的關系等.

合適的視角能將知識串聯(lián)起來、整合起來，使基礎知識結(jié)構(gòu)化，達到“拎起來成一串，撒下去鋪一片”的效果. 為此，筆者確定《直線方程蘊涵的幾何性質(zhì)》為課題，以此凸顯“用方程表示和研究直線幾何性質(zhì)”的解析幾何基本思想，圍繞課題設計系列問題及變式思考，將整個章節(jié)的知識點串聯(lián)整合起來，并制定學生的學習目標如下：

1. 理解直線和它的方程之間的對應關系，能將某直線的方程化為各種不同形式，并以此分析該直線的幾何特性;

2. 理解直線系方程的含義，能由方程分析直線系特有的規(guī)律;

3. 理解兩條直線平行、垂直、相交等的代數(shù)表示，能由方程組判斷直線間的位置關系;

4. 體驗解析法的基本思想——用坐標和方程表示幾何圖形，以代數(shù)運算研究幾何關系.

追本溯源，以重溫知識的形成和發(fā)展過程作為教學設計的立足點

“直線的方程”是本章節(jié)的核心概念，在習題課的教學設計中必須回歸課本，重溫其形成和發(fā)展的過程. 為此，筆者設計如下兩例（例1和例2），讓學生在重溫概念的同時進一步理解：直線和它的方程之間的對應關系，點在直線上的坐標表示，已知直線上兩點就能確定直線，兩條直線的相對位置與直線方程組解之間的對應關系等知識點. 而在實際教學過程中，學生的不同解法恰恰讓知識運用過程在對比中彰顯生機.

例1 直線l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交于點A（1，2），那么由點（k1，b1）和（k2，b2）確定的直線方程為___________.

學生1：因為k1+b1=2，k2+b2=2，兩式相減，得k2-k1=-（b2-b1），所以過點（k1，b1）和（k2，b2）的直線的斜率k= ?=-1，所以其點斜式方程為y-b1=-（x-k1），即y=-x+（k1+b1），而k1+b1=2，所以直線方程為x+y-2=0.

學生2：因為k1+b1=2，k2+b2=2，所以點（k1，b1）和（k2，b2）都在直線x+y-2=0上，而經(jīng)過兩點只有一條直線，所以由點（k1，b1）和（k2，b2）確定的直線方程為x+y-2=0.

反思：學生1的解法以確定直線方程的系數(shù)為出發(fā)點，而學生2的解法則從確定直線方程的幾何本質(zhì)入手，更顯簡潔. 通過對比，讓學生更清晰地體會方程蘊涵的“點在線上”的幾何性質(zhì).

例2 實數(shù)a，b取何值時，關于x，y的方程組ax+by=1，x-2y= ?無實數(shù)解？

學生3：直線ax+by=1和x-2y= ?互相平行，所以 ?= ?≠ ?，即b=-2a且a≠2.

學生4：答案還不全面，如果a=b=0，則方程ax+by=1不能表示直線，所以b= -2a且a≠2，a≠0.

學生5：不對，從方程角度看，a=b=0時方程ax+by=1無解，所以方程組

ax+by=1，x-2y= ?也無實數(shù)解，所以答案應該是b=-2a且a≠2.

反思：通過三位學生逐步遞進式的回答，讓全班學生體會到方程組無解與直線平行之間的細微差異，進一步加深對“直線的方程”和“方程的直線”等概念的理解.

橫縱聯(lián)系，以完善知識系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作為教學設計的發(fā)散點

為完善章節(jié)知識系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，還需要在操作運用和背景分析中體現(xiàn)其“張力”. 為此，筆者設計例3、例4、例5，讓學生在分析直線方程蘊涵的幾何性質(zhì)的過程中，充分體驗數(shù)形結(jié)合的思想方法，盡可能多地聯(lián)系各種其他背景知識（函數(shù)、三角、向量等）.

（一）直線方程的不同形式凸顯不同性質(zhì)

例3 ?已知直線l：x+λ（y-2）+2=0經(jīng)過第一象限的某點，求實數(shù)λ的取值范圍.

