高圣潔 劉長(zhǎng)河

摘 ?要：本文結(jié)合歷年高考題，對(duì)一類用基本不等式求函數(shù)最值的問題進(jìn)行歸納總結(jié). 把該類型題目分成5個(gè)題型，逐一進(jìn)行深入剖析，認(rèn)識(shí)不同題型背后的統(tǒng)一形式，掌握相應(yīng)的解題技巧.

關(guān)鍵詞：基本不等式;最值問題;試題探究

基本不等式a+b≥2 ?是不等式中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是求函數(shù)最值問題的一個(gè)常用工具. 利用基本不等式求最值問題是歷年高考中必不可少的內(nèi)容，既有單獨(dú)命題來考查學(xué)生的基本知識(shí)和基本技能，也有通過與其他知識(shí)交匯在一起構(gòu)成綜合題，考查學(xué)生把基本不等式作為工具的靈活運(yùn)用情況. 本文結(jié)合歷年高考題，對(duì)一類用基本不等式求函數(shù)最值的問題進(jìn)行歸納總結(jié)，把該類型題目分成5個(gè)題型加以分析，目的是展示給讀者一類問題的完整討論過程，同時(shí)也希望給考試命題者提供一些參考.

首先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子：

例1 ? ?已知x，y∈R+，且2x+y=4，求 ?+ ?的最小值.

解法：常見的錯(cuò)誤解法是，先由4=2x+y≥2 ?得xy≤2，再由基本不等式得 ?+ ?≥2 ?≥ ?，故得 ?+ ?的最小值為 ?. 該解法的錯(cuò)誤之處在于兩次運(yùn)用基本不等式時(shí)使等號(hào)成立的條件并不相同：使得前一個(gè)不等式等號(hào)成立的條件是2x=y=2，使得后一個(gè)不等式等號(hào)成立的條件是x=y= ?，兩條件相悖.

求解該類題的一個(gè)簡(jiǎn)單方法是由已知條件構(gòu)造常數(shù)1，并用“1”對(duì)所求式恒等變形. 過程如下：由2x+y=4得 ?+ ?=1，則 ?+ ?= ?+ ? ?+ ?= ?+ ?+ ?. 由基本不等式得 ?+ ?≥2 ?= ?，從而 ?+ ?≥ ?+ ?= ?. 并且當(dāng) ?= ?時(shí)，取等號(hào)，即x=2（2- ?），y=4（ ?-1）. 故 ?+ ?的最小值是 ?.

在例1的同樣條件下，還可以求xy的最大值，看下面例子.

例2 （2010年高考山東文科卷14題）已知x，y∈R+，且 ?+ ?=1，則xy的最大值為（ ? ?）

解法：稍做變形即可直接運(yùn)用基本不等式解題，過程如下：

xy=12· ?· ?≤12 ?2=3，并且當(dāng) ?= ?= ?時(shí)，取等號(hào). 故xy得最大值是3.

上面兩個(gè)例子的一般形式如下：

題型1 ?已知x，y∈R+，且ax+by=d，求 ?+ ?的最小值及xy的最大值，其中，a，b，d，p，q為正的常數(shù).

該類題目還有另外一種形式，再看下面例子.

例3 ?（2012年高考浙江文科卷9題）若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ? ?）

解法：注意到所給條件等價(jià)于 ?+ ?=5，則可由此構(gòu)造常數(shù)1，并對(duì)所求式恒等變形得3x+4y= ?（3x+4y） ?+ ?= ? ?+ ?+13. 由基本不等式得 ?+ ?≥2 ?=12，從而3x+4y≥ ?（12+13）=5. 且當(dāng) ?= ?時(shí)取等號(hào)，即x=1，y= ?. 故3x+4y的最小值是5.

需要指出的是，若在上面例子中做變量替換u= ?，v= ?，則題目化為：若正數(shù)u，v滿足3u+v=5，求 ?+ ?的最小值. 這顯然屬于題型1，而對(duì)應(yīng)于題型1中求uv的最大值，在本題中的形式為求 ?的最大值，或者求xy的最小值.

上面例子的一般形式為：

題型2 ?已知x，y∈R+，且ax+by=cxy，求px+qy的最小值及xy的最小值，其中，a，b，c，p，q為正的常數(shù).

顯然題型1和題型2是等價(jià)的，而題型1顯得更簡(jiǎn)潔，更容易構(gòu)造常數(shù)1，計(jì)算過程也較為簡(jiǎn)單，而題型2較為隱蔽. 事實(shí)上，題型1和題型2中的已知條件可以看做是等式ax+by+cxy+d=0的兩個(gè)特殊情況，下面考察其他情況.

題型3 ?已知x，y∈R+，且ax+by+d=cxy，求px+qy的最小值及xy的最小值，其中，a，b，c，d，p，q為正的常數(shù).

解法：由已知得cxy-ax-by-d=0，兩邊同除以c得xy- ?x- ?y- ?=0，則x- ?y- ?- ?- ?=0，即

x- ?y- ?= ?.

