柏松盛

摘 ?要：數學的探究性學習是一種以學生為主體，充分發(fā)揮學生主觀能動性的學習方式. 為了更好地培養(yǎng)學生在數學學習中的邏輯思維能力和靈活運用能力，越來越多的教師在教學中不斷嘗試并逐漸引入了探究性學習，出現了趣味性的探究學習、實用性的探究學習、技術性的探究學習、求證性的探究學習和跨學科的探究學習等多種探究性學習方式.

關鍵詞：探究性學習;高中數學;多樣性呈現

數學是一門重視邏輯思維能力并強調靈活運用能力的學科，為了更好地培養(yǎng)學生具備這兩樣能力，越來越多的教師在教學中不斷嘗試并逐漸引入了探究性學習. 與單純的課堂聽講對比起來，數學的探究性學習是一種以學生為主體，充分發(fā)揮學生主觀能動性的學習方式，它在以“探究”為主要目的的前提下，具備多樣性.

基于趣味性的探究學習

以趣味性為設計原則的數學探究性學習強調的是充分挖掘數學的潛在趣味，以幫助學生更好地認知數學的另一面，從而激發(fā)學生學習數學的興趣與信心. 以《概率》《統(tǒng)計》這兩個章節(jié)為例，教師可以引入法國數學家帕斯卡在之前提過的一個賭本分配的問題. “甲、乙兩個賭徒在投下賭注之后，根據設定的原則進行賭博，并約定甲、乙誰勝一局誰就得一分，且誰先得到某個確定的分數誰就贏得所有賭注. 但是在誰也沒有得到確定的分數之前，甲、乙兩人的賭博因故中止了. 假如甲需再得n分才贏得所有賭注，乙需再得m分才贏得所有賭注，那么如何分這些賭注呢？”這個問題與我們在生活中常常遇到的投擲硬幣進行比賽非常類似. 從生活實踐中不難發(fā)現，大部分人，尤其是好奇心強烈、勝負心強的學生都對這種博弈性活動充滿著濃厚的興趣. 與此類似的還有，“小剛與小王兩人賭博，分別投注賭資N元，已知每局兩人各自獲勝的概率都是二分之一，并約定，誰先勝出X局，誰就能獲得全部賭資的兩倍. 當進行到A勝出X1局，B勝出X2局時（已知X1與X2均小于X），賭博因意外停電而中止，試問此時兩倍原始賭資應當如何分配給小剛與小王才顯得公平”等. 總的來講，以興趣為切入點的探究性學習不僅可以提高學生完成探究性學習的積極性，而且可以更好地刺激學生的思維細胞. 對于初次嘗試探究性教學的教師來講，可以通過趣味性這一原則來引導學生逐步適應探究性學習的方式.

基于實用性的探究學習

作為一門工具性學科，數學在生活中處處可見，因此，教師可以設計一個基于實用性原則的探究性學習課題. 以《函數》為例，該章節(jié)中的指數函數、對數函數、冪函數等均在生活中有非常大的實用價值，特別是函數模型及其應用章節(jié)所講述的利率問題與增長率問題. 教師可以結合當前保險問題，設計一個以養(yǎng)老保險險種及分紅為主題的探究性學習. 例如“王大爺在40歲時參與購買了養(yǎng)老保險，而他的朋友李大爺則選擇每年將應繳納的保險金額逐年依次存入到銀行之中. 根據35年的投保時限，問王大爺與李大爺在75歲各自可以分別拿到多少錢，這兩種投資方式的收益性哪個比較大”. 與此類似的探究性課題還有“曾阿姨與潘叔叔在同一天各自到銀行存入了2000元，曾阿姨選擇的是定存五年期，潘叔叔選擇的是一年期并且在每年到期時領取本金與利息后一并存入到又一個一年期中，以此類推，而且每次領取時需要向銀行繳納20%的利息稅，問五年后，曾阿姨與潘叔叔哪一個人的受益比較大而且各自的本息合計金額差是多少”. 對于此類與生活關聯(lián)度比較大的探究性課題，對于教師來講，可以更為游刃自如地設計探究性學習課題，對于學生來講，因其與生活的高關聯(lián)度而可以更容易地通過調查取證或搜集相關人的信息來順利完成學習任務. 因此，從操作度與完成度上看，基于實用性的探究性學習在整個數學的探究性學習中將占據比較大的比例.