學生6：顯然λ≠0（否則直線l方程為x=-2，不經(jīng)過第一象限），故直線方程可化為y-2=- ?（x+2），所以由直線的點斜式方程知l過定點（-2，2），所以結(jié)合圖1觀察，得傾斜角的取值范圍為0， ?∪ ?π，π;而斜率k=- ?的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞），所以λ∈（-∞，0）∪（1，+∞）.

學生7：直線方程還可化為y=- ?x+2- ?，由圖2易知- ?>0或- ?≤0，2- ?>0，所以 ?∈（-∞，0）∪（0，1），所以λ∈（-∞，0）∪（1，+∞）.

圖2

反思：直線方程的不同形式凸顯了直線相關的不同幾何量. 點斜式凸顯了直線過某定點（動直線繞定點旋轉(zhuǎn)），斜截式則凸顯出直線的斜率和與y軸交點的位置.該題還能采用截距式方程來處理，將方程化為x+λy=2（λ-1）或 ?+ ?=1（λ≠1），由圖形直觀知，若l經(jīng)過第一象限的某點，只需2（λ-1）>0或 ?>0，所以λ>1或λ<0. 需要注意的是，用某種形式的方程不能表示的直線要專門討論.

（二）直線系方程蘊涵動直線的變化規(guī)律

例4 ?求原點到直線（1+λ）x-（1-λ）·y-2λ=0距離的取值范圍.

學生8：方程可化為（x-y）+λ（x+y-2）=0，由方程組x-y=0，x+y-2=0， 解得x=y=1，所以直線（1+λ）x-（1-λ）y-2λ=0過定點A（1，1），由圖3易知d∈[0， ?].

學生9：李老師，我的答案不一樣！因為由點到直線距離公式知d= ?= ?· ?∈[0， ?）.

學生10：由于直線斜率k= ?=-1+ ?≠-1，所以d= ?的情形不存在.

反思：直線過定點的規(guī)律容易找到，但直線繞定點轉(zhuǎn)動的范圍卻容易忽視，所以要數(shù)、形一起分析. 比如，直線x-（1+λ2）y+λ2=0（λ∈R）過定點A（1，1），斜率k∈（0，1），所以原點到直線的距離d∈（0，1）. 通過“易錯點”的設置，讓學生體驗圖形直觀“就其粗而不能精其微”的特點.

例5 ?試判斷，是否存在定點P，使得不論θ∈[0，2π]如何變化，直線l：cosθ·x+sinθ·y-1=0都不能經(jīng)過點P？

10多位學生齊答：直線l一定不過原點（以特值x=y=0檢驗）.

教師追問：是否還有其他點呢？

學生11：直線l方程可化為 ?·sin（θ+φ）=1，由于sin（θ+φ）≤1，所以x2+y2<1時，方程 ?·sin（θ+φ）=1不能成立，所以直線l一定不過單位圓內(nèi)的點.

教師：很好，你的解法老師也沒有想到，但是否還有其他點一定不能在動直線l上呢？

學生12：原點到直線l：cosθ·x+sinθ·y-1=0的距離d= ?=1. 因此直線一定是單位圓的切線，所以單位圓內(nèi)部的點必定不在l上，而且當θ改變時，動直線系l：cosθ·x+sinθ·y-1=0的“包絡”恰是單位圓，所以除了單位圓內(nèi)的點外，沒有其他點不能被動直線l“掃到”.

教師：很好，事實上，直線方程可化為cosθ·（x-cosθ）+sinθ·（y-sinθ）=0，即y-sinθ=- ?·（x-cosθ），它表示單位圓在點（cosθ，sinθ）處的切線（圖示略）.

反思：學生11的解法一語道破直線方程系數(shù)蘊涵的幾何特性，很有創(chuàng)意. 教師在教學設計中只有留給學生充分探索思考的空間，學生才有可能給教學以“驚人”的回報.此外，要充分考慮到學生對數(shù)學的理解和掌握不是點滴和零散的，而是在主動建構(gòu)中逐步形成一個知識體系和網(wǎng)絡. 每個章節(jié)內(nèi)的內(nèi)容聯(lián)系緊密，依靠若干知識主線形成一個整體;在此基礎上，才能建立章節(jié)間的更大網(wǎng)絡.

