李宏銘

摘 ?要：通過琴生不等式，證明一個形式上簡潔對稱的n元分式不等式，在求最值即尋求最佳上下界時很有作用. 作為一個具體例子，完善了《一個n元分式不等式》一文的結(jié)論并做了推廣. 文末給出了一個猜想，為繼續(xù)研究留下了一個課題.

關(guān)鍵詞：琴生不等式;推廣;凹凸性;上下界;猜想

《一個n元分式不等式》一文（簡稱文[1]）給出了下面的一個n元分式不等式（即命題1）

命題1 ?若x1，x2，…，xn是非負實數(shù)， ?xi=1，n≥3，則 ? ?≤ ?.

①

其實，該不等式不但有上限，而且有下限，這一點文[1]沒有涉及. 本文先由琴生不等式推出一個有用的結(jié)果，再對不等式①做兩個方面的工作：一是給出下限及推廣;二是對不等式①本身進行加限推廣;最后給出一個猜想.

從琴生不等式得到的預(yù)備結(jié)果

引理1 ?若ai，bi∈（0，+∞），k，n∈N*，n≥2則 ? ? ?bik≥（ ?ai）k+1②，當(dāng)且僅當(dāng) ?= ?=…= ?時，等號成立.

證明：若令λ= ?bi，則不等式②即為 ? ?·λk≥ ?aik+1③，又可化為

≥ ?aik+1，

即 ? ? ?k+1≥ ?aik+1.

注意到k∈N*，函數(shù)f（x）=xk+1在區(qū)間[0，+∞）是嚴(yán)格下凸函數(shù)，且 ? ?= ? ?bi= ?·λ=1，由琴生不等式可知

f ?≥f ? ?· ?=f ?ai，

即得 ? ? ?k+1≥f ?aik+1，

即不等式③成立，從而②成立. ？搖

根據(jù)琴生不等式中的等號成立條件，可知不等式③中等號成立的充要條件為 ?= ?=…= ?，即 ?= ?=…= ?.？搖 證畢.

本文下面的推導(dǎo)中用到的是下面的等價形式：

引理1的等價形式：若ai，bi∈（0，+∞），k，n∈N*，n≥2則

≥ ?.？搖？搖 ④

當(dāng)且僅當(dāng) ?= ?=…= ?時，等號成立.

①式的下限

命題2 ?若x1，x2，…，xn是非負實數(shù)， ?xi=1，n≥3，m，k∈N，k≥2，

則 ? ?> ?. ⑤

證明： ? ?= ? ?≥ ?= ?.

因為x1，x2，…，xn是非負實數(shù)且 ?xi=1，所以 ?x ?≤1，從而有

> ?.

上述證明中兩次使用不等式，前一次中等號成立的充要條件是x1=x2=…=xn= ?;后一次中，等號成立的充要條件是某一個xi=1，其余都等于0.故知兩個不等式中的等號不能同時成立.證畢.

特別地，當(dāng)k=2時，由⑤式可直接得到不等式①的下限為 ? ?> ?.

①式的推廣

引理2 函數(shù)f（x）= ?在0， ?是上凸函數(shù)，在 ?，+∞是下凸函數(shù).

證明：f′（x）=- ?，因為-4x（1+x2）3<0，故f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減.

f ″（x）= ?. 故在0， ?上f ″（x）≥0恒成立，f（x）是上凸函數(shù);在 ?，+∞上f ″（x）≤0恒成立，f（x）是下凸函數(shù). 證畢.

命題3 ?若x1，x2，…，xn都是0， ?內(nèi)的實數(shù)， ?xi=λ，n≥3，m，k∈N，k≥2，則 ? ?≤ ?.

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn= ?時，等號成立.

證明：因為函數(shù)f（x）= ?在0， ?是上凸函數(shù)，故 ? ? ?≤ ?= ?= ?. 從而 ? ?≤ ?. 證畢.

再注意到函數(shù)f（x）= ?在 ?，+∞是下凸函數(shù)，重復(fù)這個過程（從略），可得：

命題4 ?若x1，x2，…，xn都是 ?，+∞內(nèi)的實數(shù)， ?xi=λ，n≥3，m，k∈N，k≥2，則 ? ?≥ ?.

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn= ?時，等號成立.

？搖？搖更一般地，我們有下面的命題5、6，為閱讀的方便，先給出引理3.

引理3 ?若m，k∈N，k≥2，則函數(shù)f（x）= ?在0， ?是上凸函數(shù)，在 ?，+∞是下凸函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞減.

證明：f ′（x）=- ?<0，故f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減. f ″（x）= ?·[（mk+1）xm-（m-1）]，故在0， ?上f ″（x）≥0恒成立，f（x）是上凸函數(shù);在 ?，+∞上f ″（x）≤0恒成立，f（x）是下凸函數(shù). 證畢.

由此可得下面的命題5和6，其證明與命題3完全相同，故從略.

命題5 ?若x1，x2，…，xn都是0， ?內(nèi)的實數(shù)， ?xi=λ，n≥2，n，m，k∈N，k≥2，則 ? ?≤ ?. 當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn= ?時，等號成立.

命題6 ?若x1，x2，…，xn都是 ?，+∞內(nèi)的實數(shù)， ?xi=λ，n≥2，n，m，k∈N，k≥2，則 ? ?≥ ?.

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn= ?時，等號成立.

一個猜想

對于更一般的情形，仿照命題1，我們給出下面的猜想.

猜想： 若x1，x2，…，xn都是非負實數(shù)， ?xi= ?，n≥2，n，m，k∈N，k≥2，則 ? ?≤ ?. 當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn= ?時，等號成立.