張昌盛

摘 ?要：教學(xué)活動中，常常遇到各種困惑與不解，這正是教師提高認(rèn)識的切入點.作為教師，一定要有探究意識與探究精神，抓住適合探究的節(jié)點開展探究活動才能真正培養(yǎng)學(xué)生的探究意識.

關(guān)鍵詞：教學(xué)活動;探究

問題提出

平面向量不僅是解決幾何問題的有力工具，而且提升了我們對“數(shù)、量和運算”的認(rèn)識. 向量是連接幾何與代數(shù)的橋梁，運用它可以快速便捷地處理數(shù)學(xué)問題. 但是，在處理一些平面幾何問題時，向量法反而顯得麻煩、啰嗦，體現(xiàn)不出向量的優(yōu)勢. 比如蘇教版必修4第67頁習(xí)題2.2第11題，它的求解就讓學(xué)生十分困惑向量法是否真的簡單.

題目：如圖1，平行四邊形ABCD中，E是CD中點，AE交BD于M點，試用向量的方法證明：M是BD的一個三等分點.

圖1

解法1（向量法）：設(shè) ?=λ ?=λ（ ?- ?），則 ?= ?+ ?=（1-λ） ?+λ ?. 因為E是CD的中點，所以 ?= ?+ ? ?由A，M，E三點共線，所以有 ?=μ ?=μ ?+ ? ?.

由平面向量的基本定理得，

1-λ=μ，λ= ?μ，解得λ= ?，即M是BD的一個三等分點.

解法2（幾何法）：因ABCD平行四邊形，所以DE平行于AB，于是有△DME～△BMA. 又因為E是DC中點，從而有 ?= ?= ?，即M是BD的一個三等分點.

評析：解法2不是用向量求解的，固然不符合題目要求，但它卻比向量法簡單. 面對學(xué)生的疑惑，難道教師只能說解法2沒有按照題目要求求解？任何一個方法都不是絕對的好方法，要針對不同的情況恰當(dāng)?shù)剡x擇解題方. 如果這樣，學(xué)生對向量的探索欲望就會大打折扣，甚至?xí)粝孪蛄糠ú蝗缙胀◣缀畏ê唵蔚臄?shù)學(xué)印象.

問題探究

平面向量基本定理的前提條件是兩個平面向量e1，e2不共線，結(jié)論有兩點：一是存在實數(shù)λ1，λ2，使得對于平面內(nèi)任意向量p，都有p=λ1e1+λ2e2;二是λ1和λ2唯一，這里的唯一性也就是說：若p=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，則必有λ1=μ1，λ2=μ2. 事實上（λ1-μ1）e1=（λ2-μ2）e2，而e1，e2不共線，所有必有λ1=μ1，λ2=μ2. 若記λ1e1=a，μ1e1=b，λ2e2=c，μ2e2=d，即有下面的推論.

推論：若向量a，b共線，向量c，d共線，向量a，c不共線，且a+c=b+d，則有a=b且c=d.

利用該推論來證明上述問題就非常簡捷：

+ ?= ?=2 ?=2（ ?+ ?）=2 ?+2 ?，由推論得 ?=2 ?， ?=2 ?，所以M是BD的一個三等分點.

推論應(yīng)用

在涉及運用“向量共線”這一思路解決問題時，運用該推論不失為一個很好的方法，下面提供3個例題供讀者參考.

例1 如圖2所示，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BD于E點，CF⊥BD于F點，求證：AE=CF.

圖2

證明：平行四邊形ABCD中有 ?= ?，所以 ?+ ?= ?+ ?. 又 ?∥ ?， ?∥ ?，所以有 ?= ?，從而AE=CF.

例2 （2004年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽）設(shè)點O在△ABC的內(nèi)部，且有 ?+2 ?+3 ?=0，則△ABC的面積與△AOC的面積之比為________.

圖3

解：如圖3，連接OC，過O點作OD∥AC交AB于D點，OE∥AB交AC于E點，OH⊥AC交AC于H點，過D點作DG⊥AC交AC于G點，則OH=DG;過B點作BK⊥AC交AC于K點.

由 ?+2 ?+3 ?=0得 ?+2 ?+2 ?+3 ?+3 ?=0，從而有 ?= ? ?+ ? ?. 又 ?= ?+ ?，所以有 ?= ? ?，于是有OH=DG= ?sin∠BAC，BH= ?sin∠BAC，所以有BH=3OH. 又因為AC是△ABC與△AOC的共同底，所以△ABC的面積與△AOC的面積之比為3∶1.

評析：上述問題的求解思路是將兩個相等的向量（或同一個向量）分別用兩組基底來線性表示，而兩組基底中的基向量分別對應(yīng)平行，故可以利用推論解決問題.

例3 如圖4，在△ABC中，BO為AC上的中線， ?=2 ?，若 ?∥ ?，且 ?= ? ?+λ ?，則λ的值為________.

圖4

解：因為 ?= ? ?+λ ?，

所以 ?= ?- ?= ? ?+（λ-1） ?.

又 ?= ?+ ?= ?+ ? ?= ?+ ?（ ?- ?）= ? ?+ ?· ? ?= ? ?+ ? ?;

又因為 ?∥ ?，故可設(shè) ?=μ ?，于是有 ? ?+（λ-1） ?= ?μ ?+ ?μ ?.

所以有 ?= ?μ，λ-1= ?μ，從而得λ= ?.

評析：在使用該問題中的已知條件 ?∥ ?時要設(shè)一個輔助量μ，即設(shè) ?=μ ?. 只要用兩組分別對應(yīng)共線的基底表示出等號兩邊的向量，然后就可以轉(zhuǎn)化為例1、例2中的情況類似求解. 可見利用向量解題，其運算不僅僅是數(shù)的運算，還包括圖形的運算，這正是向量解題的優(yōu)勢所在.

思考感悟

在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中會遇到各種各樣的問題，面對學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑或教師教學(xué)中的困惑，教師一定要有探究意識與探究精神，一個不探究的教師很難教出充滿探究精神的學(xué)生. 培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，是課標(biāo)提出的要求，如何落實這一要求？筆者認(rèn)為重要的是在每節(jié)課的教學(xué)中，抓住每一個適合探究的節(jié)點開展探究活動才能真正培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，而不是開設(shè)幾節(jié)所謂的探究性教學(xué)公開課或開展幾次探究活動. 雖然這樣的探究可能會打亂一節(jié)課的計劃，也可能探究不出結(jié)果，但培養(yǎng)學(xué)生的探究精神卻是肯定的.