引領探究，以老題新解作為教學設計的啟發(fā)點

學習新知識、新方法后，學生將其納入自己的知識系統(tǒng)前是需要作“新舊比對”的. 解析法作為“用代數(shù)方法研究幾何問題”的典范在學生眼里并非唯一，比如向量方法同樣是用代數(shù)方法研究幾何問題. 在教學設計中采用“老題新解”的方法，能夠啟發(fā)學生在使用新知識時不斷與舊知識對比，從而自覺探究新老方法之間的不同適用性.

例6 ?已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，又 ?=m ?， ?=n ?，并且 ?+ ?=3，求證：直線A′B′經(jīng)過定點.

解：以直角頂點C為原點建立坐標系（如圖4），設A（4，0），B（0，3），則A′（4m，0），B′（0，3n），所以直線A′B′的方程為 ?+ ?=1，將 ?+ ?=3代入A′B′的方程，得 ?- ?+ ?- ?=0，

即 ?+ ?=0，所以直線A′B′經(jīng)過定點 ?，1，恰為△ABC的重心.

圖4

反思：用向量方法也能解決該問題，而且將Rt△ABC改為一般△ABC也有類似的結(jié)論，再將 ?+ ?=3改為等于其他定值，直線A′B′也經(jīng)過定點. 解析法的引入給向量法提供了參照的對象，有利于激發(fā)學生的好奇心和學習興趣.

畫龍點睛，以適切的小結(jié)和作業(yè)作為教學設計的導學點

例題、習題教學結(jié)束時，應有畫龍點睛式的小結(jié). 筆者在本課以一首小詩來做小結(jié)：“一般方程太一般，直線性質(zhì)少體現(xiàn);化為點斜截距式，性質(zhì)自然就明顯;坐標方程表點線，代數(shù)運算又不難;解析方法好不好，欲與向量比簡便”. 在詩中既概括了本課主要內(nèi)容和數(shù)學思想，又引導學生進一步認識本課內(nèi)容在整個高中數(shù)學知識體系的位置，啟發(fā)學生將“解析法”和“向量法”做一對比，這與當下流行的“導學”理念是一致的.

作業(yè)分兩類：要求學生當天完成鞏固性作業(yè)1～4題，在一周內(nèi)完成導學性作業(yè)5，具體如下：

1. 若方程（2m2+m-3）x+（m2-m）y-4m+1=0表示一條直線，則實數(shù)m∈ ________.

2. 若直線（2m2-5m+2）x-（m2-4）y+5m=0的傾斜角為45°，則m=________.

3. 兩條直線2x+3y-k=0和2x+ky-3=0的交點在y軸上，則k=________.

4. △ABC中，∠A=60°， ?+ ?= ?，如果點A在坐標原點，點B在x軸正半軸上，點C在第一象限，則直線BC過定點________.

5. 有些幾何問題用向量方法來解比較簡單（如求證“平行四邊形對角線平方和等于四邊平方和”、“余弦定理”等），而另一些問題則用解析法來解比較簡單，請你課外自學后收集典型例題來說明，并談談如何選擇這兩種方法之一的感想.

結(jié)語

結(jié)構(gòu)化的知識是能力形成的基礎，整合后的基礎知識具有較強的粘合力、較嚴密的邏輯性、較豐富的關聯(lián)度，可以較好地為知識的靈活運用服務;因此，基礎的整合水平直接影響到學生綜合運用的能力. 在教學設計中，教師在引領學生腳踏實地、夯實基礎的同時，還要時不時提醒學生“仰望星空”，跳出章節(jié)知識范疇，立足系統(tǒng)高度重新審視所學知識. 這樣，才能避免讓學生的學習陷入無數(shù)細節(jié)的包圍中，在邊把書“讀厚”、邊把書“讀薄”的過程中實現(xiàn)高效學習.