基于技術性的探究學習

基于技術性的探究學習指的是探究過程及最終的探究結果完全與學生的個人數學能力有關，比如關于數學中的最優(yōu)化問題、關于黃金分割在實際生活中的應用、關于數學中的證券投資、關于某種決策的設計等. 技術性探究學習的核心在于縝密的邏輯思維與嫻熟的數學能力，這對學生來講是一個不小的挑戰(zhàn).在實際教學中，一般不單獨由學生個人來完成，而是多以團隊的形式，特別是將學習能力高低有別的學生融合在一起進行探究性學習. 這有助于學生之間進行互補與分工，同時也有利于學習能力較差的學生在探究性學習的同時，還能夠學習模仿學習能力較強的同學的學習方法、思維方式等學習習慣，從而在無形中漸漸地提高個人能力.在設計基于技術性的探究學習時，教師需要把握以下幾個原則，一是探究的時間不宜過長. 假如時間過長，計算過于煩瑣，則容易占據學生過多的時間并分散學生的注意力，從而最終降低學習效果.二是要與學生共同進行并在探究過程中通過提供資料、指明方向、建議方法等來適當予以協(xié)助. 這既可以避免學生單打獨斗而影響最終的探究效果，同時也可以讓學生感覺到自己在學習中的主體地位，教師在教學中的引導地位，從而進一步增強學習的自覺性與主動性.

基于求證性的探究學習

這里的求證性探究學習指的是對于教材中給定的或者約定成俗、經過實踐檢驗的、前人經驗總結所得的已知結論進行一種求證，比如探求排序不等式、柯西不等式，關于某個數學公式或者某條數學定理的求證等. 除此之外，還有一種“悖論探究”，它指的是若承認某個命題是絕對成立的，則可以推論出它的否定命題成立;反之，若承認某個命題的否命題是成立的，則可推出這個命題成立;如果承認該命題是真的，經過一系列正確合理的推理之后，卻又得出它是假命題;如果承認該命題是假的，經過一系列正確合理的推理之后，卻又得出它是真命題. 比如“理發(fā)師悖論”，“某城鎮(zhèn)有一位理發(fā)師，他的理發(fā)原則是‘只給不自己剪頭發(fā)的人剪頭發(fā)”.這里存在著矛盾的地方，假如理發(fā)師給自己剪頭發(fā)，那么他就是自己給自己剪頭發(fā)的人;假如理發(fā)師不給自己剪頭發(fā)，那么他就是不給自己剪頭發(fā)的人. 但根據他的理發(fā)原則，他應當給自己剪頭發(fā). 這就存在著一定的矛盾. 與求證既定的公式、定理、結論等對比起來，悖論的探究性學習由于它“撼動”了邏輯與數學基礎，因而它有利于激發(fā)學生的求知欲望與思索能力. 與此同時，它也可以給學生帶來耳目一新的感覺. 需要注意的是，與上述幾種探究性學習對比起來，基于求證性的探究學習難度更大，而且選擇的題材與設計的難度也較難把控. 假如難度過大，則不僅降低了學生的求解成功率，而且容易給學生的思維造成一定的紊亂從而影響了學生的數學能力，與此同時也有可能耗費過多的時間. 因此，基于求證性的探究學習適合于已經在課堂中多次踐行且可以熟練操作探究性學習的教學階段.

基于跨學科的探究學習

從知識體系上講，雖然我們人為地根據一定原則將其劃分為不同學科，但這并不意味著學科之間是絕對獨立的，相反，它們之間是共同依存并相互促進的，因此，教師可以跨學科為原則來設計探究性學習的主題. 以《平面向量》為例，它可以與物理學進行有機結合，研究數量積的物理意義. 比如該圖形在數學中它可以表示向量S與F，在物理中可以表示力的角度，因此，教師可以將向量與物理學中的力進行結合，設計該內容主題.具體可以圍繞以下幾個問題，假如一物體在力F的作用下產生了位移S，則用向量的知識來說明W功是什么向量、F力是什么向量、S位移是什么向量、如何用向量來書寫F所做的功、如何用文字語言來表達功的計算公式等，總之，該課題圍繞的主題是“力與位移的大小及其夾角余弦的乘積為功”. 根據這一主題，教師還可以將題目進行延伸，如ɑ的不同取值范圍下不同的書寫形式，ɑ介于零度與九十度之間，ɑ等于九十度等;或者將力進一步細化，如假設某重達8千克的球體分別作水平位移5米，豎直下降5米，豎直上升5米，沿傾斜角40度的斜面向上運動5米等. 跨學科探究性學習的最大好處在于可以融匯多個學科的知識，這既有利于拓展學生的思維視角，又有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神. 為了更好地實現這一目的，教師可以在設計時多抓住數學與其他學科的共同點，以找到可以締結不同學科的紐帶，從而設計出基于跨學科原則的探究性學習課題.

圖1

學以致用是學習的一項重要原則，也是其中一個首要目的. 在探究性學習模式下，教師可以引導學生從某些數學問題及某個生活問題出發(fā)，運用所學習的數學知識去嘗試解決. 對于學生來講，這既有利于提高數學知識的掌握程度，又有利于踐行數學知識的實用意義. 基于此，為了更好地發(fā)揮探究性學習模式的價值，教師可以從趣味性、實用性、技術性、求證性、跨學科這五個方面出發(fā)，設計不同種類的探究課題，以更好地呈現數學探究性學習的多樣性，并借此有效培養(yǎng)學生的邏輯思維能力與靈活運用能力.