由此可得y= ?+ ?= ?. 由條件y= ?>0可得x> ?，又由上面等式可得y> ?. 因此

px+qy=px- ?+qy- ?+ ?≥2 ?+ ?=2· ?+ ?= ?.

并且，當(dāng)px- ?=qy- ?= ?時(shí)取等號(hào)，即

x= ? ?+b，

y= ? ?+a，

此時(shí)，px+qy取得最小值.

特別地，當(dāng)p=a，q=b時(shí)ax+by有最小值 ?. 從而由等式cxy=ax+by+d可得xy的最小值. 下面的例子即屬于該類型.

例4 （2010年高考浙江文科卷15題）若正數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是（ ? ?）

解法：由2x+y+6=xy可得（x-1）（y-2）=8. 則y= ?+2= ?. 由y= ?>0得x>1，從而y>2. 因此xy=2x+y+6=2（x-1）+（y-2）+10≥2 ?+10=18. 并且，當(dāng)2（x-1）=（y-2）=4時(shí)取等號(hào)，即x=3，y=6. 故xy的最小值是18.

題型4 ?已知x，y∈R+，且ax+by+cxy=d，求px+qy的最小值及xy的最大值，其中，a，b，c，d，p，q為正的常數(shù).

解法：由已知可得 ?x+ ?y+xy= ?，故x+ ?y+ ?=xy+ ?x+ ?y+ ?= ?. 因此px+qy=px+ ?+qy+ ?- ?≥2 ?- ?=2 ?- ?= ?.

并且，當(dāng)px+ ?=qy+ ?= ?時(shí)取等號(hào)，即

x= ? ?-b，

y= ? ?-a.

因此，當(dāng) ?-b>0且 ?-a>0，即 ?< ?< ?時(shí)px+qy有最小值. 例如取p=a，q=b時(shí)，ax+by有最小值 ?，此時(shí)又由等式cxy=d-（ax+by）可得xy的最大值. 下面的例子即屬于該特殊情況.

例5 ?（2010年高考重慶理科卷7題）已知x，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是（ ? ?）

解法：已知條件可等價(jià)化為（x+1）（2y+1）=9，故所求式增添常數(shù)后可直接運(yùn)用基本不等式. x+2y=（x+1）+（2y+1）-2≥2 ?-2=4. 并且，當(dāng)x+1=2y+1=3時(shí)取等號(hào)，即x=2，y=1. 故x+2y的最小值是4.

注意：在題型4中，當(dāng) ?≤ ?或者 ?≥ ?時(shí)px+qy沒有最小值. 下面用一個(gè)簡(jiǎn)單例子來說明.

例6 ?已知x，y>0，x+2y+2xy=8，試分析x+20y的最小值.

解法：由已知得y= ?，由y>0得0

題型5 ?已知x，y∈R+，且ax+by=cxy+d，求px+qy的最小值及xy的最小值，其中，a，b，c，d，p，q為正的常數(shù).

分析：類似于前面的分析，由ax+by=cxy+d可得x- ?y- ?= ?. 由于ab-cd的符號(hào)不確定，為了簡(jiǎn)單起見，下面考察三個(gè)具體的例子，分別對(duì)于ab-cd<0，ab-cd=0和ab-cd>0三種情況. 通過分析可知px+qy及xy都沒有最小值.

例7 ?已知x，y∈R+滿足2x+y=xy+3，試確定2x+y及xy的取值范圍.

解法：由已知條件得（x-1）（y-2）= -1<0. 則y=2- ?= ?. 由y= ?>0得0 ?. 由于y=2- ?在區(qū)間（0，1）及 ?，+∞內(nèi)單增，從而2x+y在x∈（0，1）及x∈ ?，+∞時(shí)單增. 因此，直接計(jì)算可得2x+y∈（3，+∞）. 從而xy=2x+y-3∈（0，+∞）.

例8 ?已知x，y∈R+滿足2x+y=xy+2，試確定2x+y及xy的取值范圍.

解法：已知條件中等式可化為（x-1）（y-2）=0. 則有x=1，y>0或x>0，y=2.因此2x+y∈（2，+∞），從而xy=2x+y-2∈（0，+∞）.

例9 ?已知x，y∈R+滿足2x+y=xy+1，試確定2x+y及xy的取值范圍.

解法：由已知條件可得（x-1）（y-2）=1>0，則y=2+ ?= ?. 由y= ?>0得01. 利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)可知，2x+y=2x+2+ ?在0，1- ?和1+ ?，+∞上單增，在1- ?， ?和1，1+ ?上單減，故直接計(jì)算可得2x+y∈（1，4-2 ?]∪[4+2 ?，+∞），從而xy=2x+y-1∈（0，3-2 ?]∪[3+2 ?，+∞）.

綜合上面的討論，求滿足等式ax+by+cxy+d=0的正數(shù)x，y，使得px+qy或xy取得最值的一類問題包含了多種題型，雖然它們形式上看起來差不多，但所需要的變形和轉(zhuǎn)化方式卻有不同，且所考查的難度與深度也有較大區(qū